1、竞赛园地数学竞赛初级讲座 柯 西 不 等 式陕西省永寿县中学 安振平柯西不等式是一个十分重要的不等式定理 ,从近年来国内外各级竞赛中不难看出 ,许多涉及不等式的赛题 ,若能运用柯西不等式进行求解 ,便可获得较为简明的解法 .一、基础知识11 柯西 (Cauchy) 不等式定理 设 a1 、 a2 、 、 an , b1 、 b2 、 、 bn 均是实数 ,则( a1 b1 + a2 b2 + + anbn) 2 ( a12 + a22 + + an2) ( b12 + b22 + + bn2) ,等号当且仅当 ai = bi ( 为常数 , i = 1 , 2 , ,n) 时成立 .这个命题的
2、证明在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .21 柯西不等式的推论推论 1 设 a1 、 a2 、 、 an , b1 、 b2 、 、 bn 为实数 ,则有a12 + a22 + + an2 + b12 + b22 + + bn2 ( a1 + b1) 2 + ( a2 + b2) 2 + + ( an + bn) 2 ,当且仅当 ai = bi ( 为常数 , i = 1 , 2 , , n) 时等号成立 .推论 2 设 a1 、 a2 、 、 an , b1 、 b2 、 、 bn 为实数 ,则有| a12 + a22 + + an2 - b12 + b22 + + bn2| (
3、a1 - b1) 2 + ( a2 - b2) 2 + + ( an - bn) 2 ,当且仅当 ai = bi ( 为常数 , i = 1 , 2 , , n) 时等号成立 .推论 3 设 a1 、 a2 、 、 an 为实数 , b1 、 b2 、 、 bn 为正实数 ,则有a12b1 +a22b2 + +an2bn ( a1 + a2 + + an)2b1 + b2 + + bn ,当且仅当 ai = bi ( 为常数 , i = 1 , 2 , , n) 时取等号 .例 1 设 a、 b、 c、 d 是 4 个不全为零的实数 ,求证 ab + 2 bc + cda2 + b2 + c2
4、 + d2 2 + 12 .导析 :为了使用柯西不等式 (必要时还可以应用均值不等式 ) ,可从欲证不等式左边的分子入手 ,并将其进行适当的变形 .ab + 2 bc + cd= ( ab + cd) + ( bc - ad) + ( bc + ad) 2 ( ab + cd) 2 + ( bc - ad) 2 + ( b2 + a2) ( c2 + d2)= 2 ( a2 + c2) ( b2 + d2)+ ( a2 + b2) ( c2 + d2) 2 ( a2 + c2) + ( b2 + d2)2+ ( a2 + b2) + ( c2 + d2)2= 2 + 12 ( a2 + b2
5、+ c2 + d2) .例 2 已知 a , b , c R + ,求证 aa + 2 b + c+ ba + b + 2 c + c2 a + b + c 34 .导析 :从欲证不等式的结构看 ,可考虑应用推论 3. 为此 ,可给左边三项的分子、分母分别乘以 a、 b、 c.左 边 = a2a2 + 2 ab + ca +b2ab + b2 + 2 bc35中学数学教学参考 2001 年第 9 期+ c22 ca + bc + c2 ( a + b + c)2( a2 + b2 + c2) + 3 ( ab + bc + ca)= 3 ( a + b + c)23 ( a + b + c)
6、2 + 3 ( ab + bc + ca) 3 ( a + b + c)23 ( a + b + c) 2 + ( a + b + c) 2= 34 .说明 :本例的类似是a2 a + b + c +ba + 2 b + c +ca + b + 2 c 34 .二、综合应用柯西不等式不仅应用于证明代数不等式 ,它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取值范围 ,求最值以及几何不等式的证明等方面都有着广泛的应用 .例 3 设 a、 b、 c、 d、 m 、 n 都是正实数 , P= ab + cd , Q = m a + nc bm + dn ,试确定 P 与 Q 的大小 . (1983 年高中联
7、赛题 )导析 :由柯西不等式 ,得P = am bm + nc dn am + nc + bm + dn = Q .例 4 解方程4 x + 3 + 2 1 - 2 x = 15 .导析 :原方程变形为15 = ( 2 2 x + 32 + 2 1 - 2 x ) 2 ( 2 ) 2 + 22 ( 2 x + 32 ) 2+ ( 1 - 2 x ) 2 = 15 ,其中等号成立的充要条件是2 x + 322 =1 - 2 x2 ,解得 x = -13 .例 5 求三个实数 x 、 y、 z ,使得它们同时满足下列方程2 x + 3 y + z = 13 ,4 x 2 + 9 y2 + z 2
8、- 2 x + 15 y + 3 z = 82.导析 :将两方程左右两边分别相加 ,变形得 (2 x) 2 + (3 y + 3) 2 + ( z + 2) 2 = 108.由第 1 个方程变形 ,得2 x + (3 y + 3) + ( z + 2) = 18.于是由柯西不等式 ,得182 = 1 (2 x) + 1 (3 y + 3) + 1 ( z + 2) 2 12 + 12 + 12 (2 x ) 2 + (3 y + 3) 2 + ( z+ 2) 2 = 182 ,从而由等号成立的条件可得2 x = 3 y + 3 = z + 2 = 6 ,故原方程的解为 x = 3 , y =
9、1 , z = 4.例 6 设 是实数 ,对任意实数 x 、 y、 z 恒有 ( x 2 + y2 + z 2) 2 ( x 4 + y4 + z 4) 成立 ,试求 的取值范围 .导析 :由柯西不等式易求出参数 的取值范围是 3 , + ) .说明 :本题由 1990 年全国高中联赛题改编 .例 7 已知正数 x 、 y、 z 满足 x + y + z =xyz ,且不等式 1x + y + 1y + z + 1z + x 恒成立 ,求 的取值范围 .导析 :由 2 元均值不等式和柯西不等式 ,得1x + y +1y + z +1z + x 12xy+ 12yz+ 12z x= 12 1 z
10、x + y + z+ 1 xx + y + z + 1 yx + y + z 12 (12 + 12 + 12) ( zx + y + z + xx + y + z + yx + y + z ) 12 = 32 .45 中学数学教学参考 2001 年第 9 期故参数 的取值范围是 32 , + ) .例 8 求实数 x 、 y 的值 ,使得 ( y - 1) 2 +( x + y - 3) 2 + ( 2 x + y - 6) 2 达到最小值 .(2001 年全国初中联赛题 )导析 :由柯西不等式 ,得12 + 22 + 12 ( y - 1) 2 + ( 3 - x - y) 2+ (2 x
11、 + y - 6) 2 1 ( y - 1) + 2 (3 - x - y)+ 1 (2 x + y - 6) 2 = 1 ,即 ( y - 1) 2 + ( x + y - 3) 2 + (2 x + y - 6) 2 16 . 当且仅当 y - 11 = 3 - x - y2 = 2 x + y - 61 ,即 x = 52 , y = 56 时 ,上式取等号 .故所求 x = 52 , y = 56 .例 9 求函数 f ( x ) = x - 6 + 12 - x的最大值 .导析 :由柯西不等式 ,得( x - 6 + 12 - x ) 2 12 + 12 ( x - 6) 2 + (
12、 12 - x ) 2 = 12 ,即 x - 6 + 12 - x 2 3.故当 x - 6 = 12 - x ,即 x = 9 时 , 函数 f ( x) 取得最大值 2 3.三、强化训练11 已知 | x | 1 , | y| 1 ,试求 x 1 - y2+ y 1 - x 2的最大值 .21 已知椭圆 x2( a + 1) 2 +y2( a - 1) 2 = 1 ( a 1) 的切线交 x 轴、 y 轴的正半轴于 M 、 N 两点 ,试问 :| M N | 会小于 2 a 吗 ? 说明理由 .31 已知 a , b , c R + ,且 a + b + c abc ,求证 11 + a
13、b + 11 + bc + 11 + ca 32 .41 若正数 a、 b、 c 满足 abc = 1 , 求证1a3 b2 + c2+ 1b3 c2 + a2+ 1c3 a2 + b2 3 22 .51 在四面体 AB CD 中 ,各顶点到对面的距离分别为 d1 、 d2 、 d3 、 d4 ,四面体内切球半径为 r ,求证 : d1 + d2 + d3 + d4 16 r.61 设 a、 b、 c 为 AB C 的三边长 ,求证 :12 ( a + b + c) a2b + c +b2c + a +c2a + b a 等知 , 6 ab + c 0 , a - n + 1 x 0 a + n + 1 .81 f ( x 1) f ( x 2 ) = ( ax 12 + bx 1 + c) ( ax 22+ bx 2 + c) a ( x 1 x 2 ) 2 + b x 1 x 2 + c 2= f 2 ( x 1 x 2) .55中学数学教学参考 2001 年第 9 期
