1、一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。 （线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两条直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。 （需证明）二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （线面平行的判定定
2、理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。 3、菱形对角线。4、圆所对的圆周角是直角。5、点在线上的射影。6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也
3、和这条斜线垂直。 （三垂线定理，需证明）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 （三垂线逆定理，需证明）9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。2、点在面内的射影。3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。 （线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。 （面面垂直的性质定理）5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两平行平面中
4、的一个平面，则必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （面面垂直的判定定理）3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。一选择题（共 27 小题）1 （2010浙江）设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A若 lm，m
5、，则lB 若 l，lm，则mC 若 l，m，则lmD若 l，m，则lm2 （2006湖南）过平行六面体 ABCDA1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有（ ）A4 条 B 6 条 C 8 条 D12 条3 “直线 l 与平面 无公共点”是“ l”的（ ）A充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件4已知 m，n 表示两条直线， 表示一个平面，给出下列四个命题： n； ； ； 其中正确命题的序号是（ ）A B C D 5正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1、 CD、B 1C1 的中点，则下列中与直
6、线 AE 有关的正确命题是（ ）AAE 丄 CG B AE 与 CG 是异面直线C 四边形 ABC1F 是正方形 DAE平面 BC1F6直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）A一条直线不相交 B 两条直线不相交C 任意一条直线都不相交 D无数条直线不相交7、 表示平面， a、b 表示直线，则 a 的一个充分条件是（ ）A，且 a B =b，且 ab C ab，且 b D，且 a8已知两条直线 a，b，两个平面 ，则下列结论中正确的是（ ）A若 a，且 ，则 a B 若 b，a b，则 aC 若 a，则 a D若 b，ab，则 a9下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，
7、M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面MNP 的图形的序号是（ ）A、 B 、 C 、 D、10设 、 是三个不同的平面，a、b 是两条不同的直线，给出下列 4 个命题：若 a，b，则 ab；若 a，b，a b，则 ；若 a，b，ab，则 ；若 a、b在平面 内的射影互相垂直，则 ab其中正确命题是（ ）A B C D11已知两条直线 a，b 和平面 ，若 b，则 ab 是 a 的（ ）A充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件 D既不充分又不必要条件12已知直线 a 和平面 ，那么 a 的一个充分条件是（ ）A存在一条直线 b，ab，b B 存在一条直线 b，ab，bC
8、 存在一个平面 ，a ， D存在一个平面 ，a ，a13已知 ， 表示平面，a，b 表示直线，则 a 的一个充分条件是（ ）Aa ， B a =b，ab C ab，b D，a14A，b，c 为三条不重合的直线， ， 为三个不重合平面，现给出六个命题 ab ab a a其中正确的命题是（ ）A B C D15下列说法正确的是（ ）A垂直于同一平面的两平面也平行B 与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线C 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D垂直于同一直线的两平面平行16已知两条直线 m、n 与两个平面 、，下列命题正确的是（ ）A若 m，n，则mnB 若 m，m，则C 若 m，m，则D若
9、 mn，m，则n17已知直线 a，b，平面 ，则 a 的一个充分条件是（ ）Aab，b B a ， C b，a b Dab，b，a18A 是平面 BCD 外一点，E，F，G 分别是 BD，DC ，CA 的中点，设过这三点的平面为 ，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC 中，与平面 平行的直线有（ ）A0 B 1 条 C 2 条 D3 条19 （2010山东）在空间，下列命题正确的是（ ）A平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行C 垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行20 （2008湖南）设有直线 m、n 和平面 、，下列四个命题中，正确的是（ ）
10、A若 m，n，则 mn B 若 m，n ，m ，n，则 C 若 ，m ，则 m D若 ，m ，m，则 m21 （2008福建）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1=1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为（ ）AB C D22 （2008安徽）两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 m，n，则mnB 若 ，则C 若 m，m，则D若 m，n，则mn23 （2007辽宁）若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A若 m，则 m B 若 =m， =n，mn，则 C 若 ，则 D若 m
11、，m，则 24 （2007江苏）已知两条直线 m，n，两个平面 ，给出下面四个命题：mn，mn ，m，nm nmn，mn ，mn，m n其中正确命题的序号是（ ）A B C D25 （2002北京）已知三条直线 m、n、l，三个平面 a、 b、g，下列四个命题中，正确的是（ ）AB C D26已知直线 m平面 ，直线 n平面 ， “直线 cm，直线 cn” 是“直线 c平面 ”的（ ）A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件27若直线 a直线 b，且 a平面 ，则 b 与平面 的位置关系是（ ）A一定平行 B 不平行 C 平行或相交 D平行或在平面内二填空题
12、（共 3 小题）28如图：点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变；A 1P面 ACD1；DPBC 1；面 PDB1面 ACD1其中正确的命题的序号是 _ 29考察下列三个命题，在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 l，m 为不同的直线，、 为不重合的平面） ，则此条件为 _ l ， l， l30在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是棱 AB，BC ，CA 的中点给出下面四个结论：BC平面 PDF；DF 平面 PAE；平面 PDF平面 ABC；平面 PAE平面 ABC，其中所有不正确的结
13、论的序号是 _ 1.分析： 根据题意，依次分析选项：A ，根据线面垂直的判定定理判断C：根据线面平行的判定定理判断D：由线线的位置关系判断B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案解答： 解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l，m，则 lm 或两线异面，故不正确D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正确故选 B2.： 解：如图，过平行六面体 ABCDA1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有 12 条，故选 D3 3 解答：
14、 解：若“直线 l 与平面 无公共点”成立，则“ l”即“直线 l 与平面 无公共点” “l”为真命题反之，当“l”时， “直线 l 与平面 无公共点”即“l” “直线 l 与平面 无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得：直线 l 与平面 无公共点”是“l”的充要条件故选 C4 解答： 4： mn，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故 正确 n，由 m，mn 得 n 或 n，故不正确 mn，由 m，n，则 m，n 可能平行、可能相交、可能异面故 不正确 ，则 m， n 可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知 mn故正确故选 D分析： 5 根据正方体的几何特征，可以
15、判断出 AE 与 CG 相交，但不垂直，由此可以判断出 A，B 的真假，分析四边形ABC1F 中各边的长度，即可判断 C 的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出 D 的真假，进而得到答案解答： 解：由正方体的几何特征，可得 AE 丄 C1G，但 AE 与平面 BCB1C1 不垂直，故 AE 丄 CG 不成立；由于 EGAC，故 A，E，B ，C 四点共线AE 与 CG 是异面直线错误；四边形 ABC1F 中，AB BC1，故四边形 ABC1F 是正方形错误；而 AEC 1F，由线面平行的判定定理，可得 AE平面 BC1F故选 D点评：6 解答： 解：直线与平面平行，由其性质可知：这条直线与平
16、面内的任意一条直线都不相交，A 一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故 A 错误；B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故 B 错误；D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故 D 错误；故选 C点评： 此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握7 解答： 解：A、还可能有 a，所以不正确B、因为 a 不一定在 内，所以不正确C、还可能有 a，所以不正确D、，且 a 由面面平
17、行的性质定理可知是正确的故选 D点评： 本题主要考查线线，线面，面面的平行及垂直间的相互转化，一定要注意常见结论的严密性8 解答： 解：A、，又 a， a 故 A 正确；B、b，ab，若 a，则 a 不可能与 平行，故 B 错误；C、a ， ，若 a，则结论不成立，故 C 错误；D、b，a b，若 a，则结论不成立，故 D 错误；故 A 正确；点评： 此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握9 分析：
18、对于，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判定及定义；对于，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的判定定理即可解答： 解：对图，构造 AB 所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面 MNP，由线面平行的定义可得 AB平面 MNP对图，通过证明 ABPN 得到 AB平面 MNP；对于、无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选 B点评： 本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题10 解答： 解：a 与 b 可以相交，故错误； 与 可以垂直，故 错误；a，b，ab， ，故正确；a、b 在平面 内的射影互相垂直
19、，a 与 b 不一定是垂直的，有可能斜交，故错误；故选 A点评： 此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握11 解答： 解：当 b 是若 ab 时，a 与 的关系可能是 a，也可能是 a，即 a 不一定成立，故 ab a 为假命题；若 a 时，a 与 b 的关系可能是 ab，也可能是 a 与 b 异面，即 ab 不一定成立，故 aab 也为假命题；故 ab 是 a 的既不充分又不必要条件故选 D点评：
20、本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断 aba 与 a ab 的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握12 解答： 解：A、直线 a 在 内时，不正确B、直线 a 在 内时，不正确C、面面平行的性质定理知正确D、直线 a 在 内时，不正确故选 C点评： 本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面13 解答： 解：选项 A，a， a 或 a选项 B，a =b，ab a 或 a选项 C，ab， ba 或 aA、B、C 三个选项都不能排除 a，选项 D，根据线面平行的性质可知正确故选 D14 解答： 解
21、：根据平行公理可知正确；根据面面平行的判定定理可知正确；对于错在 a、b 可能相交或异面对于错在 与 可能相交，对于错在 a 可能在 内故选：C点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解，属于综合题15 分析： 垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论解答： 解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故 A 不正确，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故
22、 B 不正确，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故 C 不正确，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选 D16 解答： 解：对于 A，若 m，n，则 m，n 可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于 B，若 m，m，则当 m 平行于 ， 的交线时，也成立，故不正确；对于 C，若 m，m，则 m 为平面 与 的公垂线，则 ，故正确；对于 D，若 mn，m，则 n，n 也可以在 内故选 C点评： 本题考查空间中直线和平面的位置关系涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线当然也可以用面面平行来推导线面平行17 解答： 解：A：a
23、b，b，则 a 与平面平行或在平面内，不正确B：a ，则 a 与平面平行或在平面内，不正确C：b，ab，则 a 与平面平行或在平面内，不正确D：由线面平行的判定理知，正确故选 D点评： 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题18解答： 解：取 AB 的中点 H，连接 HE、EF、FG、GH平面 HEFG 为平面 其中 AB、BD 、CD 、AC 都与平面 相交E、F 是 BD、CD 的中点EFBC，而 EF，BCBC平面 同理可证 AD平面 故选 C点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，
24、属于基础题19 解答： 解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A 错误平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B 错误垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C 错误故选 D20 分析 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D；由面面垂直的性质定理判断 C解答： 解：A 不对，由面面平行的判定定理知， m 与 n 可能相交；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线；故选 D点评： 本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题21 分： 由题意连接 A1C1，则AC 1A1 为所求的角，在
25、AC1A1 计算解答： 解：连接 A1C1，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，A 1A平面 A1B1C1D1，则AC 1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角在AC 1A1 中，sinAC 1A1= = = 故选 D22 分析： 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若 m，n ，m，n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；若 ，则 ，则 、 可以相交也可以平行，故 B 不正确；若m，m，则 ，则 、 可以相交也可以平行，故 C 不正确；m，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；故 D 答案正确；分析即可得到结论解答： 解：m，n 均为直线，其中 m，n 平行 ，
26、m ，n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；若 ，则 ，则 、 可以相交也可以平行，故 B 不正确；若 m，m，则 ，则 、 可以相交也可以平行，故 C 不正确；m，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选 D23 分析： 对于选项 A 直线 m 可能与平面 斜交，对于选项 B 可根据三棱柱进行判定，对于选项 C 列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于 D 根据面面垂直的判定定理进行判定即可解答： 解：对于选项 D，若 m，则过直线 m 的平面与平面 相交得交线 n，由线面平行的性质定理可得mn，又 m，故 n ，且 n，故由面面垂直的判定定理可得 故选 D点评： 本题主要考查了空间中
27、直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题24 解答： 解：用线面垂直和面面平行的定理可判断正确；中，由面面平行的定义，m ，n 可以平行或异面；中，用线面平行的判定定理知，n 可以在 内；故选 C点评： 本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题25 分析： 利用墙角知 A 不对，线面平行和垂直的定理知 B 不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来判断出 C 和 D解答： 解：A、 与 可能相交，如墙角，故 A 错误；B、可能 l，故 B 错误；C、由面面平行的判定定理知，m 、n 可能相交，故 C 错误；D、由线
28、面垂直的性质定理知，故 D 正确故选 D点评： 本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了定理的运用能力和空间想象能力26： 由线面垂直的定义，当直线 c平面 时，c 与 中的任意一条直线都垂直，即“直线 c平面 ”“直线cm，直线 cn”为真命题，但反之，当“直线 cm ，直线 cn”时，直线 c平面 不一定成立，根据充要条件的定义，易得答案解答： 解：若直线 cm，直线 cn 成立则当 m，n 相交时，直线 c平面 成立，当 m，n 平行时，直线 c平面 不一定成立故“直线 cm，直线 cn” “直线 c平面 ”为假命题若直线 c平面 成立则 C 垂直
29、平面 的每一条直线故“直线 c平面 ”“直线 cm，直线 cn” 为“直线 cm，直线 cn”真命题故“直线 cm，直线 cn” 是“ 直线 c平面 ”的必要而不充分条件故选 B点评： 判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则
30、，判断命题 p 与命题 q 的关系27 分 由直线 a直线 b，且 a平面 ，知直线 b平面 或直线 b 在平面 内解答： 解：直线 a直线 b，且 a平面 ，直线 b平面 或直线 b 在平面 内故选 D点评： 本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化28 分析： 如右图，对于，容易证明 AD1BC 1，从而 BC1平面 AD1C，以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，易得；对于，连接 A1B，A 1C1 容易证明平面 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得；对于，由于 DC平面 BCB1C1，所以 DCBC 1 平面，若 D
31、PBC 1，则 DC 与 DP 重合，与条件矛盾；对于，容易证明 PDB1面 ACD1，从而可以证明面面垂直解答： 解：对于，容易证明 AD1BC 1，从而 BC1平面 AD1C，故 BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等，所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥 AD1PC 的体积不变；正确；对于，连接 A1B，A 1C1 容易证明 A1C1AD 1 且相等，由于知：AD 1BC 1，所以 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得；正确；对于由于 DC平面 BCB1C1，所以 DCBC 1 平面，若 DPBC 1，则 DC 与 DP 重合，与条件矛盾；错误；对于
32、，连接 DB1，容易证明 DB1面 ACD1，从而由面面垂直的判定知：正确故答案为：点评： 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想29 分析： 根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的三个命题，即可得到答案解答： 解：体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面 外的直线”，即“l”它同样适合，故填 l故答案为：l点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答本题的关键30 专题： 综合题。分析： 正四面体 PABC 即正三棱锥 PABC，所以其四个面都是正三角形，应该联想到“三线合一” 平面条件为空间问题提供素材解答： 解：由 DFBC 可得 BC平面 PDF，故正确BCPE ，BCAE BC面 PAE，DFBCDF平面 PAE，正确根据正四面的定义 P 点在底面的射影是底面ABC 的中心 O，有平面几何知识，O 点不在 DF 上，故错在的基础上，DF面 ABC，由面面垂直的判定定理， 正确故答案为：点评： 本小题考查空间中的线面关系，用到了正三角形中“三线合一 ”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，平面问题空间问题相互转化的能力
