1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
2、 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 AB=|1Ax|2BxA(1，+) B( ，2)C (1，2) D 2设 z=i(2+i)，则 =zA1+2i B1+2iC 12i D1 2i3已知向量 a=(2，3) ，b=(3，2)，则|a b|=A B22C 5 D504生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为A B335C D25 15在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互
3、不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)= ，则当 x0)两个相邻的极值点，则 =4sinA2 B 32C 1 D 19若抛物线 y2=2px（p 0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=23xypA2 B3C 4 D810曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为A B 10210xyC D2xy11已知 a（0， ），2sin2=cos2+1，则 sin=A B15 5C D3 2512设 F 为双曲线 C： （a 0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF
4、21xyb为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点若| PQ|=|OF|，则 C 的离心率为A B2 3C 2 D 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若变量 x，y 满足约束条件 则 z=3xy 的最大值是_.2360xy，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.16中国
5、有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有 _个面，其棱长为 _（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（ 1
6、2 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE EC 1.（1 ）证明：BE 平面 EB1C1；（2 ）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积1EBC18（ 12 分）已知 是各项均为正数的等比数列， .na132,16a（1 ）求 的通项公式；n（2 ）设 ，求数列 的前 n 项和.2lognnbab19（ 12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表 .的分组y0.2,)0,.2)0.2,4)0.,6)0.,8)企业数
7、 2 24 53 14 7（1 ）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2 ）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附： .74860220（ 12 分）已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原12,F2:1(0)xyCab点（1 ）若 为等边三角形，求 C 的离心率；2PO（2)如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取12F12PF值范围.21.（ 12 分）已知函数 .证明：()1lnfxx（1 ） 存在唯一的极值点；f（2 ） 有且
8、仅有两个实根，且两个实根互为倒数 .()=0fx（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过0(,)M:4sinC点 且与 垂直，垂足为 P.(4,0)A（1 ）当 时，求 及 l 的极坐标方程；0=30（2 ）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 .23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ()|2|().fxaxa（1 ）当 时，求不等式 的解集；0f（2 ）若 时， ，求 的取值范围.(,
9、1)x()fxa1 C 2D 3A 4B 5A 6D7 B 8A 9D 10C 11B 12A13 9 140.98 15 1642117解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1，故 .1BE又 ，所以 BE平面 .11E（2 ）由（1 ）知BEB 1=90.由题设知 RtABERt A1B1E，所以，故 AE=AB=3， .145AEB126作 ，垂足为 F，则 EF平面 ，且 .1F1C3F所以，四棱锥 的体积 . 1EBC368V18解：（1）设 的公比为q，由题设得na，即 .2416q280解得 （舍去）或q=4.因此 的通项公式为 .na124nna
10、（2 ）由（1 ）得 ，因此数列 的前n项和为2()lognbb.319.解：（1 ）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 .14702产值负增长的企业频率为 .用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21% ，产值负增长的企业比例为2%.（2 ） ，1(0.2.140.35.014.7)0.3y5221isny22222(0.4)(0.)4530.14.07 ，=0.296，.0.274.1s所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20.解：（1 ）连结 ，由 为等边三角形可知在 中
11、，1PF2O 12FP， ， ，于是 ，故290F2c13c2(31)ac的离心率是 .C3ea（2 ）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ，(,)Pxy1|26yc， ，即 ，1yxc21xyab|6c，22，21xyab由及 得 ，又由知 ，故 .22c42by216yc4b由得 ，所以 ，从而 故 .22axcb2cb223,a42a当 ， 时，存在满足条件的点P.4b所以 ， 的取值范围为 .a42,)21.解：（1 ） 的定义域为（0，+ ）.()fx.1lnlf x因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，lyxy()fx(1)0f，故存在唯一 ，使得 .1ln4(2)
12、l02f0(1,2)x0fx又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递0x()fx()f 0()f()f增.因此， 存在唯一的极值点.()fx（2 ）由（1 ）知 ，又 ，所以 在0(1)2ff2e30f()0fx内存在唯一根 .0,xx由 得 .010又 ，故 是 在 的唯一根.1()ln0ff 1()0fx0,x综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.()0fx22解：（1）因为 在C上，当 时， .0,M0304sin23由已知得 .|cos23OPA设 为l上除P的任意一点.在 中 ，(,)QRtOPQ cos|23OP经检验，点 在曲线 上.(2,)3cos23所以，l的极坐标方程为 .cs（2 ）设 ，在 中， 即 (,)PRtOAP |cos4,A4cos因为P在线段OM 上，且 ，故 的取值范围是 .M,2所以，P点轨迹的极坐标方程为 .4cos,4223解：（1）当 a=1 时， .()=|1 +|(1)fxx当 时， ；当 时， .x2()0f0fx所以，不等式 的解集为 .fx(,1)（2 ）因为 ，所以 .()=0fa当 ， 时， .1,x()= +(2)=()10fxaxax所以， 的取值范围是 .a1,
