1、例 1 (1)已知椭圆 x23y 25，直线 l：yk(x1)与椭圆相交于 A，B 两点若线段 AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；12在 x 轴上是否存在点 M(m,0)，使 的值与 k 无关？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说MA MB 明理由【解析】 依题意，直线 AB 的斜率存在，将 yk(x1)代入 x23y 25，消去 y 整理得(3k21)x 26k 2x3k 250.设则Error!由线段 AB 中点的横坐标是 ，得 ，解得 k ，适合.12 x1 x22 3k23k2 1 12 33所以直线 AB 的方程为 x y10，或 x y10.3 3假设 在 x 轴上存
2、在点 M(m,0)，使 为常数MA MB 由知 x1x 2 ，x1x2 . 6k23k2 1 3k2 53k2 1所以 (x 1m)(x 2m)y 1y2MA MB (x 1 m)(x2 m)k 2(x11)(x 21)(k 2 1)x1x2(k 2m)(x 1x 2)k 2m 2.将代入，整理得： m 2MA MB 6m 1k2 53k2 1 m 22m 133k2 1 2m 1433k2 1m 22m .13 6m 1433k2 1注意到 是与 k 无关的常数，从而有 6m140， m ，此 时 .MA MB 73 MA MB 49综上，在 x 轴上存在定点 M ，使 为常数( 73，0)
3、 MA MB (2)已知直线 yx1 与椭圆 1(ab0)相交于 A、B 两点，且 OAOB .(其中 O 为坐标原x2a2 y2b2点)求证：不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点 P，并求点 P 的坐标【解析】 由Error!消去 y，得(a2b 2)x22a 2xa 2(1b 2)0.由 (2a 2)24a 2(a2b 2)(1b 2)0，整理得 a2b 21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 .2a2a2 b2 a21 b2a2 b2y1y2( x 11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)1.OAOB(其中 O 为坐标原点) ，x1x
4、2y 1y20，即 2x1x2( x1x 2)10. 10.2a21 b2a2 b2 2a2a2 b2整理得 a2b 22a 2b20.由 a2b 22a 2b20，得 1， 则不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点 .( 22)2a2( 22)2b2 ( 22，22)思考题 1 (1)(2012福建)如图，椭圆 E： 1(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率x2a2 y2b2e .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF 2 的周长为 8.12求椭圆 E 的方程；设动直线 l：y kxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q.试探究：
5、在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由【解析】 因为|AB|AF 2| BF2|8，即|AF 1| |F1B| |AF2|BF 2| 8，又|AF 1| |AF2| |BF1|BF 2| 2a，所以 4a8，a2.又因为 e ，即 ，所以 c1.12 ca 12所以 b .a2 c2 3故椭圆 E 的方程是 1.x24 y23由Error! 消去 y，得(4k23)x 28kmx4m 2120.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4k 23)(4 m2
6、12) 0，化简得 4k2m 230.此时 x0 ，y0kx 0m ，4km4k2 3 4km 3m所以 P( ， )4km3m由Error!得 Q(4,4km)假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上设 M(x1,0)，则 0 对满足(*)式的 m，k 恒成立MP MQ 因为 ( x 1， )， (4x 1,4km) MP 4km 3m MQ 由 0，得 4x 1x 30.MP MQ 16km 4kx1m 21 12km整理，得(4x 1 4) x 4x 130. (*)km 21由于(*)式对满足(*) 式的 m，k 恒成立，所以Error!解得 x11.故
7、存在定点 M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.(2)(2013山西四校联考)已知 F1、F 2 是椭圆 1 的两焦点， P 是椭圆在第一象限弧上一点，且x22 y24满足 1.过点 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点PF1 PF2 求 P 点坐标；求证直线 AB 的斜率为定值；求PAB 面积的最大值【解析】 由题意，F 1(0， )，F2(0， )，2 2设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 (x 0， y 0)， (x 0， y 0)PF1 2 PF2 2 x (2y )1.PF1 PF2 20 20P(x0，y0)在椭圆 1 上，x22
8、y24 1，x ，从而 (2 y )1，x202 y204 20 4 y202 4 y202 20得 y0 ，易知 x01.2点 P 的坐标为(1， )2由题 意知，两直线 PA、PB 的斜率必存在设直线 BP 的斜率为 k(k0)，则直线 BP 的方程为y k(x1)2由Error!消去 y，得(2k 2)x22k( k)x ( k )240.2 2设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 1x B ，2kk 22 k2xB 1 .2kk 22 k2 k2 22k 22 k2同理可得 xA .k2 22k 22 k2xAx B ，yAy Bk(x A1)k( xB1) .42k2 k2 8
9、k2 k2kAB 为定值yA yBxA xB 2由可设直 线 AB 的方程为 y xm .2联立方程，得Error!消去 y 得4x22 mxm 240.2由 (2 m)216( m24)0，得 2 b0)，把点 (2,0) 、( ， )代入得Error!解得Error!x2a2 y2b2 2 22所以 C1 的标准方程为 y 21.x24(2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)，与 C1 的交点为 M(x1，y1)、N(x2，y2)由Error!消去 y 并整理得(14k 2)x28k 2x4( k21)0.于是 x1x 2 ，x
10、1x2 .8k21 4k2 4k2 11 4k2y1y2k 2(x11)( x21)k 2x1x2(x 1x 2)1，即 y1y2k 2 1 . 4k2 11 4k2 8k21 4k2 3k21 4k2由 ，即 0，得 x1x2y 1y20. (*)OM ON OM ON 将代入(*)式，得 0，4k2 11 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2解得 k2.所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为 2xy20或 2xy20.思考题 2 1在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 y 21 有两2x22个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取
11、值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量 与OP OQ 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由AB 解析 (1)由已知条件，直线 l 的方程为 ykx ，2代入椭圆方程得 ( kx )21，x22 2整理得( k 2)x22 kx1 0. 12 2直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k2 4( k 2)4k 220，12解得 k .22 22即 k 的取值范围为( ， )( ，) 22 22(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ( x1x 2，y1y 2)OP OQ 由方程 得， x1x 2
12、. 42k1 2k2又 y1y 2k(x 1x 2)2 ， 2而 A( ，0)，B(0,1)， ( ，1)2 AB 2所以 与 共线等价于OP OQ AB x1x 2 (y1y 2)2将代入上式，解得 k .22由(1)知 k ，故没有符合题意的常数 k.22 22课后练习1如图，已知椭圆 1(a b0)长轴长为 4，离心率为 .过点(0，2) 的直线 l 交椭圆于 A，Bx2a2 y2b2 12两点、交 x 轴于 P 点，点 A 关于 x 轴的对称点为 C，直线 BC 交 x 轴于 Q 点(1)求椭圆方程；(2)探究：|OP |OQ|是否为常数？解析 (1)由题意得Error!解得 a2，b
13、 ，c1，所以 椭圆方程为 1.3x24 y23(2)直线 l 方程为 ykx2，则 P 的坐标为( ，0)2k设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x1， y1)，直线 BC 方程为 ，令 y0，得 Q 的横坐标为y y1y2 y1 x x1x2 x1x . x1y2 x2y1y1 y2 2kx1x2 2x1 x2kx1 x2 4又Error!得(34k 2)x216kx 40.得Error!代入 得 x 2k，8k 216k16k2 43 4k2 24k 12得|OP |OQ|x PxQ| 2k4.2k|OP|OQ|为常数 4.2已知点 B( 1,0)，C (1,0)， P 是平
14、面上一动点，且满足| | | .PC BC PB CB (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程；(2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE，且 ADAE ，判断：直线 DE是否过定点？试证明你的结论解析 (1)设 P(x，y)代入| | | 得 1x ，化 简得 y24x .PC BC PB CB x 12 y2(2)将 A(m,2)代入 y24x，得 m1.点 A 的坐标为(1,2) 设直线 DE 的方程为 xmy t 代入 y24x ，得 y24my4t0.设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，则 y1y 24m ，y1y24t ， (4m)
15、 216 t0. (*) (x 11)(x 21)( y12)( y22)AD AE x 1x2(x 1x 2)1y 1y22(y 1y 2)4 ( )y 1y22( y1y 2)5y214y24 y214 y24 y 1y22( y1y 2)5y1y2216 y1 y22 2y1y24 ( 4t )2(4m) 50. 4t216 4m2 2 4t4化简 t26t54m 28m，即 t26t94m 28m4，即(t3) 24( m1) 2，t32(m 1)t2m5 或 t2m1，代入(*)式检验均满足 0.直 线 DE 的方程为 xm( y2)5 或 xm(y2)1.直 线 DE 过定点(5，
16、2)(定点(1,2)不满足题意)3如图，已知椭圆 1 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1，F 2 为顶点x2a2 y2b2 22的三角形的周长为 4( 1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一2点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF 2 的斜率分别为 k1、k 2，证明 k1k21；(3)是否存在常数 ，使得|AB|CD| |AB|CD|恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解析 (1)由题意知， 椭圆离心率为 ，得 a c，又 2a2c4( 1)
17、，所以可解得ca 22 2 2a2 ，c2，所以 b2a 2c 24，所以 椭圆的标准方程为 1，所以 椭圆的焦点坐标为(2,0) ，因2x28 y24为双曲线为等轴双曲线，且顶 点是该椭圆的焦点，所以 该双曲 线的标准方程为 1.x24 y24(2)设点 P(x0，y0)，则 k1 ，k2 ，所以 k1k2 ，又点 P(x0，y0)在双曲线y0x0 2 y0x0 2 y0x0 2 y0x0 2 y20x20 4上，所以有 1，即 y x 4，所以 k1k2 1.x204 y204 20 20 y20x20 4(3)假设存在常数 ，使得|AB| |CD| AB|CD|恒成立，则由(2)知 k1
18、k21，所以 设直线 AB 的方程为yk( x 2)，则直线 CD 的方程 为 y (x2)1k由方程组Error!消去 y 得(2 k21)x 28k 2x8k 280，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得 x1x 2 ，x1x2 . 8k22k2 1 8k2 82k2 1所以|AB| .同理可得|CD| 1 k2 x1 x22 4x1x2421 k22k2 1 1 1k2 x1 x22 4x1x2 .421 1k221k2 1 421 k2k2 2又因为|AB| CD| |AB|CD|，所以有 .1|AB| 1|CD| 2k2 1421 k2 k2 2421 k2 3k2
19、 3421 k2 328所以存在常数 ，使得| AB|CD| AB|CD|恒成立3284已知椭圆 C： 1(ab0)经过点 P(1， )，左、右焦点分别为 F1、F 2，上顶点为 M，且x2a2 y2b2 22F 1F2M 为等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：mxny n0(m，nR )交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个13定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解析 (1)F 1F2M 为等腰直角三角形，cb，a b，椭圆 C 的方程为 1.2x22b2 y2b2又 椭圆 C 经过点 P(1，
20、)，代入可得 b1.22a ，故所求的 椭圆方程为 y 21.2x22(2)显然直线 l 过点(0 ， )13当 l 与 x 轴平行 时，易知直线 l 的方程为 y ，代入椭圆 C 的方程得 x .13 43以 AB 为直径的圆的方程为 x2(y )2( )2；13 43当 l 与 x 轴垂直 时，易知 A，B 是椭圆的短轴的两端点，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y 21.由Error!解得Error!即两圆相切于点(0,1)因此，所求的点 T 如果存在，只能是 (0,1)事实上，点 T(0,1)就是所求的点 证明如下：当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T(0,1)，
21、当直线 l 不垂直于 x 轴时，可设直线 l 的方程为 ykx ，13由Error!消去 y，得(18 k29)x 212kx160.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! (x 1，y11)， ( x2，y21) ，TA TB x 1x2 (y11)( y21)TA TB x 1x2(kx 1 )(kx2 )43 43(1k 2)x1x2 k(x1x 2)43 169(1k 2) k 0. 1618k2 9 43 12k18k2 9 169TATB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1)在坐 标 平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件5(2012湖南理)在直角坐标系
22、xOy 中，曲线 C1 上的点均在圆 C2：(x5) 2y 29 外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值(1)求曲线 C1 的方程；(2)设 P(x0，y 0)(y03)为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交于点 A，B 和C，D.证明：当 P 在直线 x4 上运动时，四点 A，B，C ，D 的纵坐标之积为定值解析 (1)方法一 设 M 的坐标为( x，y)，由已知得|x 2| 3.易知 圆 C2 上的点位于直线 x2 的右侧，于是 x20，所以x 52 y2 x5.x 52 y2化简得曲线 C1 的方
23、程为 y220x.方法二 由题设知，曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线 x5 的距离因此，曲线 C1 是以(5,0) 为焦点，直线 x5 为准线的抛物线故其方程为 y220x.(2)当点 P 在直线 x4 上运动时， P 的坐标为( 4， y0)，又 y03， 则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不 为 0，每条切 线都与抛物线有两个交点，切线方程为 yy 0k(x4) ，即kx y y04k 0，于是3.|5k y0 4k|k2 1整理得 72k218y 0ky 90. 20设过 P 所作的两条切线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，则 k1，k2 是方程的两个实根故 k1k 2 . 18y072 y04由Error!得k1y220y20(y 04k 1)0. 设四点 A，B，C，D 的纵坐标分 别为 y1，y2，y3，y4，则 y1，y2 是方程 的两个实根，所以 y1y2. 20y0 4k1k1同理可得 y3y4 . 20y0 4k2k2于是由 ，三式得y1y2y3y4400y0 4k1y0 4k2k1k2400y20 4k1 k2y0 16k1k2k1k2 6 400.400y20 y20 16k1k2k1k2所以，当 P 在直线 x4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6 400.
