1、海南大学第四届数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了海南大学数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/中选择一项填写）： C.1 我们的参赛报名号为（按报名顺序填写的号码）
2、： 1 参赛队员：1. 队长姓名： 王 磊 所在班级： 06 食质 联系方式： 13698941902 2. 队员姓名： 王 许 所在班级： 06 经管 联系方式： 13698942365 3. 队员姓名： 所在班级： 联系方式： 日期： 2009 年 4 月 14 日一、问题重述在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞
3、机的飞行方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：(1) 不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里；(2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度；(3) 所有飞机的飞行速度均为每小时 800 公里；(4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里以上；(5) 最多需考虑 6 架飞机；(6) 不必考虑飞机离开此区域后的情况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01 度） ，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域 4 个顶点的坐标为（0，0） ， （160，0） ， （160，160） ， （
4、0，160） 。记录数据为：飞机编号 横坐标 纵坐标 方向角（度）1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注：方向角指飞行方向与 x 轴正向的夹角。二、问题分析此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过 8km，各飞机飞行角度调整的值不超过 30为约束条件。如此得出的是一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。三、符号说明表示表示时间；t分别表示第 架飞机的横纵坐标（问题中已给出） ；,ixyi表示第 架飞机的飞行方向角（问题中已给
5、出） ；i表示 时刻第 架飞机与第 架飞机间的距离；()ijdtij表示飞机的飞行高度（ ） 。v80v四、模型的建立由题意可知，目标函数是621iif约束条件为和 20min64ijijtDd,26,6ijij其中2 2()(cos)cos()ijijiijjtxvtnnijiijjy利用微积分的知识可求出 ，由ijD2()0ijdattb这里 ()cos()cos()ijiijjaxnnijiijjy2(cs)cs()iijjbviijj将 代入即可求出 。于是本问题的一个数学模型为tijD621mn.4,1,66iiijifst ijij引入记号：， ， （g 是由 按16,T 15(,
6、)Tg 4ijD构成的向量，在下面的程序中计算） ，则模型变为,2ijij min.0Tfstgvlbvub其中 ， 。1,6Tvlb1,6Tvub五、模型的求解调用 Matlab 命令 fmincon 求解，先写两个 M 函数 airfun.m 和 airfunco.m 如下：M 函数 airfun.mfunction f=airfun(delta)f=delta*delta;M 函数 airfunco.mfunction c,ceq=airfunco(delta)x0=150 85 150 145 130 0;y0=140,85,155,50,150,0;alpha0=243 236 22
7、0.5 159 230 52*pi/180;v=800;co=cos(alpha0+delta);si=sin(alpha0+delta);for i=2:6for j=1:i-1t(i,j)=(x0(i)-x0(j)*(co(i)-co(j);t(i,j)=t(i,j)+(y0(i)-y0(j)*(si(i)-si(j);t(i,j)=-t(i,j)/v;t(i,j)=t(i,j)/(co(i)-co(j)2+(si(i)-si(j)2);if t(i,j) deltaini=zeros(1,6); vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6; options=optimset(LargeScale,off); dt,fval=fmincon(airfun,deltaini,vlb,vub,airfunco,options); d1=dt*180/pi,fval=d1*d1d1 =0.0000 0.0000 2.0683 -0.4896 -0.0055 1.5611fval =6.9547六、模型的检验及推广（略）
