1、北京 101 中学 2018 届下学期高三年级 3 月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，共 40 分。1. 已知集合 A=x| x（x-2）0，则 AB 是A. x| x0 B. x| x2C. x | 10且 k1）的点的轨迹是圆。后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 与A，B 距离之比为 2，当 P，A，B 不共线时，PAB 面积的最大值是A. 2 B. C. 32 D. 328. 如图，PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD。若点 M 为平面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M
2、在正方形 ABCD 及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段二、填空题：本大题共 6 小题。共 30 分。9. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为_. 10. 已知双曲线 C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合，一条渐近线方程为 x+y=0，则双曲线 C 的方程是_。11. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=60，则 AB C=_。12. 若变量 x，y 满足约束条件 ,045,yx则 x2+y2的最小值为_。13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。一位同学受到启发，按以下步
3、骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用 a，b，c，d 表示为_；（3）右图中阴影区域的面积为 BADdcsin22；（4）则柯西不等式用字母 a，b，c，d 可以表示为（ac+bd） 2（a 2+b2） （c 2+d2） 。请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_。14. 已知函数 f（x）= ,0sinxg（x）=f（x）-kx（kR） 。当 k=l 时，函数 g（x）有_个零点；若函数 g（x）有三个零点，则 k 的取值范围是_。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。15. （本小题满分 13 分
4、）已知函数 f（x）=（sinx+cosx） 2-cos2x。（I）求 f（x）的最小正周期；（II）求证：当 x0， 2时，f（x）0。16. （本小题满分 13 分）已知由实数构成的等比数列a n满足 a1=2，a 1+ a3+ a5=42。（I）求数列a n的通项公式；（II）求 a2+ a4+ a6+ a2n。17. （本小题满分 13 分）2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决。图 1（扇形图）和表 1 是其中一场关键比赛的部分数据统计。两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图 1。
5、在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。选手乙在比赛中的接发球技术统计如表 1，其中的前 4 项技术统称反手技术，后3 项技术统称为正手技术。图 1选手乙的接发球技术统计表技术 反手拧球 反手搓球 反手拉球 反手拨球 正手搓球 正手拉球 正手挑球使用次数 20 2 2 4 12 4 1得分率 55% 50% 0% 75% 41.7% 75% 100%表 1（I）观察图 1，在两位选手共同使用的 8 项技术中，差异最为显著的是哪两项技术?（II）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少?（
6、III）如果仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数） ，你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）18. （本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC 为正三角形，侧棱 AA1底面 ABC。已知 D 是 BC 的中点，AB=AA1=2。（I）求证：平面 AB1D平面 BB1C1C；（II）求证：A 1C平面 AB1D；（III）求三棱锥 A1-AB1D 的体积。19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： 152byx（b0）的一个焦点坐标为（2，0） 。（I）求椭圆 C 的方程；（II）已知点 E（3，0） ，过
7、点（1，0）的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 ME与直线 x=5 相交于点 F，试证明：直线 FN 与 x 轴平行。20. （本小题满分 13 分）已知函数 f（x）=xcos+a，aR。（I）求曲线 y=f（x）在点 x= 2处的切线的斜率；（II）判断方程 f （x）=0（f （x）为 f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（III）若函数 F（x）=xsinx+cosx+ax 在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求 a 的取值范围。参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，共 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B
8、D A A B A D二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。题号 9 10 11 12 13 14答案 48 12yx2 8 ac+bd；两个要点：（1）两图中的阴影部分面积相等；（2）|sinBAD|11， （0， 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。15. 解：（I）因为 f（x）=sin 2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x= sin（2x- 4）+1。所以函数 f（x）的最小正周期为 。7 分（II）由（I）可知，f（x）= 2sin（2x- ）+1。当 x0， 2时，2x- 4- ， 3，sin（2x- 4） - 2，1，sin（2x
9、- ）+10， 2+l。当 2x- 4=- ，即 x=0 时，f（x）取了最小值 0。所以当 x0， 2时，f（x）0。13 分16. 解：（I）由 42531a可得 2（1+q 2+q4）=42。由数列a n各项为实数，解得 q2=4，q= 2。所以数列a n的通项公式为 an=2n或 an=（-1） n-12n 7 分（II）当 an=2n时，a 2+ a4+ a6+ a2n= 341)(（4 n-1） ；当 an=（-1） n-12n时，a 2+ a4+ a6+ a2n= )()n（1-4 n） 。 . . . . 13 分17. 解：（I）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手
10、搓球和反手拧球两项技术。2 分（II）根据表 1 的数据可知，选手乙的反手拉球 2 次，分别记为 A，B，正手拉球 4 次，分别记为a,b，c,d。则从这六次拉球中任取两次，共 15 种结果，分别是：AB，Aa,Ab，Ac，Ad,Ba，Bb，Bc,Bd,ab，ac，ad,bc,bd,cd。其中至少抽出一次反手拉球的共有 9 种，分别是：AB,Aa，Ab，Ac,Ad,Ba，Bb，Bc,Bd。则从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率 539P。10 分（III）正手技术更稳定。 13 分18. （I）证明：由已知ABC 为正三角形，且 D 是 BC 的中点，所以 A
11、DBC。因为侧棱 AA1底面ABC，AA 1BB 1，所以 BB1底面 ABC。又因为 AD底面 ABC，所以 BB1AD。而 B1BBC=B，所以 AD平面BB1C1C。因为 AD平面 AB1D，所以平面 AB1D平面 BB1C1C。5 分（II）证明：连接 A1B，设 A1BAB1=E，连接 DE。由已知得，四边形 A1ABB1为正方形，则 E 为 A1B 的中点. 因为 D 是 BC 的中点，所以 DEA 1C。又因为 DE平面 AB1D，A 1C平面 AB1D，所以 A1C平面 AB1D。10 分（III）由（II）可知 A1C平面 AB1D，所以 A1与 C 到平面 AB1D 的距离
12、相等，所以 DBCABV11。由题设及 AB=AA1=2，得 BB1=2，且 23ACS。所以 ABA11=3 3231BSACD，所以三棱锥 A1-AB1D 的体积为 1ABV。 14 分19. 解：（I）由题意可知 .5,2bac所以 a2=5，b 2=1。所以椭圆 C 的方程为 25yx=1 3 分（II）当直线 l 的斜率不存在时，此时 MNx 轴。设 D（1，0） ，直线 x=5 与 x 轴相交于点 G，易得点 E（3，0）是点 D（1，0）和点 G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|。所以直线 FNx轴。当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为
13、y=k（x-1） （k0） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 。因为点 E（3，0） ，所以直线 ME 的方程为 y= 31xy（x-3） 。令 x=5，所以 yF= 1x（5-3）= 1xy。由 5),(2yxk消去 y 得（1+5k 2）x 2-10k2x+5（k 2-1）=0。显然 0 恒成立。所以 x1+x2=50k，x 1x2= 5)(k。因为 y2-yF=y2- 31y= )(112y= 3)1(2)(12xk= 35)(122xk= 350)(122xkk=52k 06122，所以 y2=yF。所以直线 FNx 轴。综上所述，所以直线 FNx 轴。14 分20. 解：（I）f （x）=cosx-xsinxk=f （ 2）= 。3 分（II）设 g（x）=f （x） ，g （x）=-sinx-（sin x+xcosx）=-2sinx-xcosx. 当 x（0，1）时，g （x）0，g（1）=cos1-sin1g（x 0）=0，即 f （x）0成立，函数 f（x）为增函数；在（x 0，1）上，g（x）f（0） 。若函数 f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点 x1，且 f（x）在 x1两侧异号，则只需满足：0)1(f。即 01cosa，解得-cos1 a0。13 分
