1、 - 1 - 天河中学2017届高三数学12月份高考模拟试题 满分150分，时间120 分钟 第卷（选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分,共60 分在每小题给出的四个选项中只一 项是符合题目要求的 1设复数z1i（i为虚数单位） ，z的共轭复数为z ，则（1z） z （ ） A 10 B2 C 2 D1 2已知集合 Ax 2 x x 0，xN，Bx x 2，xZ，则满足条件 A C B的集合C的个数为（ ） A1 B2 C4 D8 3已知ab 7,a3,b 5，则a与b 的夹角为 A 2 3 B 3 C 5 6 D 6 4执行右面的程序框图，任意输入一次 x（0x
2、1）与 y（0y1） ，则能输出 数对（x，y）的概率为 （ ） A 1 4B 1 3C 2 3D 3 45已知定义在R 上的偶函数 ) (x f ，满足 ) ( ) 4 ( x f x f ，且在区间 2 , 0 上是增函数,那么 0 ) 0 ( f 是函数 ) (x f 在区间 6 , 0 上有3个零点的( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6将 A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学 生， 且A、 B两名学生不能分到同一个班， 则不同分法的种数为 （ ） A.15 B.20 C.30 D.60 7一个几何体的三视图如图所
3、示，则此几何体的体积是（ ） A112 B.80 C.72 D.64 8函数y x xa x （0a1）的图象的大致形状是 9等比数列 n a 中， 1 2 a ， 8 a =4，函数 1 2 8 ( )( ) ( ) f x x x a x a x a ，则 (0) f - 2 - A 6 2 B. 9 2 C. 12 2 D. 15 2 10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O 的球面上，SA平面ABC，SA2 3，AB1，AC 2，BAC60，则球O的表面积为 （ ） A4 B12 C16 D64 11已知函数 2 log 0 30 x xx fx x ，且关于x的方程 0 f x x
4、a 有且只有一个实根， 则实数a的范围是（ ） A. ,0 B. 0,1 C. 1,2 D. 1, 12 设 F1， F2分别为双曲线 2 1 9 16 x 2 y 的左右焦点， 过F1引圆 22 xy 9的切线F1P交双 曲 线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则MOMT为 A4 B3 C2 D1 第卷（非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分,共20 分 13设变量x，y满足约束条件 , 1, 2 3, x x xy y3 y 则2x3y的最大值为_ 14 5 (1 )(1 2 ) xx 展开式按x的升幂排列，则第3 项的系数为 15已知
5、 0 (2 1) n n a x dx ,数列 1 n a 的前n项和为 n S ，数列 n b 的通项公式为 N n n b n , 35 ，则 nn bS的最小值为 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2bcosBacosCccosA，且 2 b 3ac， 则角A的大小为_ 三、解答题：本大题共 6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分12分） 已知函数 2 ( ) sin( ) 2sin . 62 x f x x （1）求函数 () fx的单调递增区间； （2）记 ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若
6、 3 ( ) , 2 f A ABC 的面积 3 ,3 2 Sa ，求bc 的值。 - 3 - 18 （本小题满分12分） 如图，已知四棱锥 PABCD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形， 60 . DAB （1）证明： 90 PBC ； （2）若 PB=3，求直线 AB与平面PBC所成角的正弦值。 19 （本小题满分12分） 为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的 声音”的数学史知识竞赛活动。现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进 行统计，制成如下频率分布表： （）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出
7、对应空格序号的答案） ； （）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对 其中两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1 道，则获得二等奖。 某同学进入决赛，每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频 率的值相同。 （）求该同学恰好答 4道题而获得一等奖的概率； （）设该同学决赛结束后答题个数为X，求 X的分布列及X的数学期望 20 （本小题满分12分） 如图，焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为A和B， 且AB与 ） ， （ 1 2 n 共线. （）求椭圆E的标准方程； （）若直线 m kx y 与椭圆 E 有两个不同的交点
8、P 和 Q，且原点O总在以 PQ为直径的圆的内部，求实数 m 的取 值范围. A B x O y - 4 - 21 （本小题满分12分） 已知函数f（x） 2 x axln（ 2 1 ax 2 1 ） （a0） （1）当 a2时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若对任意的 a（1，2） ，当 x01，2 时，都有 f（x0）m（1 2 a ） ，求实数 m 的取值范围 22 （本小题满分10分）选修 41：几何证明选讲 如图，已知 ABC ，过顶点A的圆与边BC 切于 BC 的中点P，与边AB、AC分别交于 点 M、N，且 CN=2BM，点N平分 AC。求证：AM=7BM。 23 （本小题
9、满分10分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中xOy中，曲线 C1的参数方程为 3 6, 2 1 , 2 xt yt （t 为参数） ；在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 10cos . 曲线 C1与 C2交于 A、B 两点， 求|AB|。 24 （本小题满分10分）选修 45：不等式选讲 设函数 ( ) |2 4| | 2| f x x x （）求函数 () y f x 的最小值； （）若不等式 () fx | 4| | 3| aa 恒成立，求 a 的取值范围. - 5 - 答案 一、选择题 1-5 ADABC 6-10 CBDCC 11-12
10、 DD 二、填空题 13. 23 14. 30 15. -25 16. 7 12 12 或 三、解答题 - 6 - 20.解： （）设椭圆 E 的标准方程为 ） （ 0 1 2 2 2 2 b a b y a x ，由已知得 、 ，) 0 (a A ) 0 ( b B ， ， ） （ b a AB , ，AB与 ) 1 2 ( ， n 共线， b a 2 ，又 1 2 2 b a （3 分） 1 2 2 2 b a ， ， 椭圆 E的标准方程为 1 2 2 2 y x（5 分） （）设 ) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x Q y x P ,把直线方程 m kx y 代入椭圆方程
11、1 2 2 2 y x ， 消去y，得， 0 2 2 4 ) 1 2 ( 2 2 2 m kmx x k , 1 2 4 2 2 1 k km x x , 1 2 2 2 2 2 2 1 k m x x （7分） 0 8 8 16 ) 2 2 )( 1 2 ( 4 16 2 2 2 2 2 2 m k m k m k (*) （8分） 原点 O 总在以 PQ为直径的圆内， 0 OQ OP ，即 0 2 1 2 1 y y x x （9分） 又 1 2 2 ) ( ) )( ( 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 k k m m x x mk x x k m kx m kx y
12、y 由 0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 k m k k m 得 3 2 3 2 2 2 k m ，依题意 3 2 2 m 且满足(*) （11 分） 故实数m的取值范围是 ) 3 6 3 6 ( ， （12分） - 7 - 22.证明： 由切割线定理，有 BP 2 BMBA，CP 2 CNCA2 分 因为P是 BC 的中点，所以 BMBACNCA， 又点N平分 AC，所以 BM(BMAM)2CN 2 ，6 分 因为 CN2BM，所以BM(BMAM)8BM 2 ， 所以 AM7BM10分 23.解： 在 10cos的两边同乘以，得 2 10cos， 则曲线C2的直角坐标方程为
13、 x 2 y 2 10x，3分 将曲线C1的参数方程代入上式，得(6 3 2 t) 2 1 4 t 2 10(6 3 2 t)， 整理，得t 2 3t240， 设这个方程的两根为 t1，t2，则t1t2 3，t1t224， 所以|AB|t2t1| (t1t2) 2 4t1t23 1110分 24选修45：不等式选讲 由于 3 2,( 2) ( ) |2 4| | 2| 6 ,( 2 2) 3 2,( 2) xx f x x x x x xx 所 以 函 数 () y f x 的 最 小 值 为 (2) 4 f . （）若不等式 () fx | 4| | 3| aa 的恒成立，则 min | 4| | 3| ( ) 4 a a f x ， - 8 - 又解不等式| 4| | 3| 4 aa 得 3 2 a .所以a 的取值范围为 3 2 a .10分
