1、小费再谈“三等分任意角”贵州省思南县许家坝中学 费永军“三等分任意角”这一著名难题 2400 多年来一直令人绞尽脑汁而不得其解。自从写出了小费细解“三等分任意角” 后有人提出了异议：“它算不上平面尺规作图，而是空间上的三等分任意角。 ”在该方案中是将角转化为扇形，扇形转化为圆锥，而圆锥底部刚好是一个圆，利用三等分圆的方法很轻松就可把圆三等分，再展开便为扇形，即可把扇形的弧三等分。在此笔者又有一方案可以把角三等分与君共勉，不知是否合理，希望得到方家斧正。先作锐角的三等分再讨论其他任意角的三等分，用尺规三等分锐角（或直角） ，可按以下步骤完成。1、在平面上作一任意锐角（或直角） ，BAC 如图：A
2、 BC2、以 BAC 的顶点 A 为任意圆周上的一点，以角的任意一边（如 AB）上作为直径作一圆 O，圆心为 O，如图：A BCo3、过圆心 O 向 AC 作一直线使之与圆 O 交于 E 点，与 AC 交于 D 点，并使 EA=ED（直角的 EA=ED=OE） ，连接 AE,再作 EAB的平分线 AF，则 AE、AF 即可把 BAC 三等分。如图：EA BCFoD证明：由作图可知 EA=ED则EAD=EDA因为OEA 是三角形 EAD 的一外角所以OEA=EAD+EDA=2EAD又因为 OE=OA（同圆半径相等）所以OAE=OEA所以OAE=2EAD所以线 AE 是BAC 三等分的其中一条线A
3、F 是BAC 的平分线所以 3BAF=3 FAE=3EAD=BAC说明：此作法的关键是过圆心向另一条边作 EA=ED，它需要一边用直尺过圆心，同时用圆规量取使 EA=ED 方能成功，否则失败。由此锐角（或直角）能三等分，而大于 90o 角怎么办呢？笔者认为可以把这类角分成一个或几个直角与锐角相加的形式，亦或多个锐角相加的形式。如钝角（大于 90o 小于或等于 180o）可以分为一直角与一锐角相加形式，直角的三等分可按上述的方法三等分角（亦可用其他方法三等分直角） ，而剩下的锐角亦按上述方法三等分角，把两次所分的三等分角中各取一个角相拼即可得该钝角三等分的一个角，再把余下部分平分即可；大于 180o 而小于 270o 的角，可用上述方法把该角分成两个直角与一个锐角相加，与上述钝角作法相同，只是用三个小角相加而已（亦可分成 180o 角与一锐角相加的形式，把 180o 角三等分后与锐角三等分后各取一小角相加） ；大于或等于 270o 小于 360o 的角，则可以作该角的反向角锐角的三等分，然后作其平分线的反向延长线即可，其方法与上述方法一致。任意角亦可分成多个锐角（或直角）的方法，将其一一三等分后各取其三等分之一相加得该任意角的三分之一角。作者地址：贵州省思南县许家坝中学 565107电话:13595695625QQ:1035715088邮箱：feiyongjun197316
