1、高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 2.2 本征函数和本征值的计算 我们讨论 Schr 方程的定态解，则解方程odingerHE = ，这个方程的求解可以直接由矢量求解，也可以在某一表象中求解。以一维振子问题为例分几种情况讨论。对一维振子问题，其哈密顿为 221122Hpmm=+2x 1 直接矢量计算 引入两个辅助算符： ()12bpimmx=h， ()12imxmbp+=+h， 显然有 ()22221,2bb p m x im p xm+=+h()222211pmxm Hm1 =+=+hhhh, 同理可得 =+hh 211Hbb 。 Q ()1
2、2Hbbb+=+h ,1bb bb bb+， = =, ()112122Hbb b+=+=hh+。 由此可以看出 ，且,0Hbb+=( )bb bb+ += ，所以 H 与厄米算符 b 有共同的本征矢。设 b 的归一化本征矢b+b+ 的本征值为 ，则有 bb += ， Q 2bb b b b +=， 为大于等于零的实数，用 b 作用于 式有 ()1bb b b b b b +=+ = ， ( ) ( )()1bbb b += ， 由此可知 b 也是 的本征矢，其本征值为 bb+1 ，而模为 ，所以 1b =， nnbn+= 21)1()1( L ，),2,1,0( L=n1高等量子力学讲义（研
3、究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 因此 b 为下降算符，若 为 bb+的本征值，则 0n 也是 bb+的本征值，而00b = ，因此 b 的本征值b+只有是非负整数时，才能保证 b 是下降算符时nb 得出的态中没有 bb+的本征值为负值的本征态。所以有 0,1,2. = 。 考察用 b 作用于式两边： +()( )11bbb b bb bb b b + + + + + +=， ()()1bbb b + +=+ ， 由此可以看出 b +也是 b 的本征矢，其本征值为b+1+ ，而 ( )211bbb b + += =+， 11b +=+， 由此可知 b+是上升算符。
4、 1122Hbb + =+=+ hh， 由于 是非负整数，所以习惯上用 n 代替 ，即 nnnH )21( += h，L,2,1,0=n， 所以得到本征值：12nEn=+h ， 本征矢为： 111 0 , 2 1 , 1 ,21bbnn+= +=+bn 而 00b = 。 我们将 H 的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中（占有数表象）各算符的表示， b 和 b+矩阵元为 ,11mn m nbmbnmnn n= =， ,111 1mn m nbmbnmnn n+=+=+。 2高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 0 1 0 0 .0
5、0 2 0 .0 0 0 3 .b=MM M M，0 0 0 0 .1 0 0 0 .0 2 0 0 .b+=MMMM， 00000 1 0 0 .0 0 2 0 .bb+=MMMM，10 0 0 .230 0 0 .250 0 0 .2H =hMMMMM（注意序号排列按 0,1,2,3,次序）。所以本征矢矩阵形式为 1000=M，0110=M，002 ,1=M。 Q ()2x ibm+=hb，()2mp bb+=+h， 120 1 0 0 .1 0 2 0 .0 2 0 3 .20 0 3 0 . . . . .xim=h，120 1 0 0 .1 0 2 0 .0 2 0 3 .20 0
6、3 0 . . . . .mp=h。 可以将此结果取 x表象，在 x 表象中 ： x x= ， pix=h ， 而本征态的波函数为 ()nx xn = ， 而 11bn n n+=+， 00b = ，只要求出 ( ) )00x x = ，就可求出 ()nx ，在x表象中有： 12122idbpimxmd =+h，2iddb += +， 其中 x = ，m =h。解 00b = ，所以 3高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 ()002idd +=， 解得：()24120me =h， 再由 11bn n n+=+，可逐项求出( )n ，最后得 ()(
7、)()24122!nnnnimeHn =h， 其中22)1()(= eddeHnnnn为汉克函数， 1, 1,2,2nEn n=+ =h 。 ()n的通式可由数学归纳法证明： 设 ()()()24122!nnnnimeHn =h，则有24120me=h满足左式，() ()11nnbn +=+，2idbd+=+，则有 ()()()()()() ()222 241214111 111212!21!nn nnnnn nniimeHdnnimdeHe H eHdn + +=+ hh。()()()() () ()22 222 24111 1 111121221!nnnnnnnnieH e e e e e
8、 eddn 2d + +=+h()()()()()()=2 2224 41 11 1112 2111 1121! 21!n nnnnnn niimd meee eHd + + + +hh成立。 2. 在能量表象中计算 Q ,HxH ip=h ，,HHp ix=h ，221122Hpmm=+2x， ()1HpxHHxpmi= h， ()21Hmx HppHxi= h， 4高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 在能量表象中， H 矩阵为对角矩阵，其矩阵元可写成ij i ijHE= ，其中重复脚标并不表示求和，将上式写成矩阵元式为： Q ()()()11
9、 1 1ij il lj il lj il l lj i il ljijllp xH Hx xH Hx xE E xmi i i= = hh h()()1ij j i ij i j ijix EEx EExi=hh， ()()211ij il lj il lj i il lj il l ljllmx Hp pH Ep pEii = hh()()1iij ij j i j ijiEp pE E E pi=hh， ()()2100ijij ijij i j ijiEEx pmimx EEp=+ =hh， 对矩阵元ijx 和ijp 只有在系数行列式为零时才有非零解，即 ()()210ijijiEEm
10、imEE=hh，得到只有( )22()ijEE =h 时ijx 和ijp 才有非零解，否则为零。这表明只有当 H 的本征值以差 h 的间隔取等间距分立数值时矩阵才不为零。设 x和p()iEi =+h ，其中 ，并按小到大排列， 01 2, 1,0,1,2,i = 。 相邻本征值相差 h ， 于是对 的矩阵元只有当行标和列标相差 时矩阵元才不为零。 x和p 1 ( ),1 ,1ij ij j i j ipp+=+， ( ),1 ,1ij ij j i j ixx+=+， 将() ()2ij i j ij ijimx EEp iijp= = h代入哈密顿矩阵元有： () ()()()()12221
11、1 1122 2211,2ij iij ikkj ikkj ikkj ikkjkik kjkH E pp m xx pp m i k k jppmmpp i k k jm = + = + = 5高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 将 代入得 (),1 ,1ij ij j i j ipp+=+()()()()()() ()()()() ()()(),1 ,1 , 1 , 1,1 , 1 ,1 , 1,1 , 1 ,1 , 1,1 1, ,2112112111112iij ik ki ki kj jk jkkik kj ki jk ki jkkki
12、jk ki jkii i j jiEp p ikjmpp ikk j ikk jmikk j ikk jpp ii im + + + + +=+ = + +=() ()()()() ()(),1 1, ,1 1, , ,1 1, ,2,1 1, ,1 1,111111 11112 2 2ii i j jiii i j ji ii i j jiii i i ii i i ijj pp ii i jpp ii i j pp ii i jpp ppm+ + + + + + =+。 ()(),1 1, ,1 1,1ii i i ii i i ipp pp E im +=+h 。 Q p p+= ， *
13、,1 1,ii i ip p= ， 则有 (221, , 1ii iippmi) +=+h ，则 ， 0i 设,1iipci+=+， 其中 c 与 为待定常数，代入上式得 ()() (221ci ci m i) + + + = +h ，()(2212ci mi) += +h ， 比较得当2 12cm= h ，12=+时满足上式时（取12cm= h ） ， ,1122iimpi+=+h+， 上式中 ，所以表达式中 的矩阵元应为零，取0i 0i 0i = 代入上式方程时，有221,0 0,1ppm+=h ，则20,1pm= h ，1122mm +=hh， 12 = 。 最后得,1112nnp mn
14、+=+h ， ， *,1 1,nn n npp= ,1 1,12nn n np pm=h n， 由此可求出 (),1 1 ,1212nn n n nnix EE p i nmm+= = +hh，,12nnx inm=h， 6高等量子力学讲义（研究生用） 2.2 本征函数和本征值的计算 河北师范大学 刘建军 12nEn=+h(22,1 ,11nnnnEppm+ =+ )。 x和 p 的矩阵表示与直接矢量计算的表示相同。 x 表象中计算 3.在在 x 表象中可将 pixh ， x x ，解方程 () ()22222122dmx x E xmdx + =h， 这个方程的解是我们在量子力学中已研究过的，它的解同前面已经得出的一样。 4.在动量表象中计算 在动量表象中， p p ， xiph ，则解 () ()22222122pdmyEmdp=h y， 这个方程可通过令 p my= ，把方程化为 () ()22222122dmy y E ymdy+ =h显然有： () (22122!ynnn)y eHyn= ，其中m =h， 这个解是对 y 积分归一，若化成对 p 归一则得出 ()2411211 12!pmnnp eHmnm=hhhp。 7
