1、绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共 5 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和
2、答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 为虚数单位，i607iA B C D1 i 12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石3命题“ ， ”的否定是0(,)x0ln1xA ， B ，0(,)x0ln1xC ， D ，(,)l 4已知变量 和 满足关系 ，变量 与 正相关. 下列结论中正确的是xy0.1yxyzA 与 负相
3、关， 与 负相关 B 与 正相关， 与 正相关zxxzC 与 正相关， 与 负相关 D 与 负相关， 与 正相关5 表示空间中的两条直线，若 p： 是异面直线；q： 不相交，则 12,l 12,l 12,lAp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6函数 的定义域为 256()4|lg3xfxA B 2,3 (2,4C D(),413)(,67设 ，定义符号函数 则xR1,0,sgn,.xA B |sgn|x |sgn|xC D| |8 在区间 上随机取两个
4、数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ”0,1,xy1p12xy2p12xy的概率，则A B 12p 12pC D21 219将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位 e1Ca()ba(0)m长度，得到离心率为 的双曲线 ，则22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab1e12eab12eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，2ab10已知集合 ， ，定义集合(,),xyxyZ(,)|,|,xyyxZ，则 中元素的个数为12212()(,)ABABAA77 B49 C45 D30二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号
5、的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11已知向量 ， ，则 _OAB|3OAB12若变量 满足约束条件 则 的最大值是_,xy4,20,xy3xy13函数 的零点个数为_.2()2sin()fx14某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 内，其频率分布直方图如图所示. 0.3,9（）直方图中的 _；a（）在这些购物者中，消费金额在区间 内的购物者的人数为_. 0.5,915如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北A的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山
6、顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山30 B75 30的高度 _m. CD16如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半 x(1,0)Ty轴交于两点 A，B（B 在 A 的上方） ，且 . 2AB（）圆 的标准方程为_；C（）圆 在点 处的切线在 轴上的截距为_.x17 a 为实数，函数 在区间 上的最大值记为 . 当 _时， 的2()|fxa0,1()ga()ga值最小. 第 16 题图第 14 题图 第 15 题图ABCDxOyTCAB三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18 （本小题满分 12 分）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内
7、的图象()sin()(0,|)2fxAx时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356sin()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解()fx析式；（）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 图象，求()yfx6()yg的图象离原点 O 最近的对称中心.g19 （本小题满分 12 分）设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为 ，等比数列 的公比为 q已知 ， ，nanSnb1ba2， qd10S（）求数列 ， 的通项公式；nb（）当 时，记 ，求数列 的前 n 项和 nacncnT20 （本小题满分 13 分）九章算术中，将底面为长
8、方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，点 是 的PABCDPABCDPEPC中点，连接 . ,E（）证明： 平面 . 试判断四面体 是E否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，请说明理由；（）记阳马 的体积为 ，四面体 的PABCD1VBCD体积为 ，求 的值2V12第 20 题图21 （本小题满分 14 分）设函数 ， 的定义域均为 ，且 是奇函数， 是偶函数，()fxgR()fx()gx，其中 e 为自然对数的底数. f（）求 ， 的解析式，并证明：当 时， ， ；()f 0
9、()0f()1（）设 ， ，证明：当 时， .0a1bx()1)xagxbg22 （本小题满分 14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 NOAB处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， 当栓子 D 在1DN3M滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C以 为原点，所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系ABx（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点若直线l1:0lxy2:0lxy,PQl总与椭圆 有且只有一个公共点，试探究：OP
10、Q 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由第 22 题图 1BADOMN第 22 题图 2xD OMNy绝密启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 A 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）119 1210 132 14 （）3；（）600015 16 （） ；（） 17 三、解答1062(1)()xy122题（本大题共 5 小题，共 65 分）18 （12 分）（）
11、根据表中已知数据，解得 . 数据补全如下表：5,26Ax0 3221237125613sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 . ()sin()6fx（）由（）知 ，因此 .5i2f ()5sin2()5sin(2)66gxxx因为 的对称中心为 ， . 令 ，解得 ， .sinyx(,0)kZk1kZ即 图象的对称中心为 ， ，其中离原点 O 最近的对称中心为()g21（k. ,01219 （12 分）（）由题意有， 即1450,2,ad1290,ad解得 或 故 或 1,d19.1,2.nb1(279),.nnb（）由 ，知 ， ，故 ，于是1d21na12nb12nc， 234157
12、9n nT. 52-可得，2211132nnnnT故 . 136n20 （13 分）（）因为 底面 ，所以 . PDABCPDBC由底面 为长方形，有 ，而 ，D所以 平面 . 平面 ，所以 . EE又因为 ，点 是 的中点，所以 . P而 ，所以 平面 . PBPB由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，CDCBC即 四 面 体 是 一 个 鳖 臑 ， 其 四 个 面 的 直 角 分 别 是E ,.DECDB（）由已知， 是阳马 的高，所以 ；A1133ABCVSPP由（）知， 是鳖臑 的高， ，BE所以 .21136BCEVSD在 中，因为 ，点 是 的中点，所以 ，Rt
13、PPC2DEC于是 12234.6VEDBC21 （14 分）（）由 , 的奇偶性及()fxg, ()exf得 .联立解得 ， .1()e)2xf 1(e)2xg当 时， ， ，故 0xx0x)0.f又由基本不等式，有 ，即 1()ee12xxg()1.gx（）由（）得 ， 211e1()e)()(e)(2xx xf gx， 2exx xg f当 时， 等价于 ， 0x()(1)fa()()1fagx等价于 )fxbg .fxb设函数 ，()(1)hfcxc由，有 )()xfx (1)().cgxcfx当 时，0x（1）若 ，由，得 ，故 在 上为增函数，从而 ，c()0h()h0,)()0h
14、即 ，故成立.()()1fxgcx（2）若 ，由，得 ，故 在 上为减函数，从而 ，()()x,)()x即 ，故成立.()()fc综合 ，得 . ()1(1)fagxbgx22 （14 分）（）因为 ，当 在 x 轴上时，等号成立；|34OMN,MN同理 ，当 重合，即 轴时，等号成立. |12DOx所以椭圆 C 的中心为原点 ，长半轴长为 ，短半轴长为 ，其方程为 221.64xy（） （1）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ，都有 . l l4x1482OPQS（2）当直线 的斜率存在时，设直线 ， l 1:()2lykm由 消去 ，可得 .2,416ykxm 2(14)8460x因为
15、直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，lC所以 ，即 . 22(4)6)0kk21mk第 22 题解答图 xDOMNy PQ又由 可得 ；同理可得 .,20ykxm2(,)1mPk2(,)1mQk由原点 到直线 的距离为 和 ，可得OQ2|d2|PQPx. 211|2 14PQPQSdxkk将代入得， . 2248OPQmSk当 时， ；214k221()()81当 时， .2022484OPQkSk因 ，则 ， ，所以 ，14k201228(1)84OPQSk当且仅当 时取等号.所以当 时， 的最小值为 8.OPQS综合（1） （2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最lC小值 8.
