1、专 题 2 数列知识网络图解一、数列的概念、性质例若数到 n满足 n+1= 若 1= 则 2009 的值为（ ）67A. B. C. D.675737 n= 则数列 n最大项为（ ）2048A. 1 B. 45 C. 44 D. 2007通项为 n=n2 n+1 的数列 n是递增数列，则实数 的取值范围为_二、等差数列、等比数列知识整合等差数列 等比数列定义 n n1=d（ d 为常数，n2，n N）为常数， n2，1(naq(*)N通项公式n=1（n1）d 或 n=m+（nm）dn=1qn-1或 n=mqn-m前 n项和公式()2nas=n1+ 中项 2n=n1 +n+1(n2) n2=n1
2、 n+1（n2）性等差数列的性质（1）m，n，p，q N，若mn=pq，则 m n=p+q，特别地 1 n=2+n-1=（2） n=n+b（ ，b 是常数）是 n成等差数列的充要条件， （n， n）是直线上的一群孤立的点（3）数列 n的前 n 项和Sn=n2+bn(0)是 n成等差数列的等比数列的性质(1)m、n、p、q N，若 mn= pq，则mn=pq，特别地 1n=2n1 =（2）当 时， m为递增数列，当 或 时， n为递减数列（3）若 n和b n均是等比数列，则 nbn仍为2n ，0 n 2 n1S= n1()naq(q=1)(q 1)10q1 或100q1100q110q12n1，
3、数列等差数列 等比数列 递归数列 数列求通项 数列求和 数学归纳法原 理证题技巧数列极限定义 求极限等比数列无究递缩概念 性质质充要条件（4）等差数列的单调性d0 n为递增数列，S n 有最小值。d0 n为递减数列，S n 有最大值d=0 n均是等差数列，则（ mn+kbn）仍为等差数列， m、 k 为常数（6）等差数列中依次 k 项和成等差数列，即 Sk，S 2k Sk，S 3k S2k，成等差数列，公差为 k2d（7）项数为偶数 2n 的等差数列 n,S2n=n(n n 1);项数为奇数 2n1的等差数列 n,有 S2n1 =(2n 1) n(n为中间项)且 s奇偶 等比数列（4）等比数列
4、中依次 k 项和成等比数列，即Sk，S 2k Sk，S 3k S2k，成等比数列，其公比为qk（公比 q 不为 1）（5）等比数列中依次 k 项积成等比数列，记 Tn为前 n 项积，即 Tk， ， ，成等比数列，23k其公比为 2kq要点 热点 探究例 1（1）已知两个等差数列 n和 bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 = ，则使7453得 为整数的正整数 n 的个数是( )nabA.2 B.3 C.4 D.5（2）已知等差数列 n的前 n 项和为 Sn，若 OB=6OA 195OC，且 A、B、C 三点共线（该直线不过点 O） ，则 S200 等于 （ ）A.100 B.101 C
5、.200 D.201（3）与差数列 n中，S 6=36，S n=324，S n 6=144，则 n=_（4）等差数列 n共有 2n1 次，其中奇数项之和为 319，偶数次之和为 290 则其中间项的值为 （ ）A. 9=10 B. 10 =16 C. 11 =29 D. 12=391221*()7()451273,nn nnaAbBnzN解619512020 2010ACaas三 点 共 线 6541138036()803282nnnn nsaas 1212 122941003299S anaa奇偶 中 间 项 为又例 2 等差数列 n的前 n 项和为 Sn， 1=1 ，S 3=9+（1）求数
6、列 n的通项 n，与前 n 项和 Sn；（2）设 bn= ，求证：数列b n中任意不同的三项都不可能成为等比数列s(*)N【解析】 （1）由已知得 故 n=2n 1 ，S n=n（n ）22（2）证明：由（1）得 bn= = ns2假设数列b n中存在三项 bp，b q，b r(p,q,r 互不相等) 成等比数列，则 =bp br,2q即 (q+ )2=（p+ ） （r+ ） ，（q 2pr）（2 qpr） =0p，q，r N, = pr，即（pr） 2=0， p=r，这与 pr 矛()盾 数列b n中任意不同的三项都不可能成为等比数列变式 已知数列 n中， 1= ，点（n，2 n+1 n）在
7、直线 y=x 上，其中 n=1，2，32（1）令 bn=n+1 n1，求证：数列 bn是等比数列；（2）求数列 n的通项；（3）设 Sn，T n 分别为数列 n，b n的前 n 项和，是否存在实数 ，使得数列 为nST等差数列？若存在，试求出 ；若不存在，则说明理由。解（1） n+2 n+11= (n+1 n1)（2） 1= ，2 2 1=1 2= （1 1）= 342 11= bn=n+1 n-1= （ ） n+1 n1 -n=13( )3422n+1Tn= Sn= 1n23n1= 131+3d=9+ 3d=2q2pr=02 qp r=02 1332n nnsT存在 使 等差ns例 3 已知
8、数列 n为等差数列，公差 d0，由 n中的部分项组成的数列 ， ，为等比数列，其中 b1=1，b 2=5，b 3=1712ba， nb（1）求数列b n的通项公式；（2）记 Tn= ，求 Tn123nnC+C解（1） 2517a211(4)(6)adad 1d251143bq又 13()nbnaad 112nnb n=2.3n-11（2） + （21(3nTC13)nC1)nn+C=1+ （ 0(n= +021(3n)2nn= =)13n变式 （理）设数列 n的首项 1= ，且 n+1= 4记 bn=2n 1- n=1，2，3，4（1）求 2， 3; （2）判断数列b n是否为等比数列，并证明
9、你的结论；（3）求 （b 1b 2+ b n）limn(文)数列 n的前 n 项和为 Sn，且 1=1, n+1= ，n=1，2，3，求：s（1） 2， 3， 4的值及数列 n的通项公式；（2） 2+4+6+ 2n的值三、简单递推数列与数列求和n， n 为偶数12 n ，n 为奇4数探究点一 基本求和问题例 1（1）已知数列 n为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和: 1nai（2）已知 0 且 1 数列 n是首项为 ，公比边也为 的等比数列，令bn=n1gan（n N） ，求数列 n的前 n 项和 Sn（3）已知 f、 （x ）= 求 （0） +193xf1()f()f（4）数列
10、n满足 n=解：（1） （2）1na2lg1()()naa（3）当 时，f 、 （ x1）+ f 、 （x 2）=12x12296133()9xx令 f、 （0） +ns()fn()f+ （0） （0）+ (n+1)= (n+1) s n=2nsf()f1316（4）当 n=2k 时 sn= s2k=(1+3+2k-1)+( 2+4+2k)=2243kn当 n=2k+1 时 sn= s2k+1= s2k+2k+1= +2k+1=243k124()3ns n=例 2 数列 n中, 1=8， 4=2 且满足 n+2=2n+1-n，n N（1）求数列 n的通项公式；（2）设 Sn= ，求 Sn；12
11、an（3）设 ， + bn ，是否存在最大的整数(*)()nbN12nTb(*)m，使得对任意 ，均有 Tn 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明3m理由解析 （1） n=82（n1）=102n（2）由 n=102n 0 得 n5n,2n,n 为奇数n 为偶数，n 为奇数124()3，n 为偶数n5 时 S n=1+2+n =8 n+ （2）=9nn 2(1)n5 时 S n=1+2+5 6 7 m=（ 1+2+n）2（ 1+ 5）=9 n2n 240（3）b n= m32 （1 ）12()21231nm16（ ） m16（ ）=8 m 的最大值为 7探究点二 用叠加法、累乘法、迭代
12、法求通项公式例 3（1）已知数列 n满 足 1=1， n=n1 + n（n2）则 n=_（2）已知数列 n满足 1=2， n=n1 2 n1 （n2） ，则 n=_（3）在数列 n中 1=3， n1 = ，则 n=_2a(*)N解（1） 212 2()3n探究点三 构造新数列，转化为等差、等比数列问题例 4（1）在数列 n中，若 1=1， n1 =2n+3（n1） ，则该数列的通项 n=_(2) 在数列 n中，若 1=1， n1 =2n+3n+1（n1） ，则该数列的通项 n=_(3) 在数列 n中，若 1=3, n1 = 则该数列的通项 n=_32a(*)N(4)已知数列 n满足 x1=3,
13、 x2= , xn= （x n-1+ xn-2） ，n=3,4，则数列x n的通项公式为312_112112()12()nnnnABAxx解 （ 4） 令 则 或 若 A= B-则 122nnnxx若 A=- B则Sn= 9 nn2 n=59 n2n 2-40 n5= 21132nnx213x12()nnx探究点四 归纳猜想证明例 5 数列 n满足 n1 =2， n0，且（n+1） + =0，又数列b n满2na12nabn= 12（1）求数列的通项 n和前 n 项和 Sn（2）求数列b n的前 n 项和 Tn（3）比较 Sn 与 Tn 的大小【解答】 （1） n0 ，且（n+1） + - =
14、0，（n+1）(*)N2na12a2()()1an 或 ， n0 n(*)1na = 又 1=2，12123nnaa2123n所以， n=2n S n=1+2+n=2(1+2+n)= n2+ n（2）b n=2n-1+1 Tn= b1+ b2+ bn=（2+2 1+2n-1） + n=2n+ n1(3)Tn-Sn=2nn 21当 n=1 时，T 1S 1=21-12-1=0 T 1= S1； 当 n=2 时，T 2S 2=22-22-1=-1 T 2S 2 当 n=3 时，T 3S 3=23-32-1=-2 T 3S 3；当 n=4 时，T 4S 4=24-42-1=-1， T 4S 4；当
15、n=5 时，T 5S 5=25-52-1=6 T 5S 5；当 n=6 时，T 6S 6=26-62-1=27， T 6S 6.猜想：当 n5 时，T nS n，即 2nn 2+1.下用数学归纳法证明；当 n=5 时，前面已验证成立；假设 n=k（k5）时命题成立，即 2kk 21 成立，那么当 n=k1（k 5）时，2k+1=22k2(k 2+1)= k2+ k2+2k 2+5 k+2k 2+2 k+2=( k+1)2+1. 即 n=k1（k5）时命题也成立由可知，当 k5 时，有 Tn= Sn; 综上可知：当 n=1 时，T 1= S1;当 2n5 时，T nS n当 n5 时，有 TnS
16、 n。变式 已知数列 n的数例，b 1=1，b 1b 2+ b10=145（1）求 n的通项 bn（1）设数例 n的通项 n=log（1+ ） （其中 0 且 1）S n 为 n的前 n 项和，试比n较 Sn 与 logbn+1 的大小。3规律技巧提炼1、若数列 n满足 1=， n+1=pn+q（p、q 数，且 p） ，则数列 n 是等比数例1qp2、或数列 n满足 1=, 2=b， n+2= pn+1+则原式可化为 n+2A n+1=B（ n+1A n） ，用待定法求出 A、B，从而转化为等比数列求解。3、已知数列 n，若满足 n-n-1=f （n） ，则用累乘法，若 n= f （n） ，则
17、求 n一般用叠加法；若满足 = f （n） ，可以考虑用迭代法。1a4、归纳猜想证明体现了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，对培养学生的逻辑思维能力、计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重要作用。5、数列求和的四种常方法：倒序相加、错位相减、裂项相消、分解求和。四、数列与函数、不等于式综合问题探究点一 用函数思想研究数列问题例 1 数列 n的通项公式为 n=7（ ） 2n-23（ ） n-1 ，则数列 n的（ ）44(*)nNA最大项为 5，最小项为 5 B.最大项为 6，最小项为 7C.最大项为 1，最小项为 6 D.最大项为 7，最
18、小项为 6（2）在等差数列 n中，S n 是前 n 项和，它满足 10,d0，S 7=S13，则数列S n中最大项是_探究点二 以函数为载体，考查数列的有关基本知识例 2 设函数 f（x）= ，点 A0 表示从标原点，点 An 坐标为（n，f（n） ） （n1若向量 n=A0A1+A1A2+An-1An， n是 n与 i 的夹角（其中 i=（1，0） ，设(*)nNSn=tan 1+tan 2+tan n，求 Sn；（2）已知函数 y=g（x）的图象经过坐标原点，其导函数为 g（x）=6 x2.数列 n的前 n 项和为 Sn，点（n，S n） 均在函数 y=g（x）的图象上。(*)N求数列 n
19、的通项公式； 设 ，T n 是数列b n的前 n 项和，求使得13nbaTn 对所有 都成立的最小正整数 m20m*【解答】 （1）A n1 An=(n，f（n）)（n1） ，f（n）)=( （n2）1，n=（ = ，当 n=1 时， 1=（1， ）也适用.0)()23， ， ） +（ ， ()1， 2tan n= S n= . 1()（2）依题可设 f（x ）=x 2+bx（0） ，则 f、 （x）=2x+b，由 f、 （x）=6x2 得=3，b=2， 所以 f（x）=3 x22x 又由点（n，S n） 均在函数(*)Ny=f（x）的图象上，得 Sn=3n2-2n 当 n2 时， n=Sn
20、Sn-1=（3n 22n）3（n1） 2-2（n-1）=6n5 所以 n=6n5 (*)Nnsn0 7 13由得 = 33(65)(161bnan1()256n故 Tn = + 因此，使得 i2731()26n20m成立的 m 必须且仅需满足 ，即 m10，故满足要求的最小整数 m 为(*)N12010变式 已知函数 f（x ）= （ x2） （1）求 f（x）的反函数 f-1 （x）24（2） 1=1， 求 n1(),nnfa*)N(3)设 Sn= n2，b n=Sn+1S n 是否存在最小的正整数 m 使对任意 ，有21a (*)nNbn 成立？5m探究点三 数列与函数、不等式的综合问题例
21、 3 已知函数 f（t ）对任意实数 x，y 都有 f（xy）=f（x）f（y）3xy（xy+2）+3 ，f（1）=1（1）若 ，试求 f（t）的表达式；*tN（2）满足条件 f（t）的所有整数能否构成等数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由；（3）若 且 t4 时， f（t）mt 2+（4m+1 ）t+3m 恒成立，求出 m 的最大值t解 （1）令 x=t y=1 f（t ）f（t 1）=3 t2+3t2 f（t）f（1）=3（2 2+33+t2）+3（2+3+t ）2（t 1）f（t）= t（ t 1） （t+2 ）2 t3（2）f（t）= t （ t1） （
22、t1） （t +2）=0t=3，1，1 等差数列3，1，1 或 1，1，3（3） （ t1） （ t3） （ t1）m( t1） （ t3） m t1 m41=3 m 的最大值为 3 变式 已知函数 f（x）= 2.x（I）设 n是由正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 1=3，若点（） 在函数 y= f（x）的图象上，求证：点（ n，S n）也在函211,na(*)N数 y= f（x）的图象上；（II）求函数 f（x）在区间（ 1，）内的极值解析 （1）因为 f（x）= ，所以 f（x）= x 2+2x，23由点（ ） 在函数 y=f（x ）的图象上，211,nna(*)N得 即21a
23、11(2)0nna又 n0 ，所以 ，又因为 1=3，所以数列 n是以 3 为首项，2(*)N12na为公差的等差数列 所以 Sn=3n+ 2=n2+2n，所以 Sn= f（n） ，故点()（n，S n）也在函数 y= f（x）的图象上 （II）f （x）= x 2+2x=x（x+2） ，由 f（x）=0，得 x=0 或 x=2当 x 变化时 f（x） 、f（x）的变化情况如下表：x （ ，2） 2 （2，0） 0 （0，+ ）f（x） + 0 0 f（x） 极大值 极小值注意到（1）= 12，从而当 12，即21 时 f（x）的极大值为 f（2）= ，此时 f（x）无3极小值；当 10，即
24、0 1 时，f （x）的极小值为 f（0）=2，此时 f（x）无极大值；当 2 或10 或 1 时，f（x ）既无极大值又无极小值五、数列与解析几何的综合问题要点热点探究探究点一 以向量为切入点的数列与解析与综合问题例 1：已知 i，j 分别是 x 轴，y 轴方向上的单位向量，OA 1=j, OA2=10j，且 An-1An=3 An An+1(n=2，3，4，) ，在射线 y=x（x 0）从下到上依次有点 Bi(i=1,2,3,)，OB 1=3i+3j 且= （n=2 ，3，4，）1nB2（1）求 A4A5；（2）求 OAn，OB n; （3）求四边形 AnAn+1Bn+1Bn 面积的最大值
25、解（1）A nAn+1= An-1An A4A5= A1A2 =9j = j131()3n3（2）A nAn+1=9j = ()3jOA n=OA1+ A1A2+An-1An=j+9j+3j+ 4nj=29()3j依题意 Bn-1Bn=2(i+j)OBn= OB1+ B1B2+ Bn-1Bn=(2n+1)(i+j)(3)Sn= = nOAOAS39n2 时31 An+1 Bn+1An BnOSnS n-10 y xS 1S 2S n max29147()nS探究点二 以函数图象为切入点的数列与解析几何综合问题例 2 在直角坐标平面上有一点列 P1（x 1, y1） ，P 2（x 2, y2）
26、，P n（x n, yn）对一切正整数n，点 Pn 位于函数 y= 的图象上，且 p 的横坐标构成以 为首项，1 为公34x5差的等差数列x n（1）求点 P 的坐标；（2）设抛物线列 C1，C 2，C 3，C n 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线Cn 的顶点为 Pn，且过点 Dn（0，n 21） ，记与抛物线 Cn 相切于 Dn 的直线的斜率为K，求： +123k1nk（1）P n（ n， ）54（2）设抛物线 25()(3)4xpy过 Pn（0，n 21）（ ） 2=2P( ) 2P=13ny= y x=0=2n+3 k n=2n+35()34x111()(2)23nk
27、nA +1231nk= + )(57923= 10n探究点三 以导数为工具的数列与解析几何问题例 3 已知数列 n的首项 1=5，前 n 项和为 ，且 +n+5ns12ns(*)N（1）证明：数列 n+1是等比数列；（2）令 f（x） = ，求函数 f（x）在点 x=1 处的导数 f （1） ，并21axna比较 2f （1）与 23n213n 的大小（1） （2） n+1=（ 1+1）2 n-1=3.2n n=3.2n-1f （x） =1+22+33+nn=3(21+222+323+n2n)-（1+2+n）Sn+1=2sn+n+5Sn=2sn-1+n+4 n+1=2n+1 n+1+1=2(n+1) n+1等比（0，n 21）DOPnxy=3（n1）2 n+1+6 (1)2n2f （1）=6 （n1）2 n+1+12- n22n3 时 2f （1）23n 213n=12（n1）2 n（2n+1）0 n=1 时 2f （1）=23n 213nn=2 时 2f （1）23n 213n
