1、高一数学必修 1 知识网络集合12341 2nxABABn（ ） 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 （ ） 和 不 属 于 （ ）（ ） 集 合 中 元 素 的 特 性 ： 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性集 合 与 元 素 （ ） 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 ： 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集（ ） 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 、 描 述 法 （ 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ） 、 图 示 法 、 区 间 法子 集 ： 若 ， 则 ， 即 是 的 子 集 。、 若 集 合 中
2、有 个 元 素 ， 则 集 合 的 子 集 有 个 ， 注关 系集 合 集 合 与 集 合 0 (2-1)23, ,.4/ nCCAABxBBAxA 真 子 集 有 个 。、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， 即 、 对 于 集 合 如 果 ， 且 那 么、 空 集 是 任 何 集 合 的 （ 真 ） 子 集 。真 子 集 ： 若 且 （ 即 至 少 存 在 但 ） ， 则 是 的 真 子 集 。集 合 相 等 ： 且 定 义 ： 且交 集 性 质 ： ， ， ，运 算 ,/()()()-()/ ()()UUUUUABBBCardABardCardxAACAC ，定 义
3、： 或并 集 性 质 ： ， ， ， ， ， 定 义 ： 且补 集 性 质 ： ， ， ， ， ()()函数 ,AB Axy fBBxyxfy yxy映 射 定 义 ： 设 ， 是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 ， 使 对 于 集 合 中 的 任 意 一 个 元 素 ， 在 集 合 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与 之 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 ： 为 从 集 合 到 集 合 的 一 个 映 射传 统 定 义 ： 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 并 且 对 于 在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确
4、定 的 值 ，定 义 按 照 某 个 对 应 关 系 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 就 是 的 函 数 。 记 作函 数 及 其 表 示函 数 ()., ,()()(), ,1212()() , ,fxabaxbfxfxfxababff ab近 代 定 义 ： 函 数 是 从 一 个 数 集 到 另 一 个 数 集 的 映 射 。定 义 域函 数 的 三 要 素 值 域 对 应 法 则解 析 法函 数 的 表 示 方 法 列 表 法图 象 法单 调 性函 数 的 基 本 性 质 传 统 定 义 ： 在 区 间 上 ， 若 如 ， 则 在 上 递 增 是 递 增 区
5、 间 ； 如 ， 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。导 数 定 义 ： 在 区 间 () 1 ()2 () ()00, 0() ()0() ,yfxI MxIfxMxIfxMyff abfxfabab 最 大 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 大 值最 值 最 上 ， 若 ， 则 在 上 递 增 ,是 递 增 区 间 ； 如 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。 () ()() ()(1)()(), ()2f I N IfN
6、IfNfxfxfxDfx 小 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 小 值定 义 域 ， 则 叫 做 奇 函 数 ， 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。奇 偶 性 定 义 域 ， 则 叫 做 偶 函 数 ， 其 图() ()()0)()()1 , ()12 yfx fxTfxTfx TTfxyxaxyfxaa 象 关 于 轴 对 称 。 奇 偶 函 数 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称周 期 性 ： 在 函 数 的 定 义 域 上 恒 有
7、的 常 数 则 叫 做 周 期 函 数 ， 为 周 期 ； 的 最 小 正 值 叫 做 的 最 小 正 周 期 ， 简 称 周 期（ ） 描 点 连 线 法 ： 列 表 、 描 点 、 连 线向 左 平 移 个 单 位 ：向 右 平 移 个平 移 变 换函 数 图 象 的 画 法 （ ） 变 换 法 , ()1 1011/ ()01)bxbbfyyxxwwwxwyfxyAA单 位 ：向 上 平 移 个 单 位 ：向 下 平 移 个 单 位 ：横 坐 标 变 换 ： 把 各 点 的 横 坐 标 缩 短 （ 当 时 ） 或 伸 长 （ 当 时 ） 到 原 来 的 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ，
8、 即伸 缩 变 换 纵 坐 标 变 换 ： 把 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 或 缩 短 （ 到/()122100(,) 2(2)0 001()12(0 022010 Ayyfxxxxy yfxyyyfxyxxy yfyyy 原 来 的 倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 即关 于 点 对 称 ：关 于 直 线 对 称 ：对 称 变 换 关 于 直 线 对 称 ： )1()xfx 关 于 直 线 对 称 ：附：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；5、三角函数正切函数 中
9、tanyx；余切函数 中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应()2xkZcotyx依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、 单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：1、若 均为某区间上的增（减）函数，则 在这个区间上也为增(),fxg()fxg（减）函数2、若 为增（减）函数，则 为减（增）函数()f
10、()fx3、若 与 的单调性相同，则 是增函数；若 与 的单xg()yfgx()fxg调性不同，则 是减函数。()yfx4、奇函数在对称区间上的单调 性相同，偶函数在 对称区间 上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比 较大小、求 值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在 处 有定义， 则 ，如果一个函数 既是奇0x(0)f()yfx函数又是偶函数，则 （反之不成立）()f2、两个奇（偶）函数之和（差）为 奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函
11、数，那么()yfu()gx该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数 的定义域关于原点 对称， 则 可以表示 为()fx()fx，该式的特点是：右端为一个奇函数和11()()()22fxfxfx一个偶函数的和。 , ()0 ()(), ()()0, (,)0,()0yfxfxxyfxfab fafbyfx cabfccfxf 零 点 ： 对 于 函 数 （ ） 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 函 数 的 零 点 。定 理 ： 如 果 函 数 在 区 间 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有零 点 与 根 的 关 系 那 么
12、 ， 函 数 在 区 间 内 有 零 点 。 即 存 在 使 得 这 个 也 是 方 程 的 根 。 （ 反 之 不 成 立 ）关 系 ： 方 程函 数 与 方 程函 数 的 应 用 () ()(1),()()0,2(,);(3)()0,(), (,)0()()0,yfxyfxxabfafbcfcf cfaf bcxabfcfba有 实 数 根 函 数 有 零 点 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点确 定 区 间 验 证 给 定 精 确 度 ；求 区 间 的 中 点计 算 ；二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 若 则 就 是 函 数 的 零 点 ； 若 则 令 （ 此 时 零 点 ）
13、； 若 则 令 （ 此 时 零 点 (,)(4) -, ();24cb ab ） ；判 断 是 否 达 到 精 确 度 ： 即 若 则 得 到 零 点 的 近 似 值 或 否 则 重 复 。几 类 不 同 的 增 长 函 数 模 型函 数 模 型 及 其 应 用 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ,(0,)(),(1)1lo mnaanarsrsQbbxyaax 根 式 ： 为 根 指 数 ， 为 被 开 方 数分 数 指 数 幂指 数 的 运 算指 数 函 数 性 质定 义 ： 一 般 地 把 函 数 且 叫 做 指 数 函 数 。指 数
14、函 数 性 质 ： 见 表对 数 ：基 本 初 等 函 数 对 数 的 运 算对 数 函 数 g,()llog;l .l;(0,1,0,)ogl()1caNMNnaMyxbcb为 底 数 ， 为 真 数性 质 换 底 公 式 ：定 义 ： 一 般 地 把 函 数 且 叫 做 对 数 函 数对 数 函 数 性 质 ： 见 表 且yx 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 是 自 变 量 ， 是 常 数 。性 质 ： 见 表 2表1 指数函数 0,1xya对数数函数 log0,1ayxa定义域R,值域 0,yyR图象过定点 (0,1) 过定点 (1,0)减函数 增
15、函数 减函数 增函数(,0)(,)xy时 ，时 ， ,(0,1)xy时 ，时 ， ,(,)xy时 ，时 ， (,(,0)xy时 ，时 ，性质 abababab表 2 幂函数 ()yxRpq0111pq为 奇 数为 奇 数奇函数pq为 奇 数为 偶 数pq为 偶 数为 奇 数偶函数第一象限性质 减函数 增函数过定点 01（ ， ）高中数学必修 2 知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义 ：倾斜角不是 90的直线，它的
16、倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用k 表示。即 。斜率反映直 线与轴的倾斜程度。tank当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存在。90,180,9k9k过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；1(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且 过点)(11xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，
17、直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直 线在 y 轴上的截距 为 bbky两点式： （ ）直线两点 ，1122212,1,2,yx截矩式： xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。l(0)ay(0)blxy,ab一般式： （A，B 不全为 0）CByA注意： 各式的适用范 围 特殊的方程如：1 2平行于 x 轴的直线： （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： （a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （
18、是不全为 0 的常数）的直线系：00yx0,（C 为常数）0yBxA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直 线系： ，直 线过定点 ；00xk0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线系方程:11yxl :22CBAl为（ 为参数），其中直线 不在直线系中。221 CBACyBxAl（6）两直线平行与垂直当 ， 时，1:bkl:bxkyl；2221,/1221l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的一组解。1方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l1l2（8）两点间距离公式：设
19、是平面直角坐标系中的两个点，12(,),xy， （ ）则 2|AB（9）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl 20BACyxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转 化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定 长的点的集合叫 圆，定点 为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；22rbyaxba,（2）一般方程 0FED当 时，方程表示圆，此 时圆心为 ，半径为042FED2,EDFEDr4212当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。042F（3）求圆方程的方法：一般都采用
20、待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离为0:CByAxl 22:rbyaxbaC,，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与rd（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个:l 22:一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有； ；相 离与0相 切与l0相 交与l0注：如果圆
21、心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中2ryx表示切点坐标，r 表示半径。,yx(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x 0，y0)，则过此点的切线方程 为 (课本命题)20ryx圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0，y0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两 圆半径的和（差），与 圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆 ，2121:rbyaxC222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与 圆心距（d）之 间的大小比较来确
22、定。当 时两圆外离，此时有公切线四条；rRd当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切 线两条，内公切线一条；当 时两圆相交， 连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；rRd当 时，两圆内含； 当 时，为同心圆。0d三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用 对角线的端点字母，如五棱柱EDCBAAD几何特征：两底面是对应边平行的全等
23、多边形；侧面、 对角面都是平行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱 锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于 顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征： 上下底面是相似的
24、平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征： 底面是全等的 圆； 母线与轴平行；轴与底面 圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征： 底面是一个 圆； 母线交于圆锥的顶点；侧 面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆； 侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋 转一
25、周形成的几何体几何特征： 球的截面是 圆； 球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二 测画法斜二测画法特点：原来与 x轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y轴 平行的线段仍然与 y 平行， 长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的
26、表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高， 为斜高，l 为母线）hS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21c正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 r圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 2Shr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 ()()r圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24R4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无
27、限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 表示，如平面 （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点 A 在平面 内， 记作 ；点 不在平面 内， 记作AA点与直线的关系：点 A 的直线 l 上， 记作：A l； 点 A 在直线 l 外，记作 A l；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内， 记作 l ；直线 l 不在平面 内， 记作 l 。（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么 这条直 线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过 直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： ,AlB
28、l（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面 和 相交，交线 是 a，记作 a。符号语言： ,PABlP公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说 明两个平面的交 线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线
29、与直线之间的位置关系 异面直 线定 义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直 线性 质：既不平行，又不相交。 异面直 线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直 线所成角：直线 a、b 是异面直线， 经过空间任意一点 O，分 别引直线 aa，bb，则把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直 线所成角的范围是（0，90 ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空 间一点 O 是任取的，
30、而和点 O 的位置无关。求异面直 线 所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：a aA a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行 线面平行线面
31、平行的性质定理：如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ，经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相 交 ，那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 。线面平行 线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两 组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行）（2）如果
32、两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交 线平行。 （面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平
33、面，那么 这两条直 线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直 线 所成的角：规定为 。0两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫 这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直线，形成两条相交直 线 ，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所ba,成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为
34、。 平面的垂线与平面所成的角：规定为 。0 90平面的斜 线 与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（ 1）斜线上一点到面的垂 线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线 。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角
35、：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角： 平面角是直角 的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反 过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这 个点分别在两个面内作垂直于棱的射 线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交 线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系（1）定义：如图， 是单位正方体.以 A为原点，,OBCDA分别以 OD,O ,OB 的方向为正方向，建立三条数 轴 。, x轴
36、.y轴 z轴这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴， z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直 时 ，可能形成的位置。大拇指指向 为x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向， 这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 来表示，有序实数组(,)xyz叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标，记作 （x 叫做点 M 的横坐标，(,)xyzy 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式： 21
37、2121)()()(zyxd高一数学必修 3 公式总结以及例题1 算法初步 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多 项式的值，对于一个 n次多项式，只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下：122111 axxaxaxann 例题：秦九韶算法计算多项式 ,8765432346 x, 0.4时当 答案： 6 ， 6?运 算需 要 做 几 次 加 法 和 乘 法1876543x : x即 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操 图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法 (algorithm)
38、1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程 图，程序 设计语 言（本书指伪代码）.2. 算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的 进行下去确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出， 输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意 义的。可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间 上有一个合理的限度3. 算法含有两大要素：操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等控制结构:顺序结构，选择结构，循 环结构 流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图
39、形程序，它直 观、清晰、易懂，便于检查及修改。 注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用 铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个 临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题， 这时 候也就可以有几种书写方法了。3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。 算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构ABY N A BpN YAp Y N NpA直到型循环 当型循环.顺序结构（sequence
40、 structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个 顺序结构的各部分是按照 语句出现的先后顺序执行的。.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结 构。其中的判断框， 书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的 A,B 两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时， 执行某语句，至于不成立时，不 执行该语 句，也不执行其它语句。.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(whil
41、e)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。 基本算法语句：本书 中指的是伪代码（pseudo code），且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用，也可以用 ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“ ”yxyx. 赋值语 句（ assignment statement）：用 表示， 如： ，表示将 y 的值赋给xx，其中 x 是一个变量，y 是一个与 x 同类型的
42、变量或者表达式.一般格式：“ ” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “ ”，但表 达 式变 量 x此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而 应理解为一个赋值号。注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。 “ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而 a = 3*5 1 , a = 2a + 3都是正确的。2.一个赋值语 句一次只能给一个变量赋值 。 如：a = b = c = 2 , a , b ,c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.例题：将 x 和 y 的值交换, 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值
43、 : pyxpzyx. 输入语句（input statement）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b输出语句（out statement） ：Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y注：1.支持多个输入和输出，但是中 间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语 句不能起赋值语句，意旨不能在 Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”隔开.例题：当 x 等于 5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5.条件语句（co
44、nditional statement）：1. 行 If语句: If A Then B 注：没有 End If 2. 块 If语句： 注：不要忘记结束语句 End If ，当有 If 语句嵌套使用时，有几个 If ，就必须要有几个 End If . Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外 Else If 后面也要有 End If 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法 .或者 If A ThenBElseCEnd IfIf A ThenBEl
45、se If C ThenDEnd IfRead a , b , cIf ab ThenIf ac ThenPrint a Else Print cEnd If Else If bc ThenPrint bElse Print cEnd If End IfRead a , b , cIf ab and ac ThenPrint aElse If bc ThenPrint bElsePrint cEnd If注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数.循环语句（ cycle statement）： 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N 次
46、也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用 While 循环 Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循 环相对应.说明：1. While 循环是前测试型的，即 满足什么条件才进 入循环，其 实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成 While 循环， 较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.例题： （见课本 ）. 9.531 的 一 个 算 法设 计 计 算 21PS intPrEdI 2Step To FrmoSS intPr hleEdI 297 ilWISFor I From 初值 to 终值 Step 步长 End For For 循环 While A End While While 循环Do While p Loop 当型 Do 循 环 Do Loop Until p 直到型 Do 循环S intPr hleEd2I 9 il1WIS S intPr ) 9I( 01I 2I o1或 者UilLpDI S intPr 9I 2Io1UilLpDS S intPr2I
