1、数学知识与技巧一、方程与方程组1.一元二次方程 02cbxaa422,1一般常用因式分解法： 1,30)(212x2.二元一次方程组消去其中一个元素即可例 1：（1）53yx（2）42（1）（2） ，消去 y，得 x=1,y=2注意：并不是任何二元一次方程组都有唯一解。例 2：（1） 53yx（2）06上述方程有无穷多解。例 3：（1）5yx（2）76无解。3.二元二次方程组一般只考如下形式：（1）11cybxa（2）2322cyb即其中的一个方程为一次。这种形式等价于一元二次方程，把（1）代入（2）即可。4.不等式如果不等式两边同时乘以或者除以一个负数，这时不等式的方向发生变化。如果不等式两
2、边同时乘以或者除以一个正数，这时不等式的方向不发生变化。若 a b0,a0,则 b0若 ab，c0，则 acb c若 ab，cb,则 xab 或 xa0,kp?(1)nk二、数列与集合1.等差数列 dnan)1(2/s)(1n2.等比数列,1nqasn1当 时，qqas1例： ?22133.集合无重复元素的序列（或数列）就是集合。BAI=A+BA B+非 A 非 BI=A+B+CA BB CC A+A B C+非 A+非 B+非 C例：小于 100 的自然数中有多少个即不被 2 整除又不被 5 整除？三、排列组合与概率1.排列与组合从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!/(nmPn
3、从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。Cnmn（1） 加法原理某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 中方法完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。例：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？（2） 乘法原理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 中方法完成，则这件事可由 m x n 种方法来完成。例：到美利坚去，先乘飞机，再坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？2.概率第一步：概率基本原理（古典定义）P(A
4、)=A 所包含的基本事件数/基本事件总数。例 1：某班有男生 30 名，女生 20 名，问从中随机抽取一个学生，是男生的概率有多大挑取两个全是男生的概率是多大呢？, 15031/)(CAP25032/)(CAP例 2：硬币有正反两面，抛一次正面朝上的几率是多少？连续抛两次，至少有一次正面朝上的几率是多少？第二步：使用加法或者乘法原则第三步：减法原则例题：袋中有 a 只白球，b 只红球，一次将球一只只取出，不放回。求第 K 次取出白球的概率。）)1(baKbaPC例题：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 4593.
5、条件概率例 1：一个班有 100 人，男生 60 人，女生 40 人，男女生当中都有黑头发与棕色头发的，其中有 10 个男生棕色头发，棕色头发一共有 30 个人，问在 100 个学生，随便抽取，抽到男生棕色头发的概率是多少？古典概型： 10C乘法原则： 36例题：1.用 0，2，4，6，9 这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个？35P2. 6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3 名女生，如欲男女想间而坐，则不同的分法数为多少？233.甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻） ，那么不同的排法有多少种？/5p4.晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3
6、 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？第一，3 个舞蹈节目排在一起； 36p第二，3 个舞蹈节目彼此分开； 56P第三，3 个舞蹈节目先后顺序一定。 5838/挡板模型：0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 05.4 本不同的书分给 2 人，每人 2 本，不同的分法共有多少种？ 24C四、排列组合和概率习题讲解排列组合题目的四个步骤：1. 古典概型2. 加法原则、乘法原则3. 减法原则、除法原则4. 条件概率讲义白皮书第 28 页：1 10 个人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数。答案： C1438 4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问
7、有多少种排法？答案： P2395 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车不可分辨，问有多少种排法？答案： 或者 352511掷一枚均匀硬币 2n 次，求出现正面 k 次的概率。12有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概率？答案： C395118从 0 到 9 这 10 个数中任取一个数并记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。两个值的和为 8时，出现 5 的概率是多少？答案： 192195 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率是多少？答案： C210511掷一枚均匀硬币 2n 次，求出现正面 k 次的概率。
8、答案： )(kn2k26有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？答案： C124227一个人掷飞标，其击中靶心的概率为 0.7，他连续掷 4 次飞标，有 2 次击中靶心的概率为多少？答案： C)3.0(724228某种硬币每抛一次正面朝上的几率为 0.6，问连续抛 5 次，至少有 4 次正面朝上的概率。答案： .64515+29A 发生的概率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？答案：0.430某种动物由出生而活到 20 岁得概率为 0.7，活到 25 岁得概率为 0.56，求现龄为 20 岁得这种动物活到25 岁的概率。答案： 8.0
9、=756.五、数论（自然数的理论）1 自然数：正整数。如 1，2，3，4，5。2 奇数：不能被 2 整除的整数（可正可负） ，通式：2n+1。如-1，1。3 偶数：能被 2 整除的整数（可正可负） ，零是偶数。通式：2n。如-4，-2 ，0，2，4。4 质数：除了 1 和它本身之外没有别的因子的自然数。2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。1 不是质数。如 2，3，5，7，11，13。5 合数：除了 1 和它本身之外由别的因子的自然数。4 是最小的合数。1 不是合数。如 4，6，8，9。6 奇偶性分析：1) 偶数偶数偶数 或 奇数奇数，偶数偶数偶数 或 奇数偶数2) 奇数奇数偶数3) 奇数个奇数
10、相加减，结果为奇数4) 偶数个奇数相加减，结果为偶数5) 任意个偶数相加减，结果为偶数6) 若 n 个整数相乘结果为奇数，则这 n 个整数为奇数7) 若 n 个连续的整数相加等于零，则 n 为奇数。如：(-2)+(-1)+0+1+2=08) 若 n 个连续的奇数相加等于零，则 n 为偶数。如：(-3)+(-1)+1+3=09) 若 n 个连续的偶数相加等于零，则 n 为奇数。如：(-4)+(-2)+0+2+4=010) 两个质数之和为奇数，其中必有一个是 2。7n 个连续自然数的乘积一定能够被 n！整除。如：234，45678若 n 能被 a 整除，且能被 b 整除，那么 n 一定能够被a,
11、b整除。（其中a, b表示 a 和 b 的最小公倍数，另外a, b表示 a 和 b 的最大公约数） 特别地,当 a,b 互质( 即无公因子), 则 n 能被 ab 整除。(这里用到了公式a,bab/a, b) 如 n 能被 8 和 12 整除，n 也能被 24 整除； 如 n 能被 8 和 11 整除，n 也能被 88 整除。9余数表示法。 如：一个偶数被 7 除余 3，问被 14 除余几？ p=7n3，由于 p 为偶数，3 为奇数，所以 7n 为奇数，n 可以表示为 2q+1 于是 p=7(2q+1)+3=14q+10 很明显余数为 10。10字母法（未知数法） 。如：两个两位数各位与十位恰
12、好颠倒，问下面哪个不能是两数之和？A181 B121 C77 D132 E154设两数分别为 ab 和 ba，则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，即和必为 11 的倍数显然答案为 A。11代入法。如：余数表示法例中，既然问被 14 除余几，则必然结果唯一，任意代入一个数即可，比如24，立刻得到答案 10。代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。12一些整除性质。1)已知 C=A+B 且 A 是 m 的倍数，则 C 是 m 的倍数与 B 是 m 的倍数互为充分必要条件推论：一个数是否能够被 5 整除，只要看它的最后一位。一个数是否能够被 4 整除，只要
13、看它的后两位。一个数是否能够被 8 整除，只要看它的后三位。一个数能否被 3 整除，取决于各位之和能否被 3 整除。例题：已知 m7n8 （n 为整数） ，下面哪个不能是 m 的值？A49 B43 C64 D78 E922)个位数为 1 的数任意次方个位数均为 1。3)个位数为 5 的数任意次方个位数均为 5。4)个位数为 6 的数任意次方个位数均为 6。练习：求 的个位数是多少？2=165求 的个位数是多少？38165六、单利和复利1单利通式：a1（1nx）复利通式：a1 )x+(n2综合例子：年利率为 12，按每月的复利计算，两年后 100 元变成多少元？100 %24七、数据充分性1约定
14、：A 为(1)充分， (2)不充分。B 为(1) 不充分，(2)充分。C 为(1) 和(2)在一起充分，但分别不充分。D 为(1)和(2)自己分别充分。E 为(1)和 (2)在一起也不充分。做题阶段：第一阶段：先看条件(1)，只要(1)充分，答案不是 A 就是 D再看条件(2)，只要(2)充分，答案不是 B 就是 D如果(1)(2)都充分，则答案一定是 D如果一个充分一个不充分，答案就是 A 或者 B(只要(1) 不充分，答案肯定不是 A 或者 D)第二阶段：C 是好的，E 是坏的 2做题步骤。1) 读题干，若是文字题，必须列出相应的式子。2) 先单独看(1)，(2) 是否充分，若分别都充分，
15、选 D；若其中一个充分，则选 A 或 B。3) 若都不充分，则看(1)和(2)加在一起是否充分，若充分，则 C；否则选 E。3 特点。1) 不需要求出具体值，只需要知道求出即可。例：买一打（12 个）罐装汤，问降低后的价格比起原价格便宜多少？ （C）（1）原价一美元三个。 （2）降低后的价格一美元三个。 2) 字母不代表具体的值，应确定字母的值以后，才决定充分与否。例：W- w 0? （E）(1) W= a+ b (2) w = a- b 3) 选 C 时应该注意是否可选 A 或 B。例： （A）?x2（1）|x|=2 （2）x0 4) 唯一性。例：x？ （A）（1）x2 （2） 4=练习：蓝
16、皮书 234 页 114 题114. Pam and Ed are in a line to purchase tickets. How many people are in line?（E）(1) There are 20 people behind Pam and 20 people in front of Ed. (2) There are 5 people between Pam and Ed. 5) 不矛盾性。例：两辆火车相对行驶，同时开出，距离 500 英里，问多长时间后相遇？（C）（1）其中一辆速度为 200 英里每小时。（2）其中一辆速度为 300 英里每小时。6) 否定性。例
17、：x0？ （B ）（1） 0x2（2） 0，kp? （D）(1) pn2(2) k7) 关于方程组的解。例 1：（唯一根） （D）?=2（1） 04+k（2）k=2例 2：（根不唯一，结果唯一） （D）?=k2（1） =k（2） )5+(例 3：（唯一根）已知 ，那么 xy(x+y)=? （A ）18xy2（1）xy=6（2）x-y= -5例 4：（根不唯一，结果唯一）已知 ，那么 xy(x+y)=? （D ）=2（2） 30=x+y2注意：如果一个数是一个完全平方数，那么它的因子的个数一定是奇数问一个数有多少个因子，先把它进行质因子表达展开，然后乘以（指数1）即可假如一个数有奇数个因子，那么
18、这个数一定是另一个数的平方笔记：两个相差为 m 的自然数，其公因子一定是 m 的约数。推论：两个相邻的自然数一定互质。两个相邻的奇数一定互为质数。两个相邻的偶数最大公约数一定是 2。第三章 几何3.1 平面几何1直角三角形勾股定理。a2+b2=c22两直线平行，内错角相等，同位角相等。3圆心角是圆周角的两倍。4面积与周长。三角形（边长为 a,b,c）：面积=1/2 absin（ 是 a,b 两边之夹角）对于直角三角形，=90，S 直角三角形 = ab 。21对于等边三角形，=60，S 等边三角形 = 。ab43周长=a+b+c 梯形（上底为 a，下底为 b，高为 h）面积=（a+b）h/2平行
19、四边形（边长为 a，b，高为 h）面积=ah周长=2（a+b）矩形（边长为 a，b）面积=ab周长=2（a+b）正方形（边长为 a）面积=a 2周长=4a圆（半径为 R）面积=R 2周长=2R5多边形内角和：（n-2）1803.2 立体几何体积和表面积：1长方体（边长为 a，b，c ）体积=abc表面积=2（ab+bc+c a）2正方体（立方体） （边长为 a）体积=a 3表面积=6a 23圆柱（底面半径为 R，高为 h）体积=R 2h表面积=2R 2+2Rh3.3 解析几何1关于对称。坐标(a,b)关于 y=x 的对称点为 (b,a)坐标(a,b)关于 y=-x 的对称点为 (-b,-a)2
20、直线方程。y=kx+b （斜截式，k 为斜率 slope， b 为截距 intercept）x/a + y/b =1 （截距式，a 为 x 轴上截距，b 为 y 轴上截距）(y-y 2)/( x-x2) = (y1-y2)/(x1-x2)（两点式，已知(x 1,y1)，(x 2,y2)）(y-y 1)/(x-x1) =k （点斜式，已知(x 1,y1)，斜率 k）例：请写出 x 轴与 y 轴上截距分别为 20 和 30 的直线方程在 x,y0 条件下的整数解。第四章 统计1. 算术平均数（arithmetic mean） 。E= nia1当 a, b0 时，下式成立，当 a=b 时取等号。21
21、2baab调和平均， 几何平均， 算术平均， 加权平均或平方平均ba 2ba2 期望（expectation）在 GMAT 数学中，期望就是算术平均。通常计算出来的算术平均都用 E 表示，这个 E 就是期望英文的第一个字母大写。3 偏差（deviation）一个数列中 ai 项的偏差 di=ai-E4 方差（variance）D= niiEa12缺陷：单位有平方5 标准差（standard deviation）= D6 中间数（median）求法：先排序，后取中。比如说一个数列1，2，4，5，3，求它的中间数时，应该先排序变成1，2，3，4，5，然后取中为 3。如果数列含有偶数个数，取中间两个数，然后取这两个数的算术平均。7 众数（mode）定义：数列中出现次数最多的数。比如说一个数列1，1，2，2，3，它的众数或者是 1 或者是 2。8 范围（range）定义：数列中最大数减去最小数所得的差。
