1、1一九九六年全国大学生数学建模竞赛 A 题: 最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分个年龄组：称龄鱼，龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8（/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条龄鱼的产卵量为 1.109105(个）；龄鱼的产卵量为这个数的一半，龄鱼和龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后个月；卵孵化并成活为龄鱼，成活率（龄鱼条数与产
2、卵总是 n 之比）为 1.221011/(1.221011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各
3、年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(10 9 条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。1 模型假设1) 鱼分个年龄组：称龄鱼，龄鱼.2) 龄鱼存活一年全部死亡.3) 各年龄组鱼的自然死亡率均为 r=0.8 (/年).4) 3、4 龄组鱼在每年 9 月 1 号集中产卵，4 龄组鱼产卵为 n4=1.109105(个)/条，3 龄组鱼产卵为 n3=(1/2) n4(个)/ 条.5) 每年 1 月 1 号卵孵化并成活为龄鱼，成活率（龄鱼条数与产卵总数 n 之比）为 1.221011/(1.221011+n).6) 每年只允许在产卵卵化期前的
4、个月内进行捕捞作业,捕捞是一个连续过程.7) 捕捞强度系数固定，只能捕捞、龄鱼，龄鱼捕捞强度系数为 4=, 3 龄鱼捕捞强度系数 3=0.42.2 问题 1 的模型建立(每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变)2.1.1 变量定义参数 定义 单位t 时间 年xi(t) i 龄鱼的数量 条gi i 龄鱼的重量(g 1, g2, g3, g4)=( 5.07,11.55,17.86,22.99) 克ai i 龄鱼的年捕捞数量 条w 3、4 龄龄鱼的年捕捞总重量 w=g3a3+g4a4 克2.1.2 模型建立模型 1.1 龄鱼存活一年全部死亡.记 xi(0)为 i 龄鱼的年初的数量. 对 i=1,2
5、(无捕捞情形 )：由 r 的定义，得 r=xi(t)/xi(t), 即 xi(t)= rxi(t). 积分得 xi(t)=xi(0)ert. tit)(lm02w36.17927.0o对 i=3,4 , 得当 0t2/3 时有 xi(t)= (r+i)xi(t), 解为 xi(t)=xi(0) , 当 2/3t1trie)(时 xi(t)= rxi(t), 解为 xi(t)= xi(2/3)er(t-2/3). 由此得 xi(1)=xi(0)er，i=1,2；xi(2/3)=xi(0) ，x i(1)= xi(0) , i=3,4.)(3/2i )3/2(r由假设 4) 3、4 龄龄鱼的年产卵
6、总数n= x3(2/3)n3+x4(2/3)n4=0.5x3(2/3)+x4(2/3)n4=0.5x3(0)e(2/3)(r+.042) +x4(0) e(2/3)(r+.)n4,3、4 龄龄鱼的年捕捞总重量w()=g3a3+g4a4= dtgt)()(2.043/ = dtexextrtr )0()4)2.0(3/0 =0.42g3x3(0)(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(0)(r+)1(1e(2/3)(r+).由题设每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变，所以有 xi(1)=xi(0), (i=1,2,3,4), 记xi(1)=xi(0)=xi, (i=1,2,
7、3,4), k=1.221011, 问题为求：min w()=0.42g3x3(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(r+)1(1e(2/3)(r+).s.t. x1=kn/(k+n), n=0.5x3e(2/3)(r+.042)+x4e(2/3)(r+.)n4,xi+1=xier，i=1,2,x4=x3er+0.84/3 =x3er0.28.由于 x3=x1e2r, x4= x1e3r0.28，则n=0.5e8r/30.28+e11r/3(2+0.84)/3)n4x1.记 D=0.5e8r/30.28)+e-11r/3(2+0.84)/3)n4, 则 n=Dx1，由 x
8、1=kn/(k+n), 即 x1=kDx1/(k+Dx1), 解得：x1=k/(k1)D. 于是有w()=0.42g3x3(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(r+)1(1e(2/3)(r+).=0.42g3(r+0.42)-1(1e2r/30.28)+g4(r+)1er0.28(1e2r/32/3)x1e-2r.=0.42g3(r+0.42)-1(1e2r/30.28)+g4(r+)1er0.28(1e2r/32/3)k/(k1)De2r.求出 w()最大值点 =17.36, wmax=3.8871011(g).模型 1.2 龄鱼存活一年仍为 4 龄鱼. min w(
9、)=0.42g3x3(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(r+)1(1e(2/3)(r+).s.t. x1=kn/(k+n), n=0.5x3e(2/3)(r+.042)+x4e(2/3)(r+.)n4,xi+1=xier，i=1,2,x4=x3er0.28+x4er2/3.由于 x3=x1e2r, x4= x1e3r0.28/(1er2/3)，则n=0.5e8r/30.28+e11r/3(2+0.84)/3)/(1er2/3)n4x1.记 D=0.5e8r/30.28)+e11r/3(2+0.84)/3)/(1er2/3)n4, 由 x1=kn/(k+n), 即 x1
10、=kDx1/(k+Dx1), 解得：x1=k/(k1)D. 于是有w()=0.42g3x3(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(r+)1(1e(2/3)(r+).=0.42g3(r+0.42)1(1e2r/30.28)+g4(r+)1er0.28(1e2r/32/3)/(1er2/3)x1e2r.3=0.42g3(r+0.42)1(1e2r/30.28)+g4(r+)1er0.28(1e2r/32/3)/(1er2/3)k/(k1)De2r.求出 w()最大值点 =17.36, wmax=3.8871011(g).模型 1.3 3、4 龄鱼每年按 9 月 1 号至 12
11、 月 31 号的平均数量计算产卵量且龄鱼存活一年仍为 4 龄鱼. =(3/r)xi(2/3)(1er/3) =3xi(2/3)(1er/3)/r (xi(2/3)dtextrii )/2(13/2n=3x3(2/3)(1er/3)/r n3+3x4(2/3)(1er/3)/r n4=1.5x3(0)e(2/3)(r+.042) (1er/3)/r+3x4(0)e(2/3)(r+.) (1er/3)/rn4模型为min w()=0.42g3x3(r+0.42)-1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(r+)-1(1e(2/3)(r+).s.t. x1=kn/(k+n), n=1.5x3e(
12、2/3)(r+.042) (1er/3)/r+3x4e-(2/3)(r+.) (1e-r/3)/rn4，xi+1=xier，i=1,2,x4=x3er0.28+x4er2/3.求出 w()最大值点 =17.0243, wmax=3.8771011(g).3 问题 2 的模型建立(渔业公司承包这种鱼的捕捞业务年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(10 9 条），仍用固定努力量的捕捞方式)2.1.1 变量定义参数 定义 单位t 时间 年xi(t) i 龄鱼的数量 条n(j) 第 3、4 龄鱼第 j 年产卵总数量 个g
13、i i 龄鱼的重量(g 1, g2, g3, g4)=( 5.07,11.55,17.86,22.99) 克aij i 龄鱼第 j 年捕捞数量 条wj 3、4 龄龄鱼的第 j 年捕捞总重量 wj =g3a3j+g4a4j 克w 3、4 龄龄鱼的五年捕捞总重量 w =w1+w2+ w5 克2.1.2 模型建立模型 2.1 龄鱼存活一年仍为 4 龄鱼且每年 9 月 1 号集中产卵.记 xi(0)为 i 龄鱼的年初的数量. k=1.2210 11, 问题为求：min w()= ， s.t. 3、4 龄龄鱼第 j 年捕捞总重量40jwj()=g3a3j+g4a4j= dtxgtj )()(2.43/
14、= dtejxej trtr )(.0 )(4)2.0(3/2 =0.42g3x3(j)(r+0.42)1(1e(2/3)(r+.042)+g4x4(j)(r+)1(1e(2/3)(r+).x1(j+1)=kn(j)/(k+n(j), n(j)=0.5x3(j)e(2/3)(r+.042)+x4(j)e(2/3)(r+.)n4,xi+1(j+1)=xi(j)er，i=1,2,x4(j+1)=x3(j)er0.28+x4(j)er2/3(x1(0), x2(0), x3(0), x4(0)= (122,29.7,10.1,3.29)(109)4求出 w()最大值点 =17.58, wmax=1.60571012(g), 记 wj=wjmax, 有(w0, w1, w2, w3, w4)= (2.34401,2.14852,3.96176,3.77825,3.82216)(1011)(g)
