1、1本章重点： 1. 周期函数分解为傅里叶级数2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算13.1 非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。1. 非正弦周期交流信号的特点(1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化 )()nTtf如：半波整流电路的输出信号（画图描述） 、示波器内的水平扫描电压（周期性锯齿波） 、脉冲电路中的脉冲信号(方波)、交直流共存电路（正弦信号叠加在直流信号上）等。13.2 周期函数分解为傅里叶级数傅里叶级数：若周期函数满足狄利赫利条件： 周期函数极值
2、点的数目为有限个； 间断点的数目为有限个； 在一个周期内绝对可积，即：tfTd )(0则该周期函数可展开成收敛的傅里叶级数。注：一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。周期函数展开成傅里叶级数形式： )cos()2cos()cos()( 11110 nnmmm tAtAtAtf 包含：直流分量、基波（和原函数同频）、二次 谐波（2 倍频）、高次 谐波。亦可写成： )cs()(110kkmttf也可表示成： sino1tbak系数之间的关系为： kk kmkmkkabAArctnsin os20系数的计算：2TtfaA00d)(121)(costktk 0in)(fb求出 A0、a k、b
3、 k 便可得到原函数 f(t) 的展开式。提示：利用函数的对称性可使系数的确定简化。偶函数： 0 )(ktft奇函数： a奇谐波函数： 0 )2()2kbTtftf周期函数的频谱图：离散频谱，基波频率的倍数。幅度频谱（各次频率的幅值-频率曲线） 、相位频谱（各次频率的初相位-频率曲线） 。等效电源：等效于不同幅值、相位和频率的电压（电流）源的串（并）联组合。13.3 有效值、平均值和平均功率1. 三角函数的性质 正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。（k 为整数）2020 )(dcos )(dsintktk sin2、cos2 在一个周期内的积分为 。)( )(i2020 tt 三角函数的正交
4、性30)(dsinicoi2020 tptkttpk2. 非正弦周期函数的有效值若： )cs)(10kkmtIti 则有效值： )(dcos)(d20102 ttITtiTI kkm 由于： ； ； ； 1020It )(22 kkItt 0d)cos(10TkttI 0d)cos()cos(20 T qqmkkmtIq则： 210kI即： 0II结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。3. 非正弦周期函数的平均值若： )cos()(10kkmtIti 其直流值为： 00dIiT其平均值为： avtI)(正弦量的平均值为： 89.dcos10Tmv ItI4. 非正弦
5、周期交流电路的平均功率由于： ；)()(10ukktUtu )cos(10ikkmtIti 而： TtiPd利用三角函数的正交性，得： . )( cos210PIUI ikukkk即： coscs 2110 IIUP结论：平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 413.4 非正弦周期电流电路的计算1. 计算步骤 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号； 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的 XL、XC 不同，对直流 C 相当于开路、 L 相于短路。 ） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。2. 计算举例例：如图，方波信号激励的电路。求 u, 已知： ，pF10
6、mH 20CLR、。s28.6 A157TIm、解：(1) 方波信号的展开式为： )5sin13i(intttIimS 代入已知数据 ，得：28.6 ,A57 T直流分量： 20Im基波最大值： 104.31 三次谐波最大值： A1mI五次谐波最大值： 25角频率： rad/s018.64326T电流源各频率的谐波分量为：， ， ，A5.780SI Asin61tis A103in63tisA105sin65tis（2） 对各次谐波分量单独计算：（a) 直流分量 IS0 作用（电容断路，电感短路）由于 ，则：5.780SI mV57.10.78260SRIU（b)基波作用（画出等效电路同上图，
7、但频率变化使阻抗变化）阻抗计算： k10 ,k10136261 LC5)(j)(1 RCXXRZLCL5mV250210(611 ）ZIU(c)三次谐波作用阻抗： k3103 ,k3.0103 61261 LC031 9.85.74)(j)3(CLXRZ mV2.8947.1210.) 00613 IUS(d)五次谐波作用阻抗： k5105 ,k2.0105 36161 LC3.89.)(jj)5(51CLXRZ mV53.89216.4520120)615s IU(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：； ； ；mV7.0251 .7.3U 53.89216.45UmV).sin(16.4 )2
8、.89sin(47. sin5.1530 tttuUu 例 2： 求电路中各表读数(有效值) .0cos(10co2: t已。解：(1)u0=30V 作用于电路，L1、L2 短路，C1、C2 开路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V6(2) u1=120cos1000t V 作用 4012501 10462 323CLL， ，1U,cb1UIL V21adA9034jj11 IC在 L1、C1 发生并联谐振。(3) u2=60cos(2000t+ /4)V 作用： 20152012 201 ,8633CLL； ；V45
9、6U2CI V456 ; 2cbad2 UA4530jj21 LIL在 L2、C2 发生并联谐振。所求电压、电流的瞬时值为：i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t + 90) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t + 45) V表 A1 的读数： ；表 A2 的读数： ；表 A3 的读数：1I 2.1/3；A35.2)/(12
10、表 V1 的读数： ；表 V2 的读数：90)2/(02 V0.52)/60(32713.5 对称三相电路中的高次谐波1. 对称三相电路中的高次谐波设 ， ，)(Atu)3(TtB)32(TtuC展开成傅里叶级数( k 为奇数) ，则有：讨论： 令 k =6n+1，( n =0,1,2)，即：k =1,7,13 各相的初相分别为： 、 、 ，正序对称三相电)324(n)324(nk源。 令 k =6n+3，即：k =3,9,15 各相的初相分别为： 、 、 ，零序对称三相电源)(k2)1(2)1(k 令 k =6n+5，即：k =5,11,17 m()1coskkUtB() 2)3uCm()1
11、cskkt8各相的初相分别为： 、 、 ，为负)(k)32)(nk )32)(nk序对称三相电源。结论：三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为 3 类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按 3 类对称组分别进行。 对于正序和负序 对称组，可直接引用第 12 章的方法和有关结论。2. 零序组分量的响应a. 对称的三角形电源零序组电压源是等幅同相的电源：在三角形电源的回路中将产生零序环流：线电压：结论： 在环流的作用下零序线电压为零。 整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。 b. 星形对称电源（无中线对称系统） 结论：除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。 c. 三相四线制对称系统 A()B()C()S()kkkkUU()0()03kIZ零 序 零 序AB()C()A()S()()kkkkUN()S()kkU零 序 零 序()NA()B()C() 0kkkUIIZ()()()BC()A()0kkUS()A()B()C()l()n3kkkUIIZ9结论：除线电压外，电路中其余部分的电压、 电流中都含零序组分量。nS()N3kZUn()l()kkIIANBCN()l()kIZ()()A()0kkU
