1、大学物理下册期末复习计算题第 7 章 真空中的静电场*1.一半径为 的带电导体球，电荷为- 。求：球内、外任意一点的电场强度。RQ1.解：由高斯定理可求出电场强度的分布（1 分）（3 分）intqSdE（4分）（2分）（2 分）解：由高斯定理可求出电场强度的分布（1 分）（3 分）intqSdE（4分）（2分）（2分）*2.一半径为 的带电导体球，电荷为 。求：（1）球内、外任意一点的电场RQ强度；（2）球内、外任意一点电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布（3分）（2分）当rR时 （3分）当rR时 （4分）RrQr 40202 RrrqE042 rqdrqVr 02044 RR02RrQr
2、 40202*3. 如图所示，一长为 L，半径为 R 的圆柱体，置于场强为 E 的均匀电场中，圆柱体轴线与场强方向平行，求穿过圆柱体下列端面的电通量。（1）左端面 （2）右端面（3）侧面（4）整个表面解： 根据电通量定义（1）左端面（4 分） 12cosss REdSEdS（2）右端面（4 分） 203s（3）侧面（1 分）2cos2EdSss（4）整个表面（3 分）0321ss4. 三个点电荷 、 和 在一直线上，相距均为 ，以 与 的中心 作1q23R21q2O一半径为 的球面， 为球面与直线的一个交点，如图。求：RA(1) 通过该球面的电通量 ；SEd(2) 点的场强 .A解：由高斯定理
3、得： （3 分）int01qSd(4 分)021SEqd（5 分）203202014)3(4RqRA 5. 有一球面的半径为 ，所带电量为 , 另有一同心球面，它的半径为AAQLRER（ ）, 所带电量为 , 求(1) 电势在各区域的分布表达式；（2）BRABQ两个球面之间的电势差。解：（1） ， （3 分）ARr0BARU0014， （3 分）BA Br002， （3 分）rRBQUBA0034（2） BBABABA RQR0000 4（3 分）BRQA140*6. 如图，一半径为 R 的半圆环上均匀分布电量+ Q，求圆心处的电场强度。解：在圆环上取一电荷元， （1 分）Rdldq电荷元在圆
4、心处产生的场强为 （2 分）04Ee把该场强进行分解得到， （3 分）20dsin4xqER20dcosyqR200=ixx 20()Q200dcosd4yyER方向沿 x 轴 （2 分）20)(Qx*7. 应用高斯定理证明：无限长电荷线密度为 的均匀带电直线，距带电直线处的电场强度为 。rrE02证明：选取以带电直线为轴的圆柱形高斯面， （2 分）(4 分)（6 分）rhEdSESdESde 23321 根据高斯定理可得 （4 分）0hrerE02*8. 带电细线弯成半径为 的半圆形，电荷线密度为 ，式中 为一Rsin00常数， 为半径 与 轴所成的夹角，如图所示。试求环心 处x O的电场强
5、度。解： （4 分）RddlE0204sin考虑到对称性 （3 分）cox 0xE（2 分）sindy方向沿 轴负向 （3 分）RdEy 000284sini y*9. 直角三角形 的 点上，有电荷 ， 点上有电荷ABCC108.91qB，试求 点的电场强度(设 ).C18.492q m3.,4.A解： 在 C 点产生的场强 （3 分）20114qE在 C 点产生的场强 （3 分）2q2012BCC 点的合场强 （3 分） 方向如图mVE421.（3 分）76arctnarct21E*10将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 的半径为 ，试求圆心 点
6、的场强ABRO解：设 O 为坐标原点，水平方向为 轴，竖直方向为 轴xy半无限长导线 在 O 点的场强 A)(40jiE1R半无限长导线 在 O 点的场强 B)(0ji2AB 圆弧在 O 点的场强 )(40jiE3R总场强 j)i321 (0第八章 静电场中的导体与电介质三、计算题1. 半径分别为 a 和 b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷 Q，求：（1 ）每个球上分配到的电荷是多少？（2 ）按电容定义式，计算此系统的电容。解：（1）两孤立导体球电势相等，故3 分bqaU004又 2 分Q解得 2 分baqa，（2 ）根据电容定义式，此系统
7、的电容为3 分)(40UC2. 如图， 3 个“无限长”的同轴导体圆柱面 A、B、C，半径分别为 RA、R B、R C，圆柱面 B上带电荷，A 和 C 都接地。求 B 的内表面上沿轴线电荷线密度 1 和外表面上电荷线密度 2之比值 1/2。解：由高斯定理，A 的外表面上沿轴线电荷线密度 -1，C 的内表面上电荷线密度 -23 分ABRBA RdrUln2)(01013 分BCRCBl2而 ，故 2 分BA2 分ABClnl213. 有一外半径为 R1、内半径为 R2 的金属球壳，其内有一同心的半径为 R3 的金属球。球壳和金属球所带的电量均为 q。求空间的电场分布。解：作半径为 r 的同心球面
8、为高斯面，则通过高斯面的电通量为1 分ErSd24当 时，3Rr0内q由高斯定理 ，得 1 分0内SdE2 分1当 时，23Rrq内由高斯定理 ，得0内SdE2 分2024rq当 时，12Rr内由高斯定理 ，得0内qSdE2 分3当 时，1Rrq2内由高斯定理 ，得0内SdE2 分204rq4. 一半径为 互相绝缘的两个同心导体球壳，现将 +q 电量给予内球壳，求外球)(,11壳上所带的电荷和外球的电势。r1r2解：+q 分布在内球壳外表面，静电感应后，外球壳内表面带电 -q，外表面带电+q，整个外球壳总电荷为零， 。由高斯定理得：0外 球 壳Q3 分)(402201rrqE由静电平衡条件得：
9、球壳导体内部场强为零， 即： 2 分 内 部E所以有： 5 分 202022 rdrldUrr 外 球5. 一平板电容器充满两层厚度各为 d1 和 d2 的电介质，它们的相对电容率分别为 和 ，极板的面积为 S。求电容器1r2的电容。解：设两电介质中场强分别为 和 ，选如图所示的上1E2下底面面积均为 的柱面为高斯面，上底面在导体中，下底面在电介质中，侧面的法线与S场强垂直，柱面内的自由电荷为 ，根据高斯定理，得SQ02 分101DdS所以 1 分0D电介质中的电场强度为 2 分 1010rrE2 分222rrD两极板的电势差为 2 分21021rddEldU由电容的定义，得 1 分 1210
10、SQCrr6. 圆柱形电容器上由半径为 R1 的长直圆柱导体和与它同轴的薄导体圆筒组成，圆筒的半径为 R2。若直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 r 的电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+ 和- 。求电介质中的场强、电位移和极化强度。解：由对称性分析，电场为柱对称分布，根据介质中的高斯定理，有R1R23 分lrDSd2可得 1 分由 得电介质中场强为： 3 分 EDr0 )(2210RrEr电介质中极化强度为：3 分Prr)1(07. 球形电容器的内、外半径分别为 R1 和 R2，所带的电量为 Q。若在两球之间充满电容率为 的电介质，问此电容器电场的能量为多少。解：若电容器两极板上
11、电荷的分布是均匀的，则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳间的电场强度的大小为2 分 24rQE电场的能量密度为2 分4231re取半径为 r、厚为 rdr 的球壳，其体积为 dV=4r2dr。所以此体积元内的电场的能量为3 分 drQrdVWe28 电场总能量为3 分)1( 822221 RrQRe 8. 两块大金属板 A 和 B，面积均为 S，平行放置，间距为 d，如图所示，将 A 板带电 QA，将 B 板带电 QB，试求 A、B 两板各个表面上的电量；解：（1）两板共有四个表面，设电荷面密度分别为，由题意有432、1 分 AQS211 分 B43由于静电平衡时导体内部场强处处为零，
12、又由于板间电场与板面垂直，因此对于图示的高斯面来说，由高斯定理可得3 分032假设各面所带的电荷均为正，则电场强度方向均应垂直与各板面向外。设向右的方向为正，在右边的导体内任一点 P 的场强为四个无穷大带电平面的电场的叠加，因而有2 分022403201E即 1 分431将以上四式联立求解，可得1 分SQBA2411 分32第九章 稳恒磁场三、计算题1. 如右图，在一平面上，有一载流导线通有恒定电流 I，电流从左边无穷远流来，流过半径为 R 的半圆后，又沿切线方向流向无穷远，求半圆圆心 O 处的磁感应强度的大小和方向。解：如右图，将电流分为 ab、bc、cd 三段，其中，a、d 均在无穷远。各
13、段在 O 点产生的磁感应强度分别为：ab 段：B 1=0 （1 分）bc 段：大小： （2 分）RI402方向：垂直纸面向里 （1 分）cd 段：大小： （2 分）IB03方向：垂直纸面向里 （1 分）由磁场叠加原理，得总磁感应强度（2 分）)1(40321RI方向：垂直纸面向里 （1 分）2. 一载有电流 I 的长导线弯折成如图所示的形状，CD 为 1/4 圆弧，半径为 R，圆心 O 在AC、EF 的延长线上。求 O 点处的磁感应强度。ROF EDRC AORa b cd解：各段电流在 O 点产生的磁感应强度分别为：AC 段：B 1=0 （1 分）CD 段：大小： （2 分）RI802方向：
14、垂直纸面向外 （1 分）DE 段：大小： （2 分）RIIB2)135cos4(24003 方向：垂直纸面向外 （1 分）EF 段：B 4=0 （1 分）由磁场叠加原理，得总磁感应强度（1 分）RIB2804321方向：垂直纸面向外 （1 分）3. 如右图所示，一匝边长为 a 的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。 当二者之间的最近距离为 b 时，求线圈所受合力 的大小？F解：无限长载流直导线在空间的磁场 （2 分）rI210AD 段所受的安培力大小 （2 分）baI210方向水平向左。BC 段所受的安培力大小 （2 分）)(210aI方向水平向右。AB 段和 CD 段所受的安培力大小相等方向相反。 （2 分）线圈所受的合力 （2 分）)(2210baI方向水平向左。I1 aCDA BI2b
