1、第 1 页（共 22 页） 平面向量【考情上线】1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 cba,来表示，或用有
2、向线段的起点与终点的大写字母表示，如： AB几何表示法， ；坐标表示法 ),(yxjia。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如 的模分别记作| AB|和 。,AB|a注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量（1） 零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行，00零向量 a 0。由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与 0 的区别）（2） 单位向量：模为 1 个单位长度的向量，向量 0a为单位向量 。将一个向量除以它0|1a的模即得到单位向量，如 的单
3、位向量为：a|e（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作 b。规定： 与任何向量平等，0任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量) ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（4）相反向量：与 a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量。记作 。a关于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， )(= ； ； 若
4、、 b是互为相反向量，则()0= b, = a, + = 。第 2 页（共 22 页） abABC（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为 ba。相等向量经过平移后总可以重合。二、向量的线性运算1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设 ,ABaCb，则 a+ = ABC=。规定： 0；（2）向量加法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则” 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边
5、形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ABCDPQRA，但这时必须“首尾相连”。（3）向量加法的运算律：交换律： 结合律：ab()()abca2.法向量的减（1） 定义：若 则向量 叫做 与 的差，记为 。求两个向量差的运算，叫做向xx量的减法。（2） 向量减法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则” 三角形法则：当 有共同起点时， 表示为从减向量 b的终点指向,abab被减向量 的终点的向量。 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。设 则 - = .,ABCABC3.实数与向量的积（1） 定义：实数 与向量 a的
6、积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：a a； 当 0时， 的方向与 的方向相同；当 0时， 的方向与 的方向相反；当时， ，方向是任意的。（2） 数乘向量的运算律 ； ； 。()a()a()ab三、向量共线定理1.定理：若 与 是两个非零向量，则 共线 有且只有一个实数 ，使得 ，即 bbba/(0)2.推论：若 与 是两个非零向量，则 共线 存在两个均不为零的实数 ，使得aa、，3.应用：可以证明三点共线： 三点共线。ABCB、 、第 3 页（共 22 页） 四、平面向量的基本定理1.定理：如果 21,e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数
7、 使： 21ea。我们把不共线的向量 21,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2.注意：要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，当 用基底 21,e写成a21ea时，称之为向量的分解， 当若 与 是两个非零向量，则 共线 有abb且只有一个实数 ，使得 时，称 21e为向量的正交分解。12e3. 应用：证明向量共面：若 不共线，则 与 共面的充要条件是存在有序实数对 ，使,abp,ab(,)xypxy证明四点共面：若 不共线，存在实数对 使 四,MAB(,)xy,MPxAyBPA点共面，证明三点共线：若 不共线，存在实数对 使, ,三点共线。1,PxyP且五、平面向量的坐标表示与运
8、算1. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a可表示成 xiyj，由于 a与数对(x,y) 是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中 x叫作 的横坐标， y 叫做作纵坐标。规定： ， 相等的向量坐标相同，(1,0)i(,)j坐标相同的向量是相等的向量； 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2. 平面向量的坐标运算：若 ，则 12,abxy；若 21,yxBA，则12(,)(,)axyb2AB；若 =(x,y)，则
9、=( x, y)；若 ，()()ab则 121/0xy； 若 ， 则12xy12(,),axyb,ab六、线段的定比分点从标公式设直线 上有一条有向线段 和一个不同于 的动点 P，若 ,即l12P12,12|第 4 页（共 22 页） ,则称点 P 为有向线段 的定比分点，且称 P 分有向线段成定比 。12(1)P 12 设 ，则 若 ，得到 中点坐标12(,),)(,)xyxy12(1)xy1212y七、几个重要结论1. ，222|(|)abab2|()abab2. 若 为 的重心 。GABC1231230,)xyGABCG【例题讲解】考点一：向量的基本概念例 1. 判断下列命题是否正确，不
10、正确的说明理由。（1） 若向量 同向，且 ，则 ；ab与 |ab（2） 若向量 ，则 的长度相等且方向相同或相反；|与（3） 对于任意向量 ，且 的方向相同，则 ；|与 ab（4） 由于零向量 方向不确定，故 不能与任意向量平行。00（5） 向量 与向量 是共线向量，则 四点在一条直线上；ABCD,ABCD（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确.（2）不正确，由 只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。|ab（3）正确，因为 ，且方向相同，由两向量相等的
11、条件可得 ab（4）不正确，由零向量性质可得 与任一向量平行，可知（4）不正确。0（5）不正确，若向量 与向量 是共线向量，则向量 与 所在的直线平行或重合，因此，ABCDABCD不一定共线。,C（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。例 2. 判断下列各命题是否正确：（1） 若 ，则 ；|ab（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若 ， ，则 ；ca（6） 若 ， ，则 ；/ab/（7） 若四边形 是平行四边形，则ABCD,ABDCA第 5 页（共 22 页） 解：（1）不正确，由 只能判断两个向
12、量长度相等，不能判断方向（2）不|ab正确，单位向量只是模均为单位长度 1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若 ，则对两个不共线的向量 与 ，也有 ，但0bac/0,c（7）不正确，/ac考点二：向量的基本运算例 3. 如图所示，已知 ，试用 ,OAaBbCcODdEeFf表示：,bdef（1） ; （2） ; （3） .DFB例 4.如右图，以向量 为边
13、作 ,abA1,3MC,用 表示3CN,ON考点三：共线向量例 5. 设两个非零向量 不共线，,ab（1）若 ， ，求证： 三点共线。AB28,3()CDab,ABD（2）试确定实数 ，使 和 共线。kk例 6设两个非零向量 不共线.(1)如果 ，求证：12,e121212,3,8ABeeCe三点共线；(2)如果 ，且 三点共线，求,ACD12, k,A的值。k考点四：向量坐标的基本运算例 7.已知 ,设 ，且 ，(2,4)3,1(4)BC,ABaCbAc3,2CMcNb(1)求 (2)求满足 的实数 ；(3)求 的坐标及向量 的3abcambnc坐标。例 8.已知向量 ，且 ，求实数 的值。
14、(1,2)(,)2,xuvab/uvx考点五：共线向量的综合问题例 9.如图所示，已知点 ，求 和 交点 的坐标。(4,0),(,6)ABCAOBP例 10.如图所示，在 中， 与 将O1,42DC于点 ，设 以 为基底表示 .M,AaBb,M第 6 页（共 22 页） 【例题讲解】考点一：向量的基本概念例 1. 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1） 若向量 同向，且 ，则 ；ab与 |ab（2） 若向量 ，则 的长度相等且方向相同或相反；|与（3） 对于任意向量 ，且 的方向相同，则 ；|与 ab（4） 由于零向量 方向不确定，故 不能与任意向量平行。00（5） 向量 与向量 是共
15、线向量，则 四点在一条直线上；ABCD,ABCD（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。例 2. 判断下列各命题是否正确：（1） 若 ，则 ；|ab（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若 ， ，则 ；ca（6） 若 ， ，则 ；/ab/（7） 若四边形 是平行四边形，则ABCD,ABDCA考点二：向量的基本运算例 3. 如图所示，已知 ，试,OabcOdEeFf用 表示：,abcdef（1） ; （2） ; （3） .F例 4.如右图，以向量 为边作 ,OAaBbOADB1,3MC,用 表示13CND,MN考
16、点三：共线向量例 5. 设两个非零向量 不共线，,ab（1）若 ， ，求证： 三点共线。AB28,3()CDab,ABD（2）试确定实数 ，使 和 共线。kk例 6设两个非零向量 不共线.12,e(1)如果 ，求证： 三点共线；2123,8ABee,AC(2)如果 ，且 三点共线，求 的值。121,CDkDk考点四：向量坐标的基本运算例 7.已知 ,设 ，且 ，(,4)3,(4)AB,ABaCbAc3,2CMcNb(1)求 (2)求满足 的实数 ；(3)求 的坐标及向量 的坐标。3abcambnc第 7 页（共 22 页） 例 8.已知向量 ，且 ，求实数 的值。(1,2)(,)2,abxua
17、bv/uvx考点五：共线向量的综合问题例 9.如图所示，已知点 ，求 和 交点 的坐标。(4,0),(,6)ABCAOBP例 10.如图所示，在 中， 与 将于点 ，设 以O1,42DCM,OAaBb为基底表示 .,abM平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标： 1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义； （2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法
18、（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的
19、信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。第 8 页（共 22 页） 二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题 3：（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列
20、填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量， 是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 bcos 叫做 与abaa的数量积（或内积），记作： ，即： = cosb ab（2）定义说明：记法“ ”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这
21、个数值的大小不仅和向量 与 的模有关，还和它们的夹角有关。ab（4）学生讨论，并完成下表：的范围0 及 cos；ac bc（3）根据（1）、（2）的结果，你能得到什么结论？6、已知 =(cos，sin)， =(cos，sin)，0 ？若存在，求出这样的 B、C 的坐标；若不存在，说明理由。712、已知 ， ，其中 =(1，0)， =(0，1) 。（1）计算 ，| + |的21ea2134eb12eab值；（2）如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k 2，k n，使 成立，okkan2则称 n 个向量 ， ， “线性相关”，否则为“不线性相关”，依此定义，三个向量na=(1，1)， =(2，1
22、)， =(3，2)是否为“线性相关”的，请说明你的判断根据；（3）平23面上任意三个互不共线的向量 ， ， 一定是线性相关的吗？为什么12向量作业部分当堂练习：1 a、 b为非零向量，且 |ab，则 （ ）2设 ()()ABCDA，而 是一非零向量，则下列各结论： /ab； ； ，其中正确的是 （ ）33在ABC 中，D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点，点 M 是ABC 的重心，则MBA等于 （ ）5若 abc化简 3(2)(3)2()abcab （ ）6已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C），则 P=A ().(0,1BDB2().(0,)AC
23、 ().(, D ().(,)7已知 |3Oa， |3b，AOB=60 ，则 |ab_。8当非零向量 和 满足条件 时，使得 平分 和 间的夹角。9如图，D、E、F 分别是 ABC 边 AB、BC、CA 上 的中点，则等式：F EDCBA第 14 页（共 22 页） FDA0 FDE0 EB AB10若向量 x、 y满足 23,2axyb， a、 为已知向量，则 x=_； y=_1若向量 a=(1,1),b=(1,1),c=(1,2) ，则 c 等于 （ ）2若向量 a=(x2,3) 与向量 b=(1,y+2)相等，则 （ ）3已知向量 ),os,(in),43(ba且 a b，则 tn= （
24、 ）4已知 ABCD 的两条对角线交于点 E，设 1eAB， 2D，用 21,e来表示 ED的表达式（ ） 5已知两点 P（，6）、（3，），点 P（ 37，）分有向线段 21P所成的比为 ，则 、的值为 （ ）6下列各组向量中： )2,1(e )5,3(1e ),2(1e )7,5(2e )10,(2e43,2有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 （ ）A B C D7若向量 a=（2，m）与 b=（m ，8）的方向相反，则 m 的值是 8已知 =（2，3）， =（-5，6），则| a+b|= ，| a-b|= 9设 =（2，9）， =（,6）， c=(-1,),若 +
25、 =c,则 = , = .10ABC 的顶点 A(2，3)，B(4，2)和重心 G(2，1)，则 C 点坐标为 .11已知向量 e1、e2 不共线，(1)若 AB=e1 e2， C=2e1e2， D=3e1e2，求证： A、B、D 三点共线.(2)若向量 e1e2 与 e1 e2 共线，求实数 的值.12如果向量 =i2j, B =i+mj,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A、B、 C 三点共线.1已知 a=（3，0）， b=（ -5，5）则 a与 b的夹角为 （ ）2已知 =（1，-2）， =（ 5，8）， c=（2，3），则 a（ bc）的值
26、为 （ 第 15 页（共 22 页） G ED CBA）3已知 a=（2，3）， b=（ -4，7）则向量 a在 b方向上的投影为 （ ）4已知 =（3，-1）， =（ 1，2），向量 c满足 =7，且 bc，则 的坐标是（ ）5有下面四个关系式（1） 0 = ；（2）（ ） =a（ ）；（3） ab= a；（4）0 =0，其中正确的个数是 （ ）6已知 =（m-2，m+3）， b=（2m+1，m-2）且与 b的夹角大于 90，则实数 m（ ）7已知点 A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量 BC与 A的夹角是 。8已知 a=（1，-1），=（ -2，1），如果（ )()a，则实数 =
27、 。9若| |=2，| b|= ， a与 的夹角为 45，要使 kb- 与 垂直，则 k= 10已知+ =2i-8 j， b=-8i+16 j，那么 = 11已知 2 + =（-4 ，3）， -2 =（3，4），求 a 的值。12已知点 A（1，2）和 B（4，-1），试推断能否在 y 轴上找到一点 C，使 ACB=900？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由。1已知 A、B、C 为三个不共线的点， P 为ABC 所在平面内一点，若 ABP，则点 P 与ABC 的位置关系是 （ ）2已知三点 A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC 的形状为 （ ）6两个粒子 a，b 从同一粒子
28、源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 ；（2）求 S 在 Sa 方向上的投影 。7如图，点 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB= m n，点 O 是直线 AB 外一点，设 OAa，OBb，试用 ,mnab的运算式表示向量 PbaOPBA8如图，ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，设 AD 与 BE 相交于 G，求证：AGGD=BG GE=21第 16 页（共 22 页） GCOBA9如图， O 是ABC 外任一点，若1()3OGABOC，求证：G 是ABC 重心（即三条边上中线
29、的交点）10一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向 10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东 750，以 9mile/h 的速度向前航行，货船以 21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。平面向量单元测试1在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 OCeDBC则213,5= （ ）2对于菱形 ABCD，给出下列各式： A |BA| BCADB |4|222 其中正确的个数为 （ ）3在 ABCD 中，设 dBDcCba, ，则下列等式中不正确的是（ ）A cbaB dba C D ba4已知向量 与 反向，下列等式中成立的
30、是 （ ）A |ba5 B |C |ba D |5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（ ）7若 3204|ba， 5|,4|，则 ba与 的数量积为 （ ）8若将向量 )1,(围绕原点按逆时针旋转得到向量 ,则 的坐标为 ( ）9设 kR，下列向量中，与向量 )1,(Q一定不平行的向量是 （ ）A ),(bB ),(kcC )2kdD )1,(2ke750ABC东北450第 17 页（共 22 页） 10已知 12|,0|ba，且1(3)65abA，则 ba与 的夹角为（ ）12在四边形 ABCD 中，若 |,DB且 ,则四边形 ABCD
31、的形状是 13已知 )2,3(a， )1,(b，若 ba与 平行，则 = .14已知 e为单位向量， |a=4， e与 的夹角为32，则 e在 方向上的投影为 .15已知非零向量 b,满足 |b,求证: a16已知在ABC 中， )3,2(AB， )1(kC且ABC 中C 为直角，求 k 的值.17、设 21,e是两个不共线的向量， 21212,3, eDeBe，若A、B、D 三点共线，求 k 的值.18已知 |a 3|b,a与 的夹角为 60o, bac5, kd,当当实数 k为何值时， c d c向量高考总结：一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常
32、用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：已知 A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是ABa_（答：（3,0）2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意 零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是AB)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传|AB递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行ab向量，记作： ，规定零向量和任何向量平行。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条
33、直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；三点 共线0ABC、 、共线； ABC、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的ab起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是ABDC ABD平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。AB,bc/,bc/其中正确的是_1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；
34、ac第 18 页（共 22 页） 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向xy量 ， 为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为ij a,ijxy,向量 的坐标， 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么a,xy向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如12（1）若 ，则 _（2）下列向量组中，能作为平(1,)b(,)(,)cc面内所有向量基底的是A. B. 120,e12,(5,7)eC. D. （3）已知
35、分别是(35)(60) 13,)4e,ADBE的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示为_ABC,ADaBEbC,ab（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则C 2 Csr的值是_sr四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下： 当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P12点在线段 P P 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时121；若点 P 分有向线段 所成的比为 ，则点 P 分有向线段 所成012 2的比为 。如 若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为_1AB34AB3线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成的
36、比1(,)xy2(,)xy(,)x12为 ，则 ，特别地，当 1 时，就得到线段 P P 的中点公式12xy12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意12xy (,)xy1,)2(,)xy义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 。如（1）若 M（-3，-2），N（6，-1 ），且 ，则点 P 的坐标为_（2）已知 ，直线1MPN3 (,0)3,2)AaB与线段 交于 ，且 ，则 等于_12yaxABAMBa十一平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲(,)xy,hk(,)Pxyxhyk线 按向量 平
37、移得曲线 .注意：（1）函数按向量(,)0fahk()0fxy平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_；(2,3)(1,2)a(7,2)（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则xysina 12cosxy=a12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|bab ab、 0|ab；当 反向或有 ；当 不|a 、 0| 、共线 (这些和实数比较类似).（3）在 中，若| ABC，则其重心的坐标为 。如123,AxyBC
38、xy123123,xyG若ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则ABC 的重心的坐标为_； 为 的重心，特1()3PABP第 22 页（共 22 页） 别地 为 的重心； 为0PABCPABCPABCPA的垂心；向量 所在直线过 的内心(是 的()(0|B角平分线所在直线)； 的内心；（3）|若 P 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ，12M12M特别地 为 的中点 ；（4）向量 中三终点12P PABC、 、共线 存在实数 使得 且 .如平面直角坐标ABC、 、 、 系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足 ,其O)3(A)B O BA21中 且 ,则点 的轨迹是_R21,121C
