1、1第四节 二次根式考点概览1掌握二次根式、最简二次根式的概念，能根据这些概念解决实际问题2掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质把二次根式化简成最简二次根式同时能根据二次根式的非负性求字母或代数式的值3.能识别最简二次根式、同类二次根式。4掌握二次根式的运算法则，能灵活运用这些法则进行计算以及化简求值知识梳理考点 1：二次根式的有关概念1二次根式：形如 ( 0)的式子叫做二次根a式温馨提示：二次根式的判断需要两个条件：带根号这里特指二次根号，通常情况下简写为“ ”；被开方数是非负数2最简二次根式：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开
2、得尽方的因数或因式温馨提示：最简二次根式的判断依据：被开方数不含分母；被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数 2，即每个因数或因式的指数都为 1.二次根式化简的结果必须是最简二次根式或整式或分式 3.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果 相同，那么这几个二次被 开 方 数根式就叫做同类二次根式.考点 2 二次根式的性质 4.( )2=a(a0)a5. =|a|=a2 a(a0)；-a(a 0)6. = (a0，b0) ab a b7. = (a0，b0) 温馨提示：化简二次根式的技巧在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略，化简二次根式主要有以下类型：被开方数
3、为整数当被开方数是整数时，直接按照积的算术平方根的性质化简即可被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方被开方数是带分数因为是带分数，不能直接进行开方运算，因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式(即将单项式写成 (am)2 或(a m)2b 的形式)，然后再开方被开方数为数的和(或差)形式当被开方数为数的和(或差)形式时，先求出被开方数的和(或差)，再进行化简被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方，切莫直接各自开方如本题直接各自开方得 2x2y +2x2y x 3y
4、被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算考点 3 二次根式的运算8二次根式的加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并二次根式。 同 类9二次根式的乘法： = (a0，b0)a b ab10二次根式的除法： = (a0，b0) 。11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、惩罚对假发的分配率，以及多项式的乘法公式，都是用于二次根式运算。基础自测21 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围( 3aB )Aa3 Ba3 C a-3 Da-32下列二次
5、根式中，最简二次根式是( C )A B C D0.5 5 503计算 =( A )10 2A B5 C D54下列计算正确的是( A )A B + 8 2 2 2 3 5C 6 D 42 3 8 25当 x=8 时，二次根式 的值为( A )1+xA3 B-3 C3 D 36下列等式一定成立的是( B )A B 9 4 5 5 3 15C 3 D =99 (9)27若二次根式 有意义，则 a 的取值范围为 a5a5 8计算 的结果是 2 209若 m2，化简 = m-2 (2m)210计算：(2- )(2+ )= 1 3 3考法探究考法 1 二次根式有意义的条件【例 1】(2014 铜仁市)代
6、数式 有意义，则 x 的取值范围是( )Ax-1 且 x1 Bx1Cx1 且 x-1 Dx-1【解析】根据题意得 x+10且 x-10，解得 x-1且 x1【答案】A【归纳总结】解答这类问题时，主要根据：分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，通过不等式求得取值范围【类题训练】1(2015中考预测) 使 有意义的x 的取值范围是( A )Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【点拨】根据题意得：2x-4 0，解得：x2考法 2：二次根式 (a0)的双重非负性a【例 2】(2014 张家界)若 +(y+2)2=0，则(x+y)x12014 等于( )A-1 B1 C32014 D-3201
7、4【解析】 +(y+2)2=0，x1 解得x-1 0，y+2 0，) x 1，y 2，)(x+y)2014=(1-2)2014=1【答案】B【归纳总结】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式( 算术平方根)当几个非负数的和为 0 时，必须满足其中的每一个非负数都等于 0【类题训练】2(2015中考预测) 已知 x y 是实数，+y2-6y+9=0，则 xy 的值是( B )3x+4A4 B-4 C D-94 94【点拨】原式可化为： +(y-3)2=0，3x+4则 3x+4=0，x=- ；y-3=0，y=3；xy=- 3=-443 43考法 3：二次根
8、式的化简【例 4】把下列二次根式化为最简二次根式： ； 1200【解析】将被开方数 1200 分为 4003，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果；根据 = ，进而化简求出即可【答案】 = = =20 1200 4003 400 3 3 = = = 3【类题训练】4(2015中考预测) 化简： ； 81x2y3解： =9xy 81x2y3 y = = = 【例 5】化简： (3a4)a26a+9 (a4)2【解析】先将 a2-6a+9 整理成(a-3) 2 的形式，再根据二次根式的性质解答【答案】：3a4，原式 =|a-3|-|a-4|=(a-3)-(4
9、-a)=2a-7【归纳总结】解答此类问题，先根据题目所给条件确定式子的符号，然后再根据化简二次根式或绝对值的法则进行【类题训练】5(2015中考预测) 已知-1a2，化简 (a+1)2 (a2)2解：根据已知条件，可知 a+10，a-20，再根据二次根式的性质： =|a|进行计算a2-1 a 2，a+10，a-20 =a+1+a-2=2a-1(a+1)2 (a2)2考法 4：二次根式的运算【例 6】计算： ( -4 - )；2 48 12 + 6 2 24 3 48【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算；根据二次根式的乘除法法则计算 和 ，然后合并被开方数相同的二6 2 24 3次
10、根式即可解：原式= (4 2 )2 3 2 3= (2 )=2 -22 3 2 6原式= + -4 =2 +23 2 2 4 2 3 3 3 3-4 = 2 3 3【归纳总结】在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式，然后按照运算顺序进行运算即可【类题训练 5】 (2015中考预测) 计算： +( 1)2；27 2(5+3 )(5 2 )；2 3(3 1)(3 +1)(3 1)22 2 2【解析】先乘法运算，运用二次根式的乘法法则，仿照差的完全平方公式进行运算；可以类比多项式乘以多项式的法则进行计算，然后合并被开方数相同的二次根式；根据平方差和完全平方公式进行计算即可解：原式=
11、 +2-2 +1=3 +3-2 =3+ 2 2 2 2原式=25 -10 +15 -62 3 2=25 -10 +10 -6 =19 2 3 3 2 2原式=(3 )2-12-(3 )2-6 +1)2 2 2=18-1-(18-6 +1)=18-1-18+6 -1=6 -22 2 2真题试练43(2013红河州 )计算 的结果是( B )(3)2A-3 B3 C-9 D9【点拨】原式利用二次根式的化简公式可得，原式=|-3|=35. (2013长沙) 计算： - = 8 2 2【点拨】原式=2 - = 2 2 26(2014福州 )计算：( +1)( -1)= 1 2 2【点拨】( +1)(
12、-1)=( )2112 2 27(2014黄冈 )计算： - = 12【点拨】原式=2 - = 38(2014青岛 )计算： =2 +12【点拨】原式= + =2 +1 210511(2014大连 ) (1- )+ +( )-1 3 3 1213解：原式= -3+2 +3=3 3 3 3综合测评 一、选择题1(2014达州 )二次根式 有意义，则实数2x+4x 的取值范围是( D )Ax-2 Bx-2 Cx 2 Dx2【点拨】由题意得，-2x+40，解得 x22下列式子中二次根式的个数有( B ) ； ； - ； ；-3 x2+1 38 ； (x1) 1-xA2 个 B3 个 C 4 个 D5
13、 个【点拨】根据二次根式的意义和性质：被开方数必须是非负数，可知、是二次根式；、的被开方数是负数，二次根式没有意义，不是二次根式；是三次根式是二次根式的有三个4若|x-2y|+ =0，则 xy 的值为( A )y+2A8 B2 C5 D-6【点拨】首先根据非负数的性质，可列方程组求出 x、y 的值，再代入 xy 中计算即可由题意，得： 解得x2y 0，y+2 0，) x 4，y 2，)所以 xy=(-2)(-4)=86如果 12a ，则 ( B )(2a1)2Aa Ba Ca Da12 12 12 12【点拨】 12a，1-2a0，解得 a (2a1)2127设 =a， =b，用含 a，b 的
14、式子表示 ，2 3 0.54则下列表示正确的是( A )A0.3ab B3abC0.1ab 2 D0.1a 2b【点拨】 =0.3 ，0.54 0.0923 2 3又 =a， =b， =0.3ab2 3 0.54二、填空题(每小题 7 分，共 28 分)10. .已知二次根式 与 是同类二次根式，24a则 a 的值可以是_3_.(写出一个即可 ). 点拔：答案不唯一，如 3 满足 2a -4=2k2(k 为任意有理数)均可.11定义运算“”的运算法则为： xy= ，xy+4则(26)8= 6 【点拨】xy= ，xy+4(26)8= 8=48= =626+4 48+46三、解答题13. .计算
15、- + 483124解：原式= - +2 =4 - +26=4+ .614.化简：2a 6ab (b0)； 23ab16b 37a解：原式=2ab ab 2ab = ab12 12.3a16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ，35， 一样的式子，其实我们还可以将其321进一步化简： ； ； 553236 = -1.132） （ ）（ 12）（ ）（以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：= = = =13213)(213)(. (1)请用不同的方法化简 ；352(2)化简： + + +1371+ .2n解： (1)解法一： =35= =)(35(222)(.解法二： = =352= =)(22)35)(.3(2)原式= +)35()1(+57)( )12)(12( nn= =3521.n7
