1、1O 5430.8.70.5tp主主 主Sk=+1S=+2kk3k=0主S=0主主2014 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文） （北京卷）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则 （ ）0,124A1,23BAB（A） （B） （C） （D）30,41,23（2）下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ）R（A） （B） （C） （D ）xyeyxlnyxyx（3）已知向量 ， ，则 （ ）2,4a1,b2ab（A） （B） （C） （D）575,93,7,9（4）执行
2、如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）S（A） （B） 13（C） （D）715（5）设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）abab2b(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件（6）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区26logfxxfx间是（ ） (A) (B) (C) (D)0,1,44,（7）已知圆 和两点 ，22:31Cxy,0Am，,Bm若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为（ ）P9B（A） （B） （C ） 76（D） 4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条2件下，可食用率 与加工
3、时间 （单位：分钟）满足的函数关系 （ 、 、 是pt 2patbcac常数） ，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A） 分钟 （B） 分钟 3.503.75（C） 分钟 （D） 分钟442第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若 ，则 .12xiixR（10）设双曲线 的两个焦点为 ， ，一个顶点式C,02,，则 的方程为 .1,0（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .（12）在 中， ， ， ，则 ；AB1a2b1cos4Cc.sin（13）若 、 满足 ，
4、则 的最小值为 .xy10x3zxy（14）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，AB每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工 精加工原料 A915原料 B62则最短交货期为 工作日.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15） （本小题 13 分）已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ， 且 为na13a42nb1420bnba等比数列.（）求数列 和 的通项公式；nb主主主主主1 11223
5、（）求数列 的前 项和.nb（16） （本小题 13 分）函数 的部分图象如图所示.3sin26fxx（）写出 的最小正周期及图中 、 的值；0xy（）求 在区间 上的最大值和最小值 .fx,21 Oy x0 x04（17） （本小题 14 分）如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，1ABC， ，ABC12、 分别为 、 的中点.EF（）求证：平面 平面 ；E1（）求证： 平面 ；1/AB（）求三棱锥 的体积.CC1B1A1FECBA5（18） （本小题 14 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（）从
6、该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；（）求频率分布直方图中的 a，b 的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）组号 分组 频数1 02， 62 4， 83 ， 174 6， 225 810， 256 2， 127 4， 68 ， 29 18， 2合计 100主主ba主18161412108642O6（19） （本小题 14 分）已知椭圆 C： .24xy（）求椭圆 C 的离心率；（）设 O 为原点，若点 A 在直线 ，点 B 在椭圆 C 上，且 ，求线段 AB
7、 长度的最小2OAB值.7（20） （本小题 13 分）已知函数 .3()2fx（）求 在区间 上的最大值；()fx2,1（）若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，求 t 的取值范围；,Pt ()yfx（）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）()(,0,)ABC()yfx8主主 主Sk=+1S=+2kk3k=0主S=0主主2014 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文） （北京卷）答案及解析第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则 （ ）0,124A1,2
8、3BAB（A） （B） （C） （D）30,41,23【答案】C【解析】因为 ，所以选 C.2,1B【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ）R（A） （B） （C） （D ）xyeyxlnyxyx【答案】B【解析】对于选项 A，在 R 上是减函数；选项 C 的定义域为 ；选项 D，在 上是减函数，),0()0,(故选 B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.（3）已知向量 ， ，则 （ ）2,4a1,b2ab（A） （B） （C） （D）575,93,7,9【答案】A【解析】因为
9、 ，所以 ，故选 A.)8,4(2a )7,5(1,)8,4(2ba【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）S（A） （B） 13（C） （D）715【答案】C【解析】当 k=0 时， ；当 k=1 时， ；S32S9O 5430.8.70.5tp当 k=2 时， ；当 k=3 时，输出 ，故选 C.743S7S【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.（5）设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）abab2b(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不
10、必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件【答案】D【解析】若 ，则 ，故不充分；2,0ba2ba若 ，则 ，而 ，故不必要，故选 D.【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.（6）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） 26logfxxfx(A) (B) (C) (D)0,11, 2,44,【答案】C【解析】因为 ，所以由根的存在性定理可知，选 C.03)4(,0)2( ff【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.（7）已知圆 和两点 ， ，22:341Cxy,0Am,0B若圆
11、 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为（ ）P9B（A） （B） （C） （D）654【答案】B【解析】由题意知，点 P 在以原点(0,0)为圆心，以 m 为半径的圆上，又因为点 P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以 ，故选 B.51m【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分 析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特 定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：分钟）满足的函数关系pt（ 、 、 是常数） ，如图记录了三次实验的数2patbcac据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A） 分钟
12、（B） 分钟 3.503.7510（C） 分钟 （D） 分钟4.04.25【答案】B【解析】由图形可知，三点 都在函数 的图象上，).0,(8.,)7.0,3( cbtap2所以 ，解得 .5.258416.39cba,5.1,2.cba所以 ，当 = 时，p 取最大值，故选 B.63)4(.02022 ttp 4t75.3【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若 ，则 .12xiixR【答案】2【解析】由题意知
13、： ，所以由复数相等的定义知ii2x【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.（10）设双曲线 的两个焦点为 ， ，一个顶点式C2,0,，则 的方程为 .1,0【答案】 12yx【解析】由题意知： ，所以 ，又因为,ac122acb双曲线的焦点在 x 轴上，所以 C 的方程为 .yx【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、 的关系式，考,查分析问题与解决问题的能力.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .【答案】 2【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长
14、为 2 的等边三角形，棱锥的高为 2，所以最长的棱长为 .22【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.主主主主主1 112211（12）在 中， ， ， ，则 ； .ABC1a2b1cos4CcsinA【答案】2， 85【解析】由余弦定理得： ，故 ；因为4125cos22 abc 2c，所以 .87214cosA81sinA【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.（13）若 、 满足 ，则 的最小值为 .xy10x3zxy【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三
15、角形，平移直线 可得，当直线经过yxz3两条直线 与 的交点(0,1)时，z 取得最小值 1.y01x【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.（14）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，AB每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工 精加工原料 A915原料 B62则最短交货期为 工作日.【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为 天.421
16、56【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15） （本小题 13 分）12已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ， 且 为na13a42nb1420bnba等比数列.（）求数列 和 的通项公式；nb（）求数列 的前 项和.（15） （共 13 分）解：（） 设等差数列 的公差为 ，由题意得nad4123ad所以 1312n， ，设等比数列 的公比为 ，nbq由题意得 ，解得 341083aq2所以 12nnb从而 132n， ，（）由知 n ， ，数列 的前 项和为
17、 ，数列 的前 项和为 312n12n12n所以，数列 的前 项和为 nbn（16） （本小题 13 分）函数 的部分图象如图所示.3si26fxx（）写出 的最小正周期及图中 、 的值；0xy（）求 在区间 上的最大值和最小值 .fx,21（16） （共 13 分）解：（） 的最小正周期为fx0763y（） 因为 ，所以 21x， 5206x，于是当 ，即 时， 取得最大值 0；06fOy x0 x013当 ，即 时， 取得最小值 26x3xfx3（17） （本小题 14 分）如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，1ABC， ，ABC12、 分别为 、 的中点.EF（）求证：平面 平面 ；E1
18、（）求证： 平面 ；1/AB（）求三棱锥 的体积.C（17） （共 14 分）解：（）在三棱柱 中， 底面 11BAC所以 1BA又因为 C所以 平面 1所以平面 平面 E1B（）取 中点 ，连结 ， ABGF因为 ， 分别是 ， 的中点，F1AC所以 ，且 2因为 ，且 ，1 1所以 ，且 FGEC所以四边形 为平行四边形1所以 1又因为 平面 ， 平面 ，EAB1FABE所以 平面 1CF（）因为 ， ， ，2C所以 3AB所以三棱锥 的体积E112333ABCVS（18） （本小题 14 分）C1B1A1FECBAGC 1B1A1FECBA14从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一
19、周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；（）求频率分布直方图中的 a，b 的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（18） （共 13 分）解：（）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 名，所6210以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是10.9从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9（）课外阅读
20、时间落在组 的有 17 人，频率为 ，所以46)， 0.170.17.852a频 率组 距课外阅读时间落在组 的有 25 人，频率为 ，0)， .25所以 12b频 率组 距（）样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组（19） （本小题 14 分）已知椭圆 C： .24xy（）求椭圆 C 的离心率；（）设 O 为原点，若点 A 在直线 ，点 B 在椭圆 C 上，且 ，求线段 AB 长度的最小2OAB组号 分组 频数1 02， 62 4， 83 ， 174 6， 225 810， 256 2， 127 4， 68 ， 29 18， 2合计 100主主ba主181614121086
21、42O15值.（19） （共 14 分）解：（）由题意，椭圆 的标准方程为 C214xy所以 ， ，从而 24a2b2cab因此 ， 故椭圆 的离心率 c 2cea（）设点 ， 的坐标分别为 ， ，其中 AB2t， 0xy， 0x因为 ，O所以 ，0即 ，解得 02txy02ytx又 ，所以042220ABxty20022004yx22020 4x202084x因为 ，且当 时等号成立，所以 2020x 204x28AB故线段 长度的最小值为 AB（20） （本小题 13 分）已知函数 .3()f（）求 在区间 上的最大值；()fx2,1（）若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，求 t 的取值
22、范围；,Pt ()yfx（）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）()(,0,)ABC()yfx（20） （共 13 分）解：（） 由 得 .32fxx263fx令 ，得 或 .0f16因为 ， ， 210f2f21ff，所以 在区间 上的最大值为 .fx， 2f（） 设过点 的直线与曲线 相切于点 1Pt， yfx0xy， ，则 且切线斜率为 3002yx， 2063k，所以切线方程为 ，20yxx因此 .20631tx整理得 .34t设 2gxx，则“过点 存在 3 条直线与曲线 相切”等价于“ 有 3 个不同零点”.1Pt， yfxgx.21xx与 的情况如下：g(0)，
23、0(1)，1()，()gx0 0()A3tA1tA所以， 是 的极大值， 是 的极小值(0)3gt()gx(1)gt()gx当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零点，t1， ()，所以 至多有 2 个零点()x当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零点，10gt1t()gx(0)， ，所以 至多有 2 个零点()当 且 ，即 时，因为 ，所以 3t1720tgt， gx分别在区间 ， 和 上恰有 个零点.由于 在区间 和 上单调，所10， ， 12， 1gx， 1，以 分别在区间 和 上恰有 1 个零点.gx， ，综上可知，当过点 存在 条直线与曲线 相切时， 的取值范围是 .Pt， 3yfxt31，（） 过点 存在 条直线与曲线 相切；12A， f过点 存在 条直线与曲线 相切；0B， yx17过点 存在 条直线与曲线 相切.：02C， 1yfx
