1、二次函数一、选择题1. （2015，广西柳州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴相交于（2，0）和（4，0）两点，当函数值 y0 时，自变量 x的取值范围是（ ）A x2 B2x4 Cx0 D x4考点： 抛物线与 x轴的交点分析： 利用当函数值 y0 时，即对应图象在 x轴上方部分，得出 x的取值范围即可解答： 解：如图所示：当函数值 y0 时，自变量 x的取值范围是：2x4故选：B点评： 此题主要考查了抛物线与 x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键2. （2015，广西玉林，12，3 分）如图，反比例函数 y= 的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（ ，m） （m
2、0） ，则有（ ）A a=b+2k Ba=b2k Ckb0 D ak0考点： 二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征专题： 计算题分析： 把（ ，m）代入 y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（ ， ） ，再把（ ， ）代入 得到 k= ，由图象的特征即可得到结论解答： 解：y=ax 2+bx图象的顶点（ ，m） ， = ，即 b=a，m= = ，顶点（ ， ） ，把 x= ，y= 代入反比例解析式得：k= ，由图象知：抛物线的开口向下，a0，ak0，故选 D点评： 本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键3. （20
3、15，广西河池，8，3 分）将抛物线 y=x2向右平移 2个单位,再向上平移3个单位后,抛物线的解析式为( ) A.y=(x+2)2+3 B. y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)-3解析:左加右减,上加下减,故选 B1 （2015内蒙古赤峰 8，3 分）抛物线 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象分析： 根据二次函数图象与系数的关系确定 a0，b0，c0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案解答： 解：由
4、抛物线可知，a0，b0，c0，一次函数 y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 y= 的图象在第二、四象限，故选：B点评： 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键4. （2015齐齐哈尔,第 9题 3分）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与 x轴的一个交点 A在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：4acb 20；2ab=0；a+b+c0；点 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2）在抛物线上，若 x1x 2，则 y1y 2，其中正确结论的个数是（ ）A 1
5、个 B 2 个 C 3 个 D 4 个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 根据函数与 x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断解答： 解：函数与 x轴有两个交点，则 b24ac0，即 4acb 20，故正确；函数的对称轴是 x=1，即 =1，则 b=2a，2ab=0 ，故正确；当 x=1时，函数对应的点在 x轴下方，则 a+b+c0，则正确；则 y1和 y2的大小无法判断，则错误故选 C点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出 a，b，c 的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子5. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 11题 3分）二次函数
6、y=（x+2） 21 的图象大致为（ ）A B C D.考点： 二次函数的图象分析： 根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可解答： 解：a=10，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为 x=2，顶点坐标为（2，1） 故选：D点评： 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键6. （2015天津,第 12题 3分） （2015天津）已知抛物线 y= x2+ x+6与 x轴交于点 A，点 B，与 y轴交于点 C若 D为 AB的中点，则 CD的长为（ ）A B C D考点： 抛物线与 x轴的交点分析： 令 y=0，则 x2+ x+6=0，由此得到 A
7、、B 两点坐标，由 D为 AB的中点，知 OD的长，x=0 时，y=6，所以 OC=6，根据勾股定理求出 CD即可解答： 解：令 y=0，则 x2+ x+6=0，解得：x 1=12，x 2=3A、B 两点坐标分别为（12，0） （3，0）D 为 AB的中点，D（4.5，0） ，OD=4.5，当 x=0时，y=6，OC=6，CD= = 故选：D点评： 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出 AB中点 D的坐标是解决问题的关键7.（2015贵州省贵阳,第 10题 3分）已知二次函数 y=x 2+2x+3，当 x2 时，y的取值范围是（ ）Ay3 B y3 C y3 D y
8、3考点： 二次函数的性质分析： 先求出 x=2时 y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可解答： 解：当 x=2时，y=4+4+3=3，y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，当 x1 时，y 随 x的增大而减小，当 x2 时，y 的取值范围是 y3，故选 B点评： 本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性 质是解此题的关键，数形结合思想的应用8. （2015贵州省黔东南州,第 10题 4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb 20；其中正确的结论有（ ）A 1 个 B 2个 C 3个 D 4
9、个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 首先根据二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得 c=0，所以abc=0；然后根据 x=1时，y0，可得 a+b+c0；再根据图象开口向下，可得a0，图象的对称轴为 x= ，可得 ，b0，所以 b=3a，ab；最后根据二次函数 y=ax2+bx+c图象与 x轴有两个交点，可得0，所以b24ac0，4acb 20，据此解答即可解答： 解：二次函数 y=ax2+bx+c图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1 时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是 x= ， ，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数
10、 y=ax2+bx+c图象与 x轴有两个交点，0，b 24ac0，4acb 20，正确；综上，可得正确结论有 3个：故选：C点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当 a与 b同号时（即 ab0） ，对称轴在 y轴左； 当 a与 b异号时（即 ab0） ，对称轴在 y轴右 （简称：左同右异）常数项c决定抛物线与 y轴交点 抛物线与 y轴交于（0，c） 9. （2015黑龙江省大庆,第 9题 3分）已
11、知二次函数 y=a（x2） 2+c，当x=x1时，函数值为 y1；当 x=x2时，函数值为 y2，若|x 12|x 22|，则下列表达式正确的是（ ）A y 1+y20 B y 1y 20 C a（y 1y 2）0 D a（y 1+y2）0考点： 二次函数图象上点的坐标特征分析： 分 a0 和 a0 两种情况根据二次函数的对称性确定出 y1与 y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解解答： 解：a0 时，二次函数图象开口向上，|x 12|x 22|，y 1y 2，无法确定 y1+y2的正负情况，a（y 1y 2）0，a0 时，二次函数图象开口向下，|x 12|x 22|，y 1y 2，无法
12、确定 y1+y2的正负情况，a（y 1y 2）0，综上所述，表达式正确的是 a（y 1y 2）0故选 C点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数 a的正负情况分情况讨论10. （2015辽宁省盘锦,第 8题 3分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c=（a0）图象的一部分，对称轴是直线 x=2关于下列结论：ab0；b 24ac0；9a3b+c0；b4a=0；方程 ax2+bx=0的两个根为 x1=0，x 2=4，其中正确的结论有（ ）A B C D考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系，由抛物线与
13、y轴的交点判断 c与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：抛物线开口向下，a0， =2，b=4a，ab0，错误，正确，抛物线与 x轴交于4，0 处两点，b 24ac0，方程 ax2+bx=0的两个根为 x1=0，x 2=4，正确，当 a=3 时 y0，即 9a3b+c0，错误，故正确的有故选：B点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与 b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用11 （4 分） （2015黔西南州） （第 9题）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4cm
14、，BC=6cm，动点 P从点 C沿 CA，以 1cm/s的速度向点 A运动，同时动点O从点 C沿 CB，以 2cm/s的速度向点 B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动则运动过程中所构成的CPO 的面积 y（cm 2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）A B C D 考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象专题： 压轴题；动点型分析： 解决本题的关键是正确确定 y与 x之间的函数解析式解答： 解：运动时间 x（s） ，则 CP=x，CO=2x；S CPO = CPCO= x2x=x2则CPO 的面积 y（cm 2）与运动时间 x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0x
15、3） ，故选：C点评： 解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式二、填空题1. （2015宁德 第 15题 4 分）二次函数 y=x24x3 的顶点坐标是（ 2 ， 7 ） 考点： 二次函数的性质分析： 先把 y=x24x3 进行配方得到抛物线的顶点式 y=（x2） 27，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标解答： 解：y=x 24x3=x24x+47=（x2） 27，二次函数 y=x24x+7 的顶点坐标为（2，7） 故答案为（2，7） 点评： 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键2 （2015 福建龙岩 15，3 分）抛物线 y=2x24x+3 绕坐标原点旋转
16、180所得的抛物线的解析式是 y=2x 24x3 考点： 二次函数图象与几何变换分析： 根据旋转的性质，可得 a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案解答： 解：将 y=2x24x+3 化为顶点式，得 y=2（x1） 2+1，抛物线 y=2x24x+3 绕坐标原点旋转 180所得的抛物线的解析式是y=2（x+1） 21，化为一般式，得 y=2x 24x3，故答案为：y=2x 24x3点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质3. （2015辽宁省朝阳,第 15题 3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）与足球被踢出后经过的时间 t（s）之间具有函数关系h=at
17、2+19.6t，已知足球被踢出后经过 4s落地，则足球距地面的最大高度是 19.6 m考点： 二次函数的应用分析： 首先由题意得：t=4 时，h=0，然后再代入函数关系 h=at2+19.6t可得 a的值，然后再利用函数解析式计算出 h的最大值即可解答： 解：由题意得：t=4 时，h=0，因此 0=16a+19.64，解得：a=4.9，函数关系为 h=4.9t 2+19.6t，足球距地面的最大高度是： =19.6（m） ，故答案为：19.6点评： 此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式三、解答题1. （2015福建 第 22题 10 分）
18、已知二次函数 y=x 2+2x+m（1）如果二次函数的图象与 x轴有两个交点，求 m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0） ，与 y轴交于点 B，直线 AB与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P的坐标考点 ： 抛物线与 x轴的交点；二次函数的性质.分析：（1）由二次函数的图象与 x轴有两个交点，得到=2 2+4m0 于是得到m1；（2）把点 A（3，0）代入二次函数的解析式得到 m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=x 2+2x+3，求得 B（0，3） ，得到直线 AB的解析式为：y=x+3，把对称轴方程 x=1，直线 y=x+3 即可得到结果解答： 解：（1）二次
19、函数的图象与 x轴有两个交点，=2 2+4m0，m1；（2）二次函数的图象过点 A（3，0） ，0=9+6+mm=3，二次函数的解析式为：y=x 2+2x+3，令 x=0，则 y=3，B（0，3） ，设直线 AB的解析式为：y=kx+b， ，解得： ，直线 AB的解析式为：y=x+3，抛物线 y=x 2+2x+3，的对称轴为：x=1，把 x=1代入 y=x+3 得 y=2，P（1，2） 点评： 本题考查了二次函数与 x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线 AB的交点即为点 P的坐标是解题的关键2. （2015甘南州第 17题 7 分）已知抛物线 y=ax2+bx+3的对称轴是
20、直线x=1（1）求证：2a+b=0；（2）若关于 x的方程 ax2+bx8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x轴的交点.分析：（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所 求，再将 x=4代入方程求出 a，b 的值，进而解方程得出即可解答：（1）证明：对称轴是直线 x=1= ，2a+b=0 ；（2）解：ax 2+bx8=0 的一个根为 4，16a+4b8=0，2a+b=0，b=2a，16a8a8=0，解得：a=1，则 b=2，ax 2+bx8=0 为：x 22x8=0，则（x4） （x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=2，故方程的另一个根为：2点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b 的值是解题关键3. （2015宁德 4 分）已知抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A的坐标是（1，0） ，点 C的坐标是（0，3） （ 1）求抛物线的函数表达式；
