1、1高等数学（1）学习辅导（二）第二章 极限与连续知道数列极限的“ N”定义；了解函数极限的描述性定义。理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：有限个无穷小量的代数和是无穷小量；有限个无穷小量的乘积是无穷小量；无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型（1） axaxakkxkx 21)(limli 22020 （2） 100102 )(lili00bxx （3） mnb
2、axbxbaammnnx 0110li熟练掌握两个重要极限：lisnx0m()xx1e （或 li()xx01e）重要极限的一般形式：lisn()()x0li()()fxfx1e （或 lim()(gxgx01e）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如 31sinlm31sinl3sinlm000 xxxx23122e)1(lim)1(2li12lim)2(li xxxxxxxx理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类
3、。间断点的分类：已知点 是的间断点，0x若 在点 的左、右极限都存在，则 称为 的第一类间断点；)(f 0x)(f若 在点 的左、右极限有一个不存在，则 称为 的第二类间断点。x理解连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析一、填空题极限 limsnx021 。解： 01sinlm1il)sin(lisinl 00020 xxxxxx注意： （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）1，其中 =1 是第一个重要极限。1silmsilsilm000xxx xil0函数 的间断点是 。1in)(xf解：由 是分
4、段函数， 是 的分段点，考虑函数在 处的连续性。0)(xf 0x因为 1(lisinl0xx所以函数 在 处是间断的，)(f又 在 和 都是连续的，故函数 的间断点是 。,),( )(xf0x设 ，则 f 。232f解： ，故)(xf 20184)() 2x函数 的单调增加区间是 。1ln2y3二、单项选择题函数 在点 处（ ）fx()sin1x0A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；C.有定义但无极限； D.无定义且无极限解： 在点 处没有定义，但)(xf（无穷小量 有界变量= 无穷小量）01sinlm0xx 故选项 B 正确。下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。A. e1x,
5、()； B. sin,()x；C. ln,1； D. 10,解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 sinlmx而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。三、计算应用题计算下列极限： 1243lim2xx xx)13(lim（4） 50)()(x xsin1l0解： 6)(21432 x=lim2x81li 4313e)1(lim)31(li)3(li)13(li xnxnxnn 题目所给极限式分子的最高次项为 155102)(分母的最高次项为 ，由此得152x 38)(2lim15xx（4）当 时，分子、分母的极限均为 0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有04
6、理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。)1(3sinlm)1(3sin1lm3sin1l 000 xxxxx= 6123li 0x2.设函数0sin1)(xabxf问（1） 为何值时， 在 处有极限存在？ba,)(xf（2） 为何值时， 在 处连续？解：（1）要 在 处有极限存在，即要 成立。)(f0)(lim)(li00xffxx因为 bxxx )1sinlmli0所以，当 时，有 成立，即 时，函数在 处有极限1b)(li)(li00xffxx1b0x存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时 可以取任意值。a（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)(lim)(li 000 xffxfxx 于是有 ，即 时函数在 处连续。ab11b)(li0fx
