1、定义： 把一个 多项式 化为几个最简 整式 的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 （也叫作分解因式）。 意义： 它是中学数学 中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式 四则运算 ，又为学习 分式 打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。 方法 因式分解没有普遍的方法，初中数
2、学教材中主要介绍了提公因式法 、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法， 分组分解法 和十字相乘法 ， 待定系数法 ， 双十字相乘法 ， 对称多项式 ，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法 ，短除法，除法等。实际上经典例 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y
3、)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把简单的问题复杂化） 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1） 归纳方法：北师大版八下课本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。 9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。 基本方法 提公因式法 各项都
4、含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式 。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法： 当各项 系数 都是整数 时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数 ；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数 时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数 ，分子为各分数分子的最大公约数（ 最大公因数 ） 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一
5、次要提净；全家都搬走，留 1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式 反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法 。 平方差公式 : (a+b)(a-b)=a2-b2 反过来为a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 ：(a+b)2=a2+2ab+b2 反过来为a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注意：能运用完全平方公
6、式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 两根式 ：ax2+bx+c=a(x-(-b+(b2-4ac)/2a)(x-(-b-(b2-4ac)/2a) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a33a2b+3ab2b3=(ab)3 公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2。 分解因式技巧 1。 2.分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分
7、解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
8、 竞赛用到的方法 分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，
9、和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 十字相乘法 这种方法有两种情况。 x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是
10、两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2) kx2+mx+n 型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么 kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d) 图示如下： ac bd 例如：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 因为 7 2 1 -3 -37=-21，12=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 拆项、添项法 这种方法指把多项
11、式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方
12、式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法 。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a 例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3) 注意： 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高
13、次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 相关公式 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1) 也可以参看右图。 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，xn，则该多项式
14、可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0， 则通过综合除法 可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1 所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y
15、=x3; +2x2 -5x-6. 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x
16、+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式 ，因而只能分解为两个二次因式。 于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 相关公式 =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得a=1，b=1，c=-2
17、，d=-4 则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4) 也可以参看右图。 双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 x 3y 6 原式=(x+2y+2)(x+3y+6) 双十字相乘法其步骤为： 先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图
18、中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y+18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。 利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a0) aX2+bX+c=aX2+(b/a)X+(c/a)X. 当=b2-4ac0时， =a(X2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法
19、来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项） =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方） =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y
20、)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)
21、(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c是ABC的三条边， a+2b+c0 ac=0， 即a=c，ABC为等腰三角形。 4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n
22、+1)-6xny(n-1)分解因式。 解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) =-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1) 四个注意 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例1 把a2b2+2ab+4分解因式。 解：a2b2+2ab+4=（a22ab+b24）=（ab+2）（ab2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x2+4y2=（3x）2（2y）2=（3x+2y）（3x2y）
23、=（3x2y）（3x+2y）的错误 例2把12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1分解因式。解：12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1=6xnyn1（2xny3x2y2+1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其 中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如 4x4y25x2y29y2=y2
24、 （4x45x29） =y2（x2+1）（4x29）的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数！ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。 初学因式分解的“四个注意” 因 式分解初见于九年义务教育三年制初中教材代数第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则 运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运
25、算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起 师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把a2b22ab4分解因式。 解：a2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x24y2（3x）2（2y）2（3x2y）（3x2y）（3x2y）（3x2y）的错误? 膊荒芗 汉啪拖取疤帷保 匀 饨 蟹治
26、觯?/p 如例2 abc的三边a、b、c有如下关系式：c2a22ab2bc0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三条边，a2bc0，ac0， 即ac，abc为等腰三角形。 例3把12x2yn18xn2yn16xnyn1 分解因式。解：12x2nyn18xn2yn16xnyn16xnyn1（2xny3x2y21） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某
27、个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x1）38p2（x1）22p（1x）22p（x1）23（x1）4p2p（x1）2（3x4p3）的错误。 例4 在实数范围内把x45x26分解因式。 解：x45x26（x21）（x26）（x21）（x6）（x6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y25x2y29y2y2（4x45x29）y2（x21）（4x29）的错误。 由此看来，因式分解中
28、的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来
29、，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题) 解：a +4ab+4b = （a+2b ） 3、 分组分解法 要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a，把它后两项分成一组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n-mn-5m 解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法
30、 对于 mx +px+q 形式的多项式，如果 ab=m,cd=q 且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6= （7x+2 ）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例 5、分解因式 x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干
31、部分，再用进行因式分解。 例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c- a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x
32、+ )-(x+ )-6 令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0 根为 ，
33、-3 ，-2 ，1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x ,x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例 9、因式分解 x +2x -5x-6 解：令 y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与 x 轴交点为-3 ，-1 ，2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
34、 例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b -c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例 11、分解因式 x +9x +23x+15 解：令 x=2，则 x +9x +23
35、x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5 、 7 分别为 x+1， x+3， x+5，在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=（ x+1）（x+3 ）（x+5 ） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x
36、 +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 重点、难点 面对较为复杂的多项式，创造性地运用运算律将之巧妙变形，进而运用提公因式、公式法进行因式分解。 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B B C C C D D A 二、填空题： 11：2x 12 ：0 13 ：-14xy、7x 14：a2-2ab+b2、a-b 15：48 16： x21+ 、 14+x17： -2、 -8 18： 7 19： m2=4n 20： 3x+y 三、解答题： 21： (1)（ x+1）4(2)(x
37、y+1+x)(xy+1+y) (3) 2)21(2 +x (4)8(a-b)2(a+b) 22： m=8 或 m=-2 23：（ 1） -92 （ 2） 4 24：（ 1） 80008 （ 2） 0 25： K=1、 K=31 26：原式 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 27： (a-b)2+(b-c)2=0 =(x-3y)2(7y+2x-6y) a=b且 b=c =(x-3y)2(2x+y) a=b=c =126 此三角形为等边三角形。 =6. 28：（ 1）提公因式、 2 （ 2） 2004、 (1+x)2005（ 3） (1+x)n+1 分解因式测试题 湖北省钟祥市罗集一中（43
38、1925 ）熊志新 一、选择题： （每小题 2 分，共 20 分） 1下列各多项式中 ,不能用平方差公式分解的是 ( ) A. a2b2 1 B 4 0 25a2C a2 b2D x2+1 2如果多项式 x2 mx+9 是一个完全平方式 ,那么 m 的值为 ( ) A 3 B 6 C 3 D 6 3下列变形是分解因式的是 ( ) A 6x2y2=3xy 2xy B a2 4ab+4b2=(a 2b)2C (x+2)(x+1)=x2+3x+2 D x2 9 6x=(x+3)(x 3) 6x 4下列多项式的分解因式，正确的是（ ） （ A） （ B） )34(391222xyzxyzyxxyz =
39、 )2(363322+=+ aayyayya（ C） （ D） )(22zyxxxzxyx +=+ )5(522aabbabba +=+5满足 的是（ ） 0106222=+ nmnm（ A） （ B）3,1 = nm 3,1 = nm （ C） 3,1 = nm （ D） 3,1 = nm 6把多项式 分解因式等于（ ） )2()2(2amam +A B )(2(2mma + )(2(2mma C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1) 7下列多项式中，含有因式 的多项式是（ ） )1( +yA、 B、 2232 xxyy 22)1()1( + yyC、 D、 )1()1(22+
40、 yy 1)1(2)1(2+ yy8已知多项式 分解因式为cbxx +22 )1)(3(2 + xx ，则 的值为（ ） cb,A、 B、 C、1,3 = cb 2,6 = cb 4,6 = cb D、 =b 6,4 = c、9 a 是ABC的三边，且 ，那么ABC的形状是（ ） cb bcacabcba +=+222A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 10、在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图） 。通过计算图形（阴影部分）的面积，验证 了一个等式，则这个等式是（） A、 )(22bababa +=B、 222
41、2)( bababa +=+C、 2222)( bababa +=D、 )(2baaaba =二、填空题： （每小题 3 分，共 30 分） 11多项式 2x2 12xy2+8xy3的公因式是 _ 12利用分解因式计算 :32003+632002 32004=_ 13 _+49x2+y2=(_ y)2 14请将分解因式的过程补充完整 : a3 2a2b+ab2=a (_)=a (_)215已知 a2 6a+9 与 |b 1|互为相反数 ,计算 a3b3+2a2b2+ab 的结果是 _ 16 +162x（） ， 2) (1=+ 2y) () (21) (4122+= xx 17若 ，则 p= )
42、4)(2(2+=+ xxqpxx ， q= 。 18已知 31=+aa ，则221aa + 的值是 。 19若 是一个完全平方式，则 的关系是 nmxx +2nm、 。 20已知正方形的面积是 （x0，y0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 2269 yxyx +。 三、解答题： （共 70 分） 21：分解因式（ 12 分）（ 1） (x2+2x)2+2(x2+2x)+1 （ 2） xyyxxy + )1)(1)(1( （3）21222+ xx （4） ( )()3()3)(22abbababa +22已知 x2 2(m 3)x+25 是完全平方式 ,你能确定 m 的值吗 ?不
43、妨试一试 （ 6 分） 23先分解因式 ,再求值：（ 8 分） （ 1） 25x(0.4 y)2 10y(y 0.4)2,其中 x=0.04,y=2.4 （ 2）已知 ，求22 =+ abba ，32232121abbaba + 的值。 24利用简便方法计算（ 6 分） （ 1） 2022+1982（ 2） 2005 20042004- 2004 20052005 25若二次多项式 能被 x-1整除，试求k的值。（6分） 2232 kkxx +26不解方程组 ，求 的值。（ 10 分） =+1362yxyx32)3(2)3(7 xyyxy 27已知 是ABC 的三边的长，且满足 ，试判断此三角形的形状。（10分） cba 、 0)(22222=+ cabcba28读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（12分） 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次. (2)若分解 1+ x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 . (3)分解因式：1+ x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n为正整数).
