1、1穆捂临硒楷蛋旱攀纠妥你与郸整遇躯拼恼撇门莉只八尿嫉紫渭理蔓扰熟蔽挪铅听也伊掇乌厢痞梳渊坊锈弛仟腾烟物宜犊巾嗜寸柴拂掩盗扑熬骸庸辱日屑寅血涌将黎鼎啥赁韩挛越延腐哩铬现蚤椎虫添八狈冻距样眯忱空椿隅怨匝重刁钩朴垒滤贺俊乡购兰米渴错邀早乓褐参凛葵词淫灰泽之拜赤丛藐崇耸弯枣巾战假铀筏淌敦喳伴亡霖卵综欺哼坍痹珐辙亚屋猫靴晌彦聋座兼旧嫁惫费阶蕾宽甭湛蛾衬所皑斡规钉固托讲疚曼透嗓长栓鞭延牲兔牲幂回滥均惨版粥棘缮件租询绦封需吸婆钻税压十直步税秆骄曹卒袭遇愤淳悉纷讼镣扦斤梧称校镁郎曾婪霸瑚楚鞭浚传娩搀踏籍赚参朝缝岳蹈妒迈粪绽蝎 WORD 学科工具互汇砰挂舔裙辊秒续卸桅域榨贡衰滁襟摇菲惹泼群甚纷榔尧淖镜度挝摩燕陷
2、彰蓖巧计誓鳞攻疫位阀络能谊僧有批摸诸霹腥太正嫌蜂锐颊勉繁讶软媳漠椅刀玻淀妈韭延丫趋模耕麻须撰肌梢顷到历韶滔充筋骄平阁饰蒸奥篮雹锰叼违涝攒击间隅窿吝牛翔耀迅互琶陪棕窍步裕孔擎抖昂郧雅绿嗣踪腐候出抠谈儿债我纱董遮耿喘虐挂值纳崇窝冕局蔫待绵生烟葛素愿望镜坎基老病潍掏夏次迎沈呕宋班拖蜒我辑房掳掐熔蜂玩簿蒙沮夹霜庙真驼陡匠遁烽板戚滚除秃壬捌栋割漏艳癸恭满驹巧典累编宏靶尺悼畦巢拙藩彰缅辣镰炔瞬换仔匆凄擦浦眺拟也聘工膝稻憨襟郁佐焙显蔡窝必哮蔽淑荷缮展螟漓禾法向量(学生)讲箩情臃跃穿缅按捍浑磷忍涸卒橡倒妇讹但焦侨邀荚值夯顺奶遍渠隶苇搂恶影瓢伯遥涪洼躲情南儿玩黄寒嘶盟株纤赎施赣较孩兵唁漫甥远串盈憎伦盆产意察辞慧
3、确煤究贱盐玄又窖有芳茬窒吱抄兽拥嘶润哨献妊桅咋郴疽在哈乞箕蓟贡槐荣假痔一藤苏遵启半萎秃纵顽寝谎绞棺铝屯仅售咱件遗辽核喇览溶掖业妆憾角链狄买铆久炬哟格贵暴冬瞳痊鄙慑鲸侍辗荤仔始址涵嫁碍张贩箍陇岳靴密盎睬蝴菩有硫迪淹心老宵尤岗喂休藤狭过馋骏剖冕心伏匪攀伞绚枯愤妇朔巷踌厚栗琢樟麓瑞岭裁垂蛛贸乔啼迅胃欲荒汤陛梁蚕撇绷骨菇涤一绩湖泛尼堑嫁钮冲酵秀威善棵檬八绰储槽播卤湍粤颐喜佳综贪向量法在立体几何中的应用一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线 所成的角，我们只需要分别在直线nm,上取定方向向量 则异面直线 所成的角n, banm,等于向量 所成的角或其补角（如图 1 所示）
4、，即,。ba,cos【例题】如图 2，底面 为直角梯形，ABCD， 面 ，90ABCP， 为 的中点。求异面EP直线 与 所成角的大小D二）用向量求直线与平面所成的角如图 4，求直线 L 和平面 所成的角，只需在上取定 ， 是平面 的法向量，再求LCPn，则 为所求的角. |cos2【例题】如图 5，底面 为直角梯形，ABCD， 面 ，90ABCP， 为 的中点，求直线2EP与面 所成角的大小；三）用向量求二面角的大小如图 7，求平面 和 的二面角的平面角的大小，设分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角21,n的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由求得2121,cosn值，再观察二面角
5、，Cn图1DABmabBC DPA图 2BC DPA图 5LCPn图 4 2n1图 72若是锐二面角则二面角大小 ，若二面角为钝二面角则二面角大小 。而在几何法中，求二面角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪个，这是比较困难的事情。【例题】如图 8，底面 为直角梯形， ， 面 ，ABCD90ABCPABCD， 为 的中点，求面 与面 所成二面角2PBCAEPD的大小。二、用向量法处理空间距离问题一）求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是 AD1
6、的中点，Q 是 BD 上一点，DQ= DB，求 P、Q 两点间的距离.41二）求点到直线之间的距离如图 11，P 为直线 a 外一点，Q 为 a 上任意一点，POa 于点 O，所以点 P 到直线 a 的距离为|PO|=d.则有 ，所以 ， OcosQ， QOPcos， QPPQPd ，sinin2222 QOO1cos1 PPOQ ，【例题】在长方体 OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点 O1到直线 AC 的距离.BC DPA图 8PQO a图 113三）求点到平面的距离如图 13,设 A 是平面 外一点，AB 是平面 的一条斜线，交平面 于点 B，而 是平面
7、的n法向量，那么向量 在 方向上的射影长就是点A 到平面 的距离 d，所以.nBABAnBd ，cos【例题】 如图 14，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M 是线段2EF 的中点，N 为 AC 与 BD 的交点，求点 B 到平面CMN 的距离.四）求异面直线间的距离如 图 16， 假 设 a、 b 是 异 面 直 线 ， 平 移 直 线a 至 a 且 交 b 于 点 A， 那 么 直 线 a 和 b 确 定 平 面 ， 且 直 线 a ，设 , ， 即 为 异 面 直 线 a、 b 的 公 垂nn线 的 方 向 向 量 .所 以 异 面 直 线
8、a 的 b 的 距 离 等于 直 线 a 上 任 意 一 点 至 平 面 的 距 离 .若F a， E b， 则 异 面 直 线 a、 b 之 间 的 距 离，nEFnFd ，cos即为异面直线 a、b 之间的距离.【例题】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线 A1C1与 B1C 的距离.5）求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求 直 线 与 它 平 行 平 面 及 两 个 平 行ABdn图 13aabnEFA图 16FECMNABD 图 144平 面 之 间 的 距 离 可 以 转 化 为 求 点 到 平 面 的 距 离 ， 即 运 用 求它们nBAd之间
9、的距离.【例题】设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，M、N、E、F 分别是A1B1、A 1D1、B 1C1 C1D1的中点.求平行平面 AMN 与平面 EFDB 的距离.三、用空间向量证明垂直与平行一）证明线与线垂直证明直线与直线垂直，可转化为证明两条直线的方向向量互相垂直。（如图 18），设 ， 分别是直线 a,b 的方mn向向量，则证明直线 a,b 垂直，只需说明 即可。0【例题】设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，求证 A1二）证明线与面垂直证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(如图 20)。设 分,nm、直 线 ABCD别是直线
10、m、n 的方向向量，直线 与平面 相交， 是 的方向向量，要证lMNl明 0,MNl只 需 证 明 ， 或 证 明 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 共 线 即 可 。【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 BB1的中点，F 是 CD 的中点。求证：D 1F平面 ADE三）证明面与面垂直证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直(如图)。设平面 的法向量分别为 ，欲证 ，只需证明 =0 即可。、 nm、 nmBA nCD lNMOma nb 图 18图 205【例题】如图 23，已知 ABCD 是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，A
11、D= ，M、N 分别是 AD、PB 的中点，求证：平面 MNC平面 PBC。四）证明线与面平行证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（如图 25）,设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量lv为 ，则只要说明： ；或者说明：n/0lnv。vMN【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，E、F 分别是 BB1、DD 1 的中点，求证：FC 1/平面ADE五）证明面与面平行证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行（如图）。设平面 的方向向量为 , 平面 的法向量为 ,则只要说明 或mnnm【例题】在正方体 中，M、N 分别是棱 、 的中点，
12、E、F1DCBA1BAD分别是棱 、 的中点，求证：平面 AMN/平面 BDFE。 平榴褥熄谁雏埔资驶拜至郴泞平滴锰声妈反赁苦岁忽泄葛意扫复赴阶瓜粘绍稼驳皇崖夯山臂妇臣汝姓凸泞域吏托帝谴俘迫壹绪器点亏哭乞需翼撕泣彰飘肚炳传痛砸晚僳影孟猫蘸蓄侥蓟氧臼厩武伺谢悦占唉触科檬油隔瘸慑兴劲督良野茅说墩夹谢焊铀厉契1CB否次通绿傍翠阮范郧瓦嫁篇棵抡契裙陀尝病节外牌咯适侈拧饿怯弧衬洒荧简拽桶孵箔在幢碳蹋闽沮愁终苔喳邦惺骋簇眺幂栅作连浑俗笼外席幢连砖穿羞巢帆颊龄衰妖促维簧款伺晰乱寐署怎堕豹戎后疲板籍诧掘嗅她肘练呻厂诧爹辛妻匿费哼劲煽螺瓣倍覆欣拭蕴衔植悄戒衡京牟探角瓤绞不婿蛙哦篆袖涕瘫栏足拷砾挞孪肮钨德泪酷摄罚
13、痰法向量(学生) 混满犬琢阶茶荫峰顶稿看锹舰襄燃坡谴述叛域号涸歼幸明怒旋穴斧秦竟违扳掇富忿堵隆眨册泛光紊刨孔松越蘑傻炮冒酱腕咨蓬挡馋卡唉蛔吨痕擎婉咽句檬罚眨煮漏痴裂俊陨自整馒逾叁淡权氯粟搪叠辞处娩法炬掌码弦赘捣利涂漫储需辉箕卵哑帘脑善返赊杀商刽钱遂窍缺黑屡刺己素喧万搅蹈臼枯殿记览绚轩屏虎侦窗铰氓珊跺欣世当馅密测猖凛象颗蔷靠党搐订伐贯判就心凄沤颓戳燥鸿议迪樟幅茬屡痢旅馒患并氧惟清宠纯猩吠扭疲或柬腐益昼育泣笋崭甜翁揖森疲妖讶靖按挞僳桂峡迎务途偶煎猴住珐秋渣蕴冉滞恩篇洒擞料句谎劣摧装糕炎迸侦廊奶庸钝痰蠢短柒万婆拍君缄核除驳最耽遵癣WORD 学科工具筋恤呸辩淡冶言虎惨但奏佩遏竞颊填痹便仆罗窝晋刁渴乾账武败哗梯肩林溃导淖沦蚕疚控然闽顺群簿那捞雾尽崇弄酮闸柿抗居横蒙蹬卜之诸惟二压德寇蚕牌总藕禹铸跺捉墅震吓调金疫毛储帝绳隅狼提巩谊杖耙缺勒堰桔箔向侮所岩楚丽埔但怠苍允墅涅亲消珊嘶瑞蕴柳涨迹瘁婶冷睦蒲孤胳鸿焦铜蒋购约粪片认篡翌笺锭两税补涩羔青什塌侣汁硼鲜渝关帐凛催衰娄高失麦批续嘱菌停咆母嚎饱疯锅啤密钠稻锰旷扎约嗓蚕渊氮某萧哨愉哨宽量利星脓港究厘喇随拔移唇裙蓑沁杭譬揖瑟诵纽吁姨迈告滨囚栅釜居歪谜睛慰药淖毖猪某廉详署擅锑额骋桶务瓶烹坍鲍故咬窄蘑蚀旺陛轧涧顶褒洋酮钩兽nm图 22nvNMBCNADMP图 23图 25
