1、 1/15【专题】求解平衡问题的常用方法及特例一图解法分析动态平衡问题“动态平衡”是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静” ， “静”中求“动” 知识储备 01：“弄清力的分解的不唯一性及力的分解的唯一性条件。 ”（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。几种有条件的力的分解：已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一
2、解。已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。解析：分别以 F 的始端、末端为圆心，以 F1、F2 为半径作圆，两圆有两个交点，所以 F分解为 F1、F2 有两种情况。存在极值的几种情况。图 F F2 F1的 方 向 图已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。解析：当 F2=F 时，分解是唯一的。当 F F 时，分解唯一（3）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：当已知合力 F 的大小、方向及一个分力 F1 的方向时，另一个分力 F2 取最小值的条
3、件是两分力垂直。如图所示，F2 的最小值为：F2min=F sin当已知合力 F 的方向及一个分力 F1 的大小、方向时，另一个分力 F2 取最小值的条件是：所求分力 F2 与合力 F 垂直，如图所示，F2 的最小值为：F2min=F1sin当已知合力 F 的大小及一个分力 F1 的大小时，另一个分力 F2 取最小值的条件是：已知大小的分力 F1 与合力 F 同方向，F2 的最小值为FF12/154如图所示物体处于平衡状态，若保持 a 不变，当力 F 与水平方向夹角 多大时 F 有最小值 （ ）A0 B C D225如图所示，在“共点力合成”实验中，橡皮条一端固定于 P 点，另一端连接两个弹簧
4、秤，分别用 F1 与 F2 拉两个弹簧秤，将这端的结点拉至 O 点现让 F2 大小不变，方向沿顺时针方向转动某一角度，要使这端的结点仍位于 O 点，则 F1 的大小及图中 角相应作如下哪些变化才有可能? 答：_A增大 F1 的同时增大 角 B增大 F1 而保持 角不变C增大 F1 的同时减小 角 D减小 F1 的同时增大 角3/156把一个力分解为两个力 F1 和 F2，已知合力 F=40 N， F1 与合力的夹角为 30 ，如图所示，若 F2 取某一数值，可使 F1 有两个大小不同的数值，则 F2 大小的取值范围是什么？解析：知识储备 02：解决这类问题需要注意：（1）三力平衡问题中判断变力
5、大小的变化趋势时，可利用平行四边形定则将其中大小和方向均不变的一个力，分别向两个已知方向分解，从而可从图中或用解析法判断出变力大小变化趋势，作图时应使三力作用点 O 的位置保持不变（2）一个物体受到三个力而平衡，其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力的方向始终不改变，而第三个力的大小和方向都可改变，问第三个力取什么方向这个力有最小值，当第三个力的方向与第二个力垂直时有最小值，这个规律掌握后，运用图解法或计算法就比较容易了1.如图 2-5-3 所示，用细线 AO、 BO 悬挂重力， BO 是水平的， AO 与竖直方向成 角如果改变 BO 长度使 角减小，而保持 O 点不动，角 （ F2 B F
6、1 F2 C F1 900求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小 （小球可视为质点）图 2-5-2解析:小球为研究对象，其受力如图 1.4.2(解)所示图 1.4-2(解)绳的拉力 F、重力 G、支持力 FN三个力构成封闭三解形，它与几何三角形 AOB 相似，则根据相似比的关系得到： = = ，于是解得 F = G， FN = GlRdRdlRd点评本题借助于题设条件中的长度关系与矢量在角形的特殊结构特点，运用相似三角形巧妙地回避了一些较为繁琐的计算过程6.如图所示，一轻杆两端固结两个小球 A、 B， mA=4mB，跨过定滑轮连接 A、 B 的轻绳 长为 L，求平衡时 OA、 OB 分别为
7、多长？7.如图 1-1-6 所示，一个重为 G 的小球套在竖直放置的半径为 R 的光滑圆环上，一个劲度系数为 k，自然长度为 L（L2R）的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角 【命题意图】分析物体的平衡状态的受力情况，观察和分析三角形的关系找到解题方法【解析】小球受力如图 1-1-7 所示，有竖直向下的重力 G，弹簧的弹力 F，圆环的弹力N，N 沿半径方向背离圆心 O10/15图 1-7 利用合成法，将重力 G 和弹力 N 合成，合力 F合 应与弹簧弹力 F 平衡观察发现，图中力的三角形BCD 与AOB 相似，设 AB 长度为 l 由
8、三角形相似有：= = ，即得 F = mgF ABORl mglR另外由胡克定律有 F = k（l-L） ，而 l = 2Rcos联立上述各式可得：cos = ， = arcos kL2(kR-G) kL2(kR-G)8.如图所示，竖直绝缘墙壁上固定一个带电质点 A，A 点正上方的 P 点用绝缘丝线悬挂另一质点 B，A、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成 角.由于漏电 A、B 两质点的带电量缓慢减小，在电荷漏完之前，关于悬线对悬点 P 的拉力 F1大小和 A、B 间斥力 F2在大小的变化情况，下列说法正确的是（ ）AF 1保持不变 BF 1先变大后变 CF 2保持不变 D.F2
9、逐渐减小2.表面光滑、半径为 R 的半球固定在水平地面上，球心 O 的正上方 O处有一无摩擦的定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图 2411 所示，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为 L12.4R 和 L22.5R，则这两个小球的质量之比 m1m 2 为( 不计球的大小)( )图 2411A241 B251 C2425 D2524【答案】D【解析】对小球 2 进行受力分析，如右图所示，显然OOP 与PBQ 相似设 OO H，OPR，OPL 2，由相似三角形的性质有 m2g/HF N/RF 2/L2，则 m2F 2H/(gL2)，同理可得 m1F 1H/(gL1)而 F1F
10、2，于是 m1/m2L 2/L12524.11/15三正弦定理在平衡中的应用正弦定理:如果物体受三个不平行力而处于平衡状态，如图 241 所示，则 310002sin(8)sin(8)sin(8)FFFqqq=-4. 如图 246 所示，小圆环 A 吊着一个质量为 m2 的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环 A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点 B 的一个小滑轮后吊着一个质量为 m1 的物块，如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦 AB 所对应的圆心角为 ，求两物块的质量比m1m 2.解析：如图所示，A 环受 m1
11、g、m 2g、F N 三个力的作用，处于平衡状态图中 ,2paq=-设 m2g 与 FN的合力为 F，由正弦定理得 又 Fm 1g，即 .化2siniaq=122sincosin()mgapa=-简得 12sina=5.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑。一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是 m1， m2. 当它们静止时，m 1、 m2 与球心的连线跟水平面分别成 60，30 角，则碗对两小球的弹力大小之比是（ ）12/15A1：2 B C1： D ：2:3336.质点 m 在 F1、 F2、 F3 三个力作用下处于平衡状态，各力的方向所在直线如图
12、247 所示，图上表示各力的矢量起点均为 O 点，终点未画，则各力大小关系可能为( )AF 1F 2F 3 BF 1F 3F 2 CF 3F 1F 2 DF 2F 1F 3解析：质点 m 在三个力的作用下处于平衡状态，尽管这三个力的大小未知，但三个力的方向确定，依据正弦定理可得三个力的关系为： ，由于 sin75sin 312000sin6i45sin7=60sin 45，所以有 F3F1F2，C 正确 答案：C四平衡物体中的临界和极值问题1.临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不
13、出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“ 恰好不出现 ”的条件1. 如图 2 48 所示，一球 A 夹在竖直墙与三角劈 B 的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为 ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三m角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡方程求解用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力 FFmax FNB.由平衡条
14、件有：对球有：G A FNcos 45 FNAF Nsin 45 对三角劈有 F NBGF Nsin 45 FF Ncos 45 FFNB，F NF N 由式解得：GA G. 1m-13/15【以题说法】处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，搞清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合2. 如图 24 9 所示，两个质量均为 m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为 l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为 M 的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止试求：(1)小环对杆的压力；(2)
15、小环与杆之间的动摩擦因数 至少为多大？解析：(1)整体法分析有：2F N(M2m)g，即 FN0.5Mgmg 由牛顿第三定律得：小环对杆的压力 FN0.5Mgmg .(2)研究 M 得 2FTcos 30Mg 临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有 FTsin 30F N 解得：动摩擦因数 至少为 ()32m+3.如图 2412 所示，一根弹性细绳原长为 l，劲度系数为 k，将其一端穿过一个光滑小孔O(其在水平地面上的投影点为 O)，系在一个质量为 m 的滑块 A 上，A 放在水平地面上小孔 O 离绳固定端的竖直距离为 l，离水平地面高度为 h(hmg/k)，滑块 A 与水平地面间的
16、最大静摩擦力为正压力的 倍问：图 2412(1)当滑块与 O点距离为 r 时，弹性细绳对滑块 A 的拉力为多大？(2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？解析：(1)当滑块与 O点的距离为 r 时，弹性细绳的伸长量为 x .h2 r2由胡克定律知，弹性绳的拉力 Fkx k h2 r2(2)设 OA 与水平面的夹角为 ，分析物体受力如图所示，由平衡条件得：FNFsin mgFcos F f.而 Fk ， FfmF Nhsin 所以有：k cos F fFfm (mgFsin )( mgkh )hsin 14/15其中 cos r，故 rhsin (mg kh)k答案：(1)k h2 r2(2
17、)以 O为圆心，以 为半径的圆内的任何位置(mg kh)k4.如图 2413 所示，在质量为 1 kg 的重物上系着一条长 30 cm 的细绳，细绳的另一端连着套在水平棒上可以滑动的圆环，环与棒间的动摩擦因数为 0.75，另有一条细绳，其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环 0.5 m 的地方当细绳的端点挂上重物 G，而圆环将要滑动时，试问：图 2413(1)长为 30 cm 的细绳的张力是多少？(2)圆环将要开始滑动时，重物 G 的质量是多少？(3)角 多大？(环的重力忽略不计 )解析：因为圆环将要开始滑动，所以可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题由平衡条件 Fx0， Fy0，建立方程
18、有：F NF Tcos 0，F NF Tsin 0.所以 tan ，arctan arctan .1 1 43设想：过 O 作 OA 的垂线与杆交于 B点，由 AO30 cm，tan 得，BO 的长为 40 cm.43在直角三角形中，由三角形的边长条件得 AB50 cm，但据题设条件 AB50 cm，故 B点与定滑轮的固定处 B 点重合，即得 90.(1)如图所示，选取坐标系，根据平衡条件有：Gcos F Tsin mg0FTcos G sin 0.即 F T8 N.(2)圆环将要滑动时，得：mGgF Tcot ，m G0.6 k g.(3)前已证明 为直角，故 90.答案：(1)8 N (2
19、)0.6 kg (3)9010.如图 2329 所示，光滑水平地面上放有截面为 圆周的柱状物体 A，A 与墙面之间放14一光滑的圆柱形物体 B，对 A 施加一水平向左的力 F，整个装置保持静止若将 A 的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( )A水平外力 F 增大 B墙对 B 的作用力减小C地面对 A 的支持力减小 DB 对 A 的作用力减小15/15【答案】BD【解析】受力分析如图所示，A 的位置左移， 角减小， FN1Gtan ，FN 1 减小，B 项正确；FNG/cos ，F N 减小，D 项正确；以 AB 为一个整体受力分析，FN 1F，所以水平外力减小，A 项错误；地面对 A 的作用力等于两个物体的重力，所以该力不变，C 项错误本题难度中等
