1、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点. 线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例 1 数一数下列图形中各有多少条线段.分析 要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是 A，即以 A 为左端点的线段有 AB、AC 两条以 B 为左端点的线段有 BC 一条，所
2、以上图（1）中共有线段 213 条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以 A 为左端点的线段有AB、 AC、AD 三条，以 B 为左端点的线段有 BC、BD 两条，以 C为左端点的线段有 CD 一条.所以上页图（2 ）中共有线段为32 16 条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有 n 个分点，则这条大线段就被这 n 个分点分成n1 条小线段，这每条小线段称为基本线段. 如上页图（2 ）中，线段 AD 上有两个分点 B、C，这时分点 B、 C 把 AD 分成AB、 BC、CD 三条基本线段，那么线段 AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二
3、条基本线段的是：AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是 AD 这样一条.所以线段 AD 上总共有线段 32 16 条，又如上页图（ 3）中线段 AE 上有三个分点 B、C、D，这样分点 B、C、D 把线段 AE 分为AB、 BC、CD、DE 四条基本线段，那么线段 AE 上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4 条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条基本线段的有一条，所以线段 AE 上总共有线段是 4321 10 条.解：21 3（条）. 3 216 （条）. 4 321 10（条）.小结：上述三例说
4、明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1 开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1 或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减 1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段 AF 上所有点数（包括两个端点 A、F）共有 6 个，所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是 615，或者线段 AF 上的分点有 4 个（B 、 C、D 、E ）.所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是41 5.也就是线段 AF 上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF ）的条数是 5.所以线段 AF 上总共有线段
5、的条数是54 3 2 115（条）.二、数角例 2 数出右图中总共有多少个角.分析 在AOB 内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB 被这三条角分线分成 4 个基本角，那么AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4 个基本角，其次是包含有 2 个基本角组成的角有 3 个（即AOC2、C1OC3、 C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即 AOC3、C1OB），最后是包含有 4个基本角组成的角有 1 个（即AOB），所以AOB 内总共有角：4321 10（个）.解：4 32110（个）.小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1 开始的几个连
6、续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加 1，也就是基本角的个数.例 3 数一数右图中总共有多少个角？解：因为AOB 内角分线 OC1、OC2OC9 共有 9条，即 9+1=10 个基本角.所以总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例 4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析 可以采用类似例 1 数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以 AB 为一条边的三角形共有：ABD 、ABE、ABF、ABC 四个三角形.再数以 AD 为一条边的三角形共有：ADE 、ADF、 ADC 三个三角形.以 AE 为一条边的三角形共有：AEF、AEC 二个三
7、角形.最后以 AF 为一条边的三角形共有AFC 一个三角形.所以三角形的个数总共有 4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：ABD 、ADE 、 AEF、AFC 四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：ABE、ADF、AEC 三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：ABF、ADC 二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有ABC 一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10 （个）.解：3+2+1=6（个） 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（ 2）中各有三角形分别是 6 个和10 个 .小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始
8、的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.例 5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从 1 开始的连续几个自然数的和.要数多少条线段：先看线段AB、 AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成 3 条基本线段，再看 BC、MN、GH 这 3 条线段上各有 3 个分点，各分成 4 条基本线段 .所以图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4
9、+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH 中，在 GH上有 3 个分点，分成基本小三角形有 4 个.所以在AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在AMN 与 ABC 中，三角形有同样的个数，所以在ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30 （个）.解：在ABC 中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30 （个）.例 6 如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.1、 2、3、4 我们可视为
10、4 个基本角，由 2个基本角组成的有：1 与2 、2 与3 、3 与4、4与1，共 4 个角.由 3 个基本角组成的角有： 1、2 与3 ；2、3 与4 ；3、4 与1； 4 、1 与2 ，共 4 个角，由 4 个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：43+1=13（个） .解：所以图中共有角是：43+1=13（个） .小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有 n 个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1 ） +1.引申举例题4 个人参加乒乓球比赛，每两个人之间都要进行一场比赛，则总共需要进行多少场比赛？解法：参考原始题的图形，我们可以把 4 个人设定为 ABCD，那么这个题就演变为
11、数A 到 D 之间总共有多少条线段，这时候人数为 4，即基本端点数 =4，基本线段数=3，所以总共需要 3+2+1=6 场比赛。扩展题几个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，最后总共比赛了 36 场，那么有几个球队参加了比赛？解法：根据引申题举例，我们可以知道这个题可以演变为数线段问题，由最终线段数求出基本线段数，进而求出基本端点数，设 36=N+N-1+1,则 N=8注意：这时求出的 8 是基本线段数，而我们需要求的是基本端点数，根据基本端点数=基本线段数+1所以总共有 N+1=9 个队伍参加了比赛。按孙老师方法：4 个人参加乒乓球比赛，每两个人之间都要进行一场比赛，则总共需要进行多少场比赛？解法：参考原始题的图形，我们可以把 4 个人设定为 ABCD，那么这个题就演变为数A 到 D 之间总共有多少条线段，这时候人数为 4，即分点数 =4，基本线段数=3，所以总共需要 3+2+1=6 场比赛。扩展题几个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，最后总共比赛了 36 场，那么有几个球队参加了比赛？解法：根据引申题举例，我们可以知道这个题可以演变为数线段问题，由线段数求出基本线段数，进而求出分点数，设 36=N+N-1+1,则 N=8注意：这时求出的 8 是分点数，而我们需要求的是总点数，根据总点数=基本线段数+1所以总共有 N+1=9 个队伍参加了比赛。
