1、一个飞行管理问题模型 2 建立在约 10000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时, 记录其数据后,要立即 计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞 ,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞.现假设条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km;2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度;3)所有飞机飞行速度均为每小时为 800km;4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离
2、应在 60km 以上;5)最多考虑 6 架飞机;6)不必考虑飞机离开此区域后的状况;对以下数据进行计算(方向角误差不超过 0.01 度), 要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小 .飞机编号 横坐标 纵坐标 方向角（度）1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注: 方向角指飞行方向与 x 轴正向的夹角一、分析在模型 1 的非线形规划模型是比较困难的，输入之后也很可能无权找不到好的解甚至出现错误，此外，演示软件还会受到求解规模的限制，尤其可能无权使用全局求解程序。因此，如果能把这个问题简单化成
3、简单的规划模型，将是非常有价值的。下面就建立模型二。二、模型的建立如图 1，把两架飞机 i,j 分别看成半径为 4km 的圆（图中 i,j 为圆心） ，AB， CD 为公切线，将 AB 和 CD 的夹角的一半称为碰撞角。在调整时刻，设第 i 架飞机与第 j 架飞机的碰撞角为，则易知其中 r ij 为当前这两架飞机连线的长度（距离） 。 因为飞机的距离大于 8km 就不会相撞，所以如果这两个圆随着时间推移不相交就可以了。为此，考虑第 i 架飞机相对于第 j 架飞机的相对速度（矢量，图中记为 Vij）是比较方便的，因为相对速度的大小和方向在飞机飞行中会始终保持不变（除非调整飞行角度） 。社 Bij
4、 为调整前的相对速度 Vij 与这架飞机连线（从 i 指向 j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针为负） ，则 Bij=-Bji。具体来说，应该计算如下：注意：标准的反正切函数的符号是 arctan,返回主值；我们这里使用arctan2 表示一个特殊的返回四象限辐角的反正切函数，即 arctan2(b,a)返回,8sin1ijijr向量（a,b）的 - 到 之间的辐角（或者是返回 0 到 2 之间也是可以的） 。即使这样，也还能完全满足要求，因为这样的到 ij图 1：第 i 架飞机与第 j 架飞机的碰撞角取值位于-2 到 2 之间的，还需要将它转换到- 到 之间才行（超过
5、 时 就剪去 2 ，小于 - 就加上 2 ） 。从图中可以看出（注意图中的两条辅助线 in/CD、im/AB） ，两架飞机i，j 不相撞的冲要条件是（实际上不只是在所考虑的区域内不相交，而是永远不相交）| |ijij如果调整前这个关系式成立，则不需要调整。否则，仍用 表示第 i 架飞机飞i行方向角的调整量，并记由此引起的 的改变量 。现在，问题的关键是如何弄清 如何和ijij ij变化。可以证明i下面利用复数的知识证明上式 证明 由题知| |=800km=A.设改变前的速度分别为 = , ivivieA,改变方向后速度分别为 jijev=A=A ， =A2i()ii2jv()jjie改变前相对
6、速度= - =A（ - ）,ijvijiej改变后相对速度= - =A - ，ijv2i2iv()iie()jjie= ijijv()() jjii jiiiAee= ()2sin2i ijiijjije即 和 辐角相差 .ijvij 2ij因此,可以得到如下的数学规划模型: .6,1,30 ,)(.21612 i jijitsMini ijjiijii参考文献：1 谢金星 薛毅， 优化建模与 LINDO_LINGO 软件 ，北京：清华大学出版社，2005 年2 姜启源 谢金星 叶俊， 数学模型 （第三版） ，北京：高等教育出版社，2003 年3 朱道元， 数学建模案例精选 ，北京：科学出版社，2003 年
