1、高中数列方法与解题技巧一、数列求通项的 10 种方法二、数列求和的 7 种方法三、6 道高考数列大题数列求通项的 10 种方法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.na123nna12na方法：等式两边同时除以 ，构造成等差数列，利用等差数列公式求解。形式： 项系数与后面所加项底数相同n二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na112na， na方法： 将上述各式累加，中间式子首尾项相抵可求得 12.na形式： ； 要求 、 的系数均为 1，对于 不为 1 时，需除以1naf1nan系数化为 1。例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.n1123n
2、na， na方法：同例 2例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.n11nna， n方法：等式的两边同除以 3， ，将 系数化为 1，再用累加法。三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.。na112()53nna， na方法： 将上述各式累乘，消除中间各项，可求得11215.nnaa na形式： ； 的关于 n 的倍数关系。nnf1a是例 6 已知数列 满足 ，求 的通项公式.na1231()(2)naa， na方法：本题与例 5 不同之处是想要通过错位相减法，求出 的递推关系，然后才能与用累成法求。四、待定系数法（X,Y,Z 法）例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项
3、公式.na112356nna， na方法：构造数列 。,xxx反 解形式： 1nkf例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na113524nnaa， na方法：构造数列 ，本题中递推关系中含常xyxy数 4，对于常数项，可看成是 。对于不同形式的 n 要设不同的参数。0例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na21 1345naa， na方法：同例 8，但它的参数要设 3 个。五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.na512nna17na方法：等式两边同取对数得到 ，然后可利用待定系数lglg35l法或者累加法求之。形式： ,其中对与 的高次方特别有
4、效。1xnnfn六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na3(1)2115nnaa， na方法：按照数列对应函数关系，由 逐层加上去，直到推到 为止。形式： 1nnf七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na1 1228()8139nnaa， na方法：演算 的前 4 项，猜测、发现项数 n 与项值之间的关系，然后证明猜测的正确性。形式：对于形式比较繁复，无从下手时，可以考虑用数归法去大胆猜测。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na1 1(42)6nnnaa， na方法：令 ，可将数列 递推关系转化为数列 的递推关系。从而去2
5、b b掉 ，实现有理化或者整式化。形式： 11nnnnafaf或 者九、不动点法例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na1124nna， na方法：求函数 ，两个自变量与对应函数相等时的值，解得xxf。即存在 k 使得 ，由此可构成新的等比数列 12,3132nnka形式： ，且对应函数有两个不同的解。12nnfa例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na11723na， na方法：本题对应函数的解相等，为 1，所以不能用不动点法，只能才用数归法做。十、阶差法（逐项相减法）例 16 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，且nanS1()26nna成等比数列，求
6、数列 的通项公式.249,a方法：由 推出 的递推关系，然后再求数列 的通项。1nns1n与 n形式： f练习 已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0n2)1(nnaSna数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(
7、2)(112、等比数列求和公式： )1(1)(1 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.3log1l23x nxx32例 2 设 Sn1+2+3+n，n N *,求 的最大值.1)32()nSnf二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an b n的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS例 4 求数列 前 n 项的和.,64,23n三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方
8、法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 5 求证： nnCC2(253210 例 6 求 的值 89siisiisi22四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂
9、项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）1)(1nna )12(1)2(1nnan（5） )()(2)( (6) nnnnnn Sa 2)1(,2)1(1)(1)( 1 则例 9 求数列 的前 n 项和.,32,例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的121nan 12nnab和.例 11 求证： sico89cos2coscos0 2六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+
10、cos178+ cos179的值.例 13 数列a n： ，求 S2002.nnaa12321,例 14 在各项均为正数的等比数列中，若 的值103231365 loglogl,9aa求.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 15 求 之和.11个n例 16 已知数列a n： 的值.11)(,)3(18nnaa求四川高考理科数学试题 2008 年-2013 年数列解答题设数列 的前 项和为 ，已知nanS21nnbaS（）证明：当 时， 是等比数列；（）求 的通项公式2b1 na
11、设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记nanSn51naS。*4()1nbN（I）求数列 的通项公式；nb（II）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 都有*21()cncnTn；3nT（III）设数列 的前 项和为 。已知正实数 满足：对任意正整数 恒成立，求nbnR,nR的最小值。已知数列a n满足 a10 ，a 22，且对任意 m、n N *都有 a2m1 a 2n1 2a mn1 2(mn)2（）求 a3，a 5；（）设 bna 2n1 a 2n1 (nN *)，证明：b n是等差数列；（）设 cn (an+1a n)qn1 (q0，nN *)，求数列c n的前 n 项和 Sn.设 d为非零实数， 121*()()nnnnnaCdCdN(1)写出 123,并判断 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设 *()nbdaN，求数列 nb的前 n 项和 nS已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立.nanS2nnaSn（）求 ， 的值；12（）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的最大值.10a10lgnanTnTnT在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求数列 的首项，公差及前na8314a29 na项和。n
