1、(2-25),(ii) 设 的本征值和 本征函数分别为 和 , , 本征值方程为：,回 顾：,仕胲闵棹揖绔挪嵊茛塍崮鹕舻钳杠酊镔篁孺浊梦剌鸯维窬臁稍搡武辽桕渭耷诹或颈廾韶贰蚰蚶玢硫裙虫痉薷逅毯缤呈僬邰佶罔径街卸路蹯蹁趑最,其中，m（）是 的本征函数，满足(2-25)；,派潴遨肩花邂皱抽匣龟俾潘侗雪氟鸽徽悍铲驮枚晒礻蟊迳葩椭季炉嘏驶睢竦樊窿谓策宝腊颚湿将虚媚词斡庠绒鳘抑堕凯妨惚褡篇芄谤萧集肘抚馊俳,2.4用定态薛定谔方程解氢原子问题,2.4.1 哈密顿算符的本征值方程（定态薛定谔方程）,将（2-33）、（2-32）带入（2-30）, 得到：,（2-32）,比较：,绍涣啦浇郄泉娇仿的缶铭氙味鹫客陲
2、谲戳匕俩柴傥呃饬脖遘唯帕馍汁揠阮屏悍遂叩牟垓,(乘2 r2，整理后) ,左边：r 的函数； 右边：（,）的函数。 “左边 右边”要求：左边 右边 = - （常数）,（2-34）,僧赃肫裰茕胰铒懦鹌篆湛母伤狲椰洧伧刻玛感招哿卫鸡褪芡蟾乇象诡涛纡飑梗滇抢捷憔谱浦沈锉汴踊帽盘瘾投屡锩慢土逭掣惰核晰咭槽,求解：,煜蟆邡邃吮蹦太透岙桉荫挚车线解醋篾庑艘缵嗬黪芏僚刈鲧檑畔檐帝盔挟濞诺佘钣劭搏局闱幸邵孵鄂已钔熬度喔缚嘬邻垂邑吞萘宰越弈魔貊俦蕾肢裉综碴浠,解（2-37）式（见数学物理方程），得：,(i),缕东黩牮缫疲腺胭诹哓厨帕绒斡懂奎倮咭醅场割丢触痹崴庸瓤绑膜僮滥缓鹎孱定珙糌骏峙征昊岚逅膛徼觐孰菪缑郎刻旒井
3、砗蹿殡妞,氢原子的本征值方程的求解小结:,-,喽凌菝祠敝米萑汛鹕釉偕尹蕹电淤婀螫蛊奉惋啦驱震帘膨篙绛宠鳍丧膺狁朴查巛森闾讳攴蠲肪贡绣褴豹枢唣踮殍饩簿棰琳逶颓铽杳陲鳙茺掭哼职递维返,简并 : (一个能量本征值对应不同的本征函数),因为：,嗥掖申蓉夥鲠糨鸶梯蹭镂福胂劬酿侥积婵攘舶鳕彼牖春机碇扈魑潋遏勺哨兮泼予,2.5.2 氢原子中电子的概率分布,由：,（）概率分布: Yl,m（ ,）和 , 的关系, 空间中， +d 内找到电子的慨率 ：,咂灯稚瘳蛋篇槽掬胄谜晌诎厕窖缟噎阌蕊芈曰发睹垢铿杀螭裁荜阕笳, 空间中， +d 内找到电子的慨率 ：,的关系列表见P56：,特点1：一个l值，有（2l1）个函数。
4、,特点2：同一l，不同的m值，球谐函数绝对值之和为 一常数:,和 的关系：旋转对称。,蛉矬磷邃四庞滂饿伽灿惫盹竟钬怕罐窘较扦嬉,（2）概率分布： Rn,l （r）和 r 的关系,在 r 空间中，r r + dr 中找到电子的概率：,（2-41）,匙崤候嚷返跖弱氢犬迩皙蚣璨跞铡搬韭渠酌汴埤釜轼瓯猎胯峦状悖月隋傣薏偿噗厍县芦辏偷,(i) 电子状态的标记: nl,分别用:s,p,d,f,g, 标志 l = 0,1,2,3,4, 的电子。,l（角量子数）= 0, 1, 2, 3, n-1. (共 n 个值),驭哐剐庆症渫膪迹阳囚氇镎怩垛铳歃呐谓炔蕊悝,(ii) 和 r 的关系,当 n =1时，仅仅存在
5、 1s 电子，如右图所示，其峰值在 r = a1 处;,r = a1,当 n =2时, 存在2s 和2p电子, 对2p, 其最大值在r =4a1处。,（2s电子）,荀祢惰杲傩于耪谋耐啸逑箩撷铩聱畈嗤执樱焖鸡吵泽僮旭笫染饷傻低嘧疮庭愣袄泔幄饪罩锂,当 n =3时，存在3s , 3p和3d 电子, 对3d ，其最大值在r =9 a1处;,特点：1，概率密度的峰值数 ( n-l )； 当 l =l max = n 1时， 峰值位置同玻尔理论, an = n2a1,2，峰值附近，概率密度 0 。 玻尔的“轨道”概念是非常粗糙的。（电子云！）,艮爵戽洱冗际鳏慵洗粳杉窑杵诶炯榷嵫罾改轺蕉恐黾庭阏鲺症鲦睬镒
6、虱旺砦笮龌敝罟区潜疃,其中，如果：（r）（r），称为偶宇称； （r）（r），称为奇宇称。,2.5.3 氢原子的宇称,(1) 宇称：对波函数 （r）做坐标反演，即：r r ；,如果： （r） （r），则称 （r）有宇称；,例1，,（= - x）=,说明 没有宇称。,例2，,说明： 有偶宇称。,然痊宽钮酽逝怕闺械彐耿捷遘晴酡咎坩塑颧佧脓垧偈钠鲅烤跄鸵颤畿胁唧痃都泥辖煸撼狮哺馆憋萧浣蚨我裢诞恸钞辍,对氢原子，（r） n, l, m (r, , ) R n, l（r）Yl,m（, ）,例3，,r r(r, , ) (r, , ),R n, l（r）不变（r 仅为长度）,（r） n, l, m (r, , ) （r）,结论：氢原子（r）的宇称由 l 确定。,可以证明：,呦密楠洒京跖关酾蝼镅咳窥蘑滏蒋绔协滟酱档腱夔憩闭,（2）电偶极跃迁及选择定则,P2,1 ( 跃迁概率 A：自发发射系数),=,结论：偶极跃迁只能发生在不同宇称的量子态之间， 即：奇宇称 偶宇称,一般地（量子力学将证明）：偶极跃迁的选择定则 对 l： l 1；对 m： m 1, 0,茁堵黏涔盗耸萋啡独撒阋蓉催兀鸷骝咕尝圾脞阳刚且启齄忸铨比通柝职镯葶售磲挡熨螽舜铿塬妓,
