1、冯 西 桥 清华大学工程力学系2007.09.21,第二章 张量分析初步 Fundamentals of Tensor Analysis,目 录,引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,引 言,广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示,Appendix A,主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972 黄克智等，
2、张量分析，清华大学出版社，2003.,张量基本概念,标 量（零阶张量） 例如：质量，温度质量密度应变能密度，等其值与坐标系选取无关。,Appendix A.1,矢量（一阶张量） 位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等,Appendix A.1,张量基本概念,矢 量 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为,Appendix A.1,其中u1, u2, u3 是u的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。,张量基本概念,矢 量,Appendix A.1,既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则,张量基本概念,矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：
3、 u分解式记法：分量记法：,Appendix A.1,张量基本概念,Appendix A.1,指标符号用法 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：,张量基本概念,爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。,Appendix A.1,张量基本概念,Appendix A.1,由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：,只要指标 j
4、或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。,张量基本概念,约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j, k, 表示三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, , , 均为二维指标，取值1, 2。,张量基本概念,张量基本概念,拉丁指标,希腊指标,张量基本概念,二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。,Appendix A.1,二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量低阶张量的梯度低阶张量的并积更高阶张量的缩并，等。,Appendix A.1,张量基本概念,张量基本概念,应力张量,Appendix A
5、.1,张量的三种记法：实体记法： 分解式记法：分量记法：,Appendix A.1,张量基本概念,爱因斯坦求和约定,Appendix A.1,张量基本概念,Appendix A.1,采用指标符号后，线性变换表示为,利用爱因斯坦求和约定，写成：,其中 j 是哑指标，i 是自由指标。,张量基本概念,例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为 (或 )。矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。,Appendix A.1,张量基本概念,Appendix A.1,在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：
6、,若i为自由指标,张量基本概念,Appendix A.1,自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式 在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有,张量基本概念,同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。,Appendix A.1,i换成k,张量基本概念,Appendix A.1,指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系,可简写成：,场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：,张量基本概念,Appendi
7、x A.1,可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。 例如：,若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：,张量基本概念,Appendix A.1,但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立,张量基本概念,Appendix A.1,小结,通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。,张量基本概念,张量分析初步,
8、矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,Appendix A.2,符号ij与erst,ij符号 (Kronecker delta)定义(笛卡尔坐标系),Appendix A.2,符号ij与erst,2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间,3. 换标符号，具有换标作用。例如：,即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。,Appendix A.2,符号ij与erst,类似地有,Appendix A.
9、2,符号ij与erst,erst符号(排列符号或置换符号)定义(笛卡尔坐标系),(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。,或,Appendix A.2,符号ij与erst,特性 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 对其任何两个指标都是反对称的，即当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变,常用实例 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：每个基矢量的模为1，即eiej1 (当ij时)不同基矢量互相正交，即e
10、iej0 (当ij时)上述两个性质可以用ij 表示统一形式： eiej ij,Appendix A.2,符号ij与erst,Appendix A.2,符号ij与erst,当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有,而对于左手系，有：,Appendix A.2,符号ij与erst,2. 矢量的点积：3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：,如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。,Appendix A.2,符号ij与erst,叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。,Appendix A.2,符号ij与erst,三个矢量a, b, c的混
11、合积是一个标量，其定义为：若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。,符号ij与erst,Appendix A.2,符号ij与erst,由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉积有关。,利用(A.24)和(A.23a)式有,Appendix A.2,符号ij与erst,三阶行列式的值,Appendix A.2,符号ij与erst,三阶行列式的值,Appendix A.2,符号ij与erst,三阶行列式的值,Appendix A.2,符号ij与erst,e-恒等式，其一般形
12、式为：即退化形式为：,附录A 张量分析引论,矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,坐标与坐标转换,Appendix A.3,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系),坐标与坐标转换,Appendix A.3,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,Appendix A.3,任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,Appendix A.3,概念坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。基矢量 矢径对坐
13、标的偏导数定义的三个基矢量gi,坐标与坐标转换,Appendix A.3,参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：,坐标与坐标转换,Appendix A.3,三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基,坐标与坐标转换,Appendix A.3,欧氏空间中的一般坐标系现在的坐标线可能不再正交；不同点处的坐标线可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能随点而异；各点处的参考架不再是正交标准化基。,坐标与坐标转换,Appendix A.3,坐标转换,坐标与坐标转换,Appendix A.3,将新基 对老基 分
14、解：转换系数： 反之：,向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边：右边：,坐标与坐标转换,Appendix A.3,坐标与坐标转换,Appendix A.3,由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式,坐标与坐标转换,Appendix A.3,坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合),坐标与坐标转换,Appendix A.3,坐标转换的一般定义 设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和 是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换 其逆变换为对(A.53)式微分,(A.53),处处不为零，则存在相应的逆变换，即
15、可反过来用 唯一确定,坐标与坐标转换,Appendix A.3,其系数行列式(雅克比行列式),坐标与坐标转换,Appendix A.3,容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系,张量分析引论,矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,分量转换规律,Appendix A.4,张量的分量转换规律 张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切
16、相关所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性,Appendix A.4,标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为 和 t，则矢量分量转换规律,分量转换规律,Appendix A.4,张量分量转换规律以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：其中，Tij 为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。,分量转换规律,Appendix A.4,张量分量转换规律 即：,分量转换规律,Appendix A.4,高阶张量的分量满足如下转换规律,分量转换规律,Appendix A.4,注： 在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，
17、自由指标的数目等于张量的阶数K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以n维K阶张量共有nK个分量。,分量转换规律,Appendix A.4,张量方程定义 每项都由张量组成的方程称为张量方程。特性 具有与坐标选择无关的重要性质，可用于 描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。,分量转换规律,张量分析引论,矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,张量代数&商判则,相 等若两个张量 和 相等则对应分量相等若两个张量在某个坐标系中的对
18、应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,和、差两个同阶张量 与 之和(或差) 是另一个同阶张量其分量关系,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,数 积张量A和一个数 (或标量函数) 相乘得另一同维同阶张量T其分量关系为,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,并 积两个同维不同阶(或同阶)张量A和B的并积T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量。设则 其分量关系为,Appendix A.5.1,注意：,张量代数&商判则,缩 并若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。其分量关系为,Appen
19、dix A.5.1,张量代数&商判则,若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,内 积并积加缩并运算称为内积。例如 和的一种内积是,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,点 积前张量A的最后基矢量与后张量B的第一基矢量缩并的结果，记为 ，是最常用的一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,双点积对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种： 并双点积串双点积,Appendix A.5.1,张量代数&商判则,Appendix A.5.1,并矢把K个独立
20、矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个K阶张量。,由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各个矢量的排列顺序不得任意调换。,张量代数&商判则,Appendix A.5.2,商判则 和任意矢量的内积(包括点积)为 K-1 阶张量的量一定是个 K 阶张量。,一个 K 阶张量连续地和 n 个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个 K-n 阶张量,张量分析引论,矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量,Appendix A,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,常用特殊张量零 张 量 则：,特殊张量
21、，主方向与主分量,Appendix A.6.1,单位张量 笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量 I，即,单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：I aa， I AA,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,球形张量主对角分量为 ，其余分量为零的二阶张量。它是数 与单位张量的数积。即,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,转置张量对于二阶张量 ，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量 T 的转置张量。,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,对称张量,对称张量,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,反对称张量转
22、置张量等于其负张量的张量。即满足反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。n维二阶对称张量有 个独立分量,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,加法分解任意二阶张量T均可分解为对称张量 S 和反对称张量 A 之和：,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,偏斜张量任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量 P 和偏斜张量 D 之和：,其中,Appendix A.6.1,偏斜张量为由式(A.90b)和(A.90c)知，偏斜张量三个对角分量之和为零：,特殊张量，主方向与主分量,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,置换张量
23、 笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.1,各向同性张量 所有分量均不因坐标转换而改变的张量。 例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。 标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。,一般说，矢量 a 与 b 并不同向。对于给定的任意二阶张量 T 能否找到某个矢量 ，它在线性变换后能保持方向不变，即或,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,主方向与主分量二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量 b 的线性变换，即,Appendix A.6.2,其中是标量。上式是求 j 的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分
24、必要条件是系数行列式为零,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,这是关于的特征方程；其中是Tij的主对角分量之和，称为张量T的迹，记作trT是矩阵Tij的二阶主子式之和。,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,是矩阵的行列式，记作detT。特征方程的三个特征根称为张量T的主分量。当T是实对称张量时，存在三个实特征根,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,由特征方程求特征根：,特殊张量，主方向与主分量,由每个(k) 分别求特征方向：,方向矢量 j(k),特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,由上述方法求得的三个单位矢量(k)
25、j(k)ej称为 张量T的主方向,注若(1) , (2) , (3)互不相等，则(1), (2), (3)互相垂直。对于二重根情况，例如(1)(2)，则垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为(1)和(2)。对于三重根情况，例如(1)(2) (3)，则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为(1), (2)和(3),特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,主坐标系沿主方向(1), (2),(3)的正交坐标系称为张量T的主坐标系。在主坐标系中，有,当T 为应力张量时，(k) 就是三个主应力1, 2和3,特殊张量，主方向与主分量,Appendix A.6.2,特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数I1, I2和I3分别称为张量T的第一、第二和第三不变量。 特征方程的根(k)也是三个不变量，相应的主方向(k)也与坐标无关。,不变量,谢 谢 ！,
