1、毕 业 论 文学生姓名 学 号学院 数学科学学院专 业 数学与应用数学题 目 极限求法综述指导教师 讲师/硕士2010 年 11 月淮阴师范学院毕业论文（设计）1摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10
2、：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词：夹逼准则, 单调有界准则, 函数的连续性，无穷小量的性质, 洛必达法则, 微分中值定理, 定积分, 泰勒展开式.淮阴师范学院毕业论文（设计）2Abstract：Mathematical analysis of the limit has been a focus of the content, while the series to Limit can be described as diverse, and concluded by in
3、duction, we set out the requirements of some commonly used method. This paper summarizes the mathematical analysis of fourteen methods of limit, 1: Limit of using two criteria, 2: the use of arithmetic nature of the limits of the Limit, 3: Limit use of two important limit of the Formula 4: Using a s
4、ingle side of the limit of limit, 5: Using the continuity of functions of limit, 6: the nature of the use of limit infinitesimals, 7: Substitution of equivalent limit Infinitesimal, 8: Using the definition of derivative of the Limit, 9: Using the value theorem of limit, 10: Using the Limit Hospitals
5、 Rule 11: the use of the definite integral summation type limit, 12: Convergence of the necessary conditions using the Limit, 13: Limit of using the Taylor expansion, 14: the use of Method substitution limit.Keywords：Squeeze guidelines, criteria for bounded monotone function continuity, the nature o
6、f infinitesimals, Hospitals Rule, Mean Value Theorem, definite integral, the Taylor expansion.淮阴师范学院毕业论文（设计）3目录一、引言 二、极限的求法 2.1：利用两个准则求极限2.2：利用极限的四则运算性质求极限2.3：利用导数的定义求极限2.4：利用两个重要极限公式求极限2.5：利用级数收敛的必要条件求极限2.6：利用单侧极限求极限2.7：利用函数的连续性求极限2.8：利用无穷小量的性质求极限2.9：利用等价无穷小量代换求极限2.10：利用中值定理求极限2.11：洛必达法则求极限2.12：利用定
7、积分求和式的极限2.13：利用泰勒展开式求极限2.14：换元法求极限结论参考文献致谢淮阴师范学院毕业论文（设计）4数学分析中极限的求法综述一、引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3 世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到 19 世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于
8、严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数 yf(x)在 0x处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。二、极限的求法：2.1：利用两个准则求极限。(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当 nN 时，有 nxynz且limli,nnx
9、xza则有 limnxya . 利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得 nnyxz。例1 22211.nx求 n的极限解：因为 x单调递减，所以存在最大项和最小项淮阴师范学院毕业论文（设计）5222211.n nxn222211.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 123,nyaayayaa 证明：从这个数列构造来
10、看 n 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 21321,nnyayya 所以得 nn. 因为前面证明 是单调增加的。两端除以 ny得1n因为 1,na则 n, 从而1nayy即 n 是有界的。根据定理 ny有极限，而且极限唯一。令 limyl 则 21lilim()na淮阴师范学院毕业论文（设计）6则 2la. 因为 0,ny 解方程得142al所以 14lim2nal2.2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若 Axf)(li0 Bxg)(li0(1) m0x 0fxBAxg)(lim0(2) f x)(li)(li 000(3)若 B0 则：BAxgfxf)(l
11、i)(li00（4） （c 为常数）fcfxxmli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)21limx(2) 3lix(3) 31li()x(4) 已知 11,2()n n 求 limnx淮阴师范学院毕业论文（设计）7解：(1) 21limx 1()li2x 1lim2x 3 (2)3lix
12、3()()lix 3li()12)xx 4(3) 31li()x231limx 21()li1xx 21limx-1 (4) 因为 ,23()n n 1114 n1n所以 limli()nx2.3：利用导数的定义求极限导数的定义：函数 f(x)在 0x附近有定义， ,x:则 00()(yfxfx: 如果00()(limlixxffy:存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0 的导数记为 /0()f.即/ 000()()limxffxf:在这种方法的运用过程中。首先要选好 f(x)。然后把所求极限。表示成 f(x)在定点 0的导数。例：求 2li()xctgx解：取 f(x)= t.则2221
13、1lim()li ()2limxxxcgttg淮阴师范学院毕业论文（设计）8 2()limxf/1()2f21sec)x12.4：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式 1sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形： )(,)(1li)(,(sin( xexB在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限4(1) 230limcoscsos2nnxx (2)2li(1)m解：(1) 23coscsos2nxx 231sincoscosin22xxx sin2x3limcoscsos2nnx 淮阴师范学院毕业论文（设
14、计）91limsin2nxsi=l2nxsix230limcoscsos2nxnx 0limxs1(2) 2li(1)mm2()2li(1n:2()li(mn: 0e12.5：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 1n收敛，则 0n运用这个方法首先判定级数 1n收敛，然后求出它的通项的极限例： 2 求 2lim!n解：设2!na则 211!()lilinna=lim()nn=0021sin,()fx求 f(x)在 x=0 的左右极限解： 01limsnx10lix100li()li()xxffm2.7：利用函数的连续性求极限即： )(lim)(li)( )(li)( 00
15、000 afxfxfauf axi fff xx处 连 续 ， 则在 且是 复 合 函 数 ， 又若 处 连 续 ， 则在若这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点 0x连续 g( 0)=u,而 y=f(u)在点 0x连续，那么复合函数 y=f(g(x)在点 连续。即淮阴师范学院毕业论文（设计）110 00lim()()(lim)x xfgffg也就是说，极限号 0limx可以与符号 f 互换顺序。例：求1lin()xx解：令 ylnu, u ()x因为 lnu 在点 01limn()xxe处连续所以 li()xx1lni()xx le12.8：利用无穷小量的性质求极限：无穷小
16、量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果0lim()xf,g(x)在某区间 00(,)(,)xx有界，那么0gx.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求sinlx解： 因为 si1 1lim0x所以 nlix02.9：利用等价无穷小量代换求极限：定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。定理 3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是 0） ，且相互等价，即有：0x 。sintaxrcsinxarct)1ln(1xe淮阴师范学院毕业论文（设计）12说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成 时（ ） ，仍有上面的等价)
17、(g0)(x关系成立，例如：当 时， ； 。0x13e1ln22x定理 4 如果函数 都是 时的无穷小，且 )(,),(xfgf 0x)(f， ，则当 存在时， 也存在且等于)(1xfg)(1x)(lim10x )(lim0gfxxf，即 = 。)(lim10fx)(li0fx)(li10gfx等价无穷小量：当yz时，称 y,z 是等价无穷小量：记为 y :z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。例：求430lim(sn)2x解： i:430lim(sn)2x430li()x430lim8x82.10：利用中值定理求极限：1：微
18、分中值定理：若函数 f(x) 满足 ( i) 在 ,ab连续 .( i)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使 /(ff例2：求 30sin()silmxx解： i()i(i)cos(in)x 01 30snslx淮阴师范学院毕业论文（设计）1330(sin)cos(in)lmx x 201slix 0inl6x12：积分中值定理：设函数 f(x) 在闭区间 ,ab上连续;g(x) 在 ,ab上不变号且可积，则在 ,ab上至少有一点 使得 ()()aafxgfgxd a例：求 40limsnnxd解： 40linn li()nsx04 lim()4nn02.11：洛必达法则求极限
19、：定理：若 Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导 ， 且的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。淮阴师范学院毕业论文（设计）14注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,02、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
20、4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须)(limxgfax用另外方法。例1：(1) 求 0lnsixm(2)求 lix解：(1) 由 00nslinsx所以上述极限是 待定型0lnsimx 0cosinlixmx 0sinlxm1(2) lix它为 型由对数恒等式可得 lnxxe0lix= 0limnxe0li1xx0limx 01e2.12：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x)。把所求极限的和式表示成 f(x)在某区间 ,ab上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。淮阴师范学院毕业论文（设计）15例：求 22221lim
21、(1)nnn 解：由于 22221(1)nnn 222111nnn 可取函数 f(x) 2x区间为 0,1上述和式恰好是 21()fx在 0,1上 n 等分的积分和。所以 2222lim(1)nnn lin222111nn 120dx 42.13：利用泰勒展开式求极限泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。泰勒展开式：若 f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶连续导数,那么 / 2()()(0) ()!n
22、nfxfxfxf R 淮阴师范学院毕业论文（设计）1611()()!nnnfRxx(其中 在 0 与 1 之间)例： 1 240coslimxxe解：泰勒展开式24s10()!x2 224()!xe于是 cosx-2410()x所以240limxxe 0li4x122.14：换元法求极限：当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例：3 求 1limnx解：令 xt 则 l(1)t1linx 0li()t0lin()t1在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解
23、极限。结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，大家如有兴趣可以继续探索新的求解方法。因为数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。淮阴师范学院毕业论文（设计）17参考文献：1 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社2 蔡子华主编，2005 年数学复习大全（经济类），现代出版社3 冯丽珠，变形法求极限的变法技巧 ，武汉职业技术学院学报，2003 年 3 月，35-364 李小光，求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2002 年 3 月，20-21淮阴师范学院毕业论文（设计）18致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是由丁老师全面、具体的指导之下进行的。丁老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘。丁老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。在此还要感谢帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励。我要在这里对他们表示深深的谢意！淮阴师范学院毕业论文（设计）19感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆。
