1、高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30-设 X = ，求 X。 设二次型 f (x1, x2, . , xn)是不定的，证明： 存在 n 维向量 X0，使 X0AX0 = 0，其中 A 是该二次型的矩阵。 设 W = f (x)| f (x) Px4, f (2) = 0。 a 证明：W 是 Px4 的子空间。 b 求 W 的维数与一组基。 在 R3 中定义变换 A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。1， 证明：A 是 Rr3 上线性变换， 2， 求 A 在基 xi1 = (
2、1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 设 ，求正交矩阵 T，使 TAT 成对角形。 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上可逆线性变换， W 是 A 的不变子空间。证明：W 也是 A-1 的不变子空间。 设 V 是 n 维欧氏空间，A 是 V 上变换。 若任意 , V，有 (A, A) = (,)。 证明：A 是 V 上线性变换，从而是 V 上正交变换。 设 X = ，求 X。 设 A 是奇数级的实对称矩阵，且| A| 0， 证明：存在实 n 维向量 X0 0，使 X0AX0 0。 设 A = ， W = | R4, A
3、 = 0。证明： 1，W 是 4 的一个子空间。 2，求 W 的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2 中定义变换 A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。1， 证明：A 是 R2 x 2 上线性变换。 。 2， 求 A 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3 为标准形。 设 V 为数域 P 上线性空间，A 是 V 上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 设 V 是 n 维欧氏空间。A 是 V 上
4、正交变换，W 是 A 的不变子空间。 证明：W 也是 A 的不变子空间。 设 X = ，求 X。 设 A 是奇数级的实对称矩阵，且| A| 0， 证明：存在实 n 维向量 X0 0，使 X0AX0 0。 设 A = ， W = | R4, A = 0。证明： 1，W 是 4 的一个子空间。 2，求 W 的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2 中定义变换 A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1，证明：A 是 R2 x 2 上线性变换。 。 2，求 A 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3)
5、 = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3 为标准形。 设 V 为数域 P 上线性空间，A 是 V 上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 设 V 是 n 维欧氏空间。A 是 V 上正交变换，W 是 A 的不变子空间。 证明：W 也是 A 的不变子空间。 设 X = ，求矩阵 X。 设实二次型 f (x1, x2, . , xn) = XAX 的秩是 n,其中 A 是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, . , xn) = XA-1X 与 f (x1, x2, . , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。 设 W = (a
6、1, a2, . , an)| ai R,ai = 0 证明 1，证明：W 是 Rn 的子空间。 2，求 W 的维数与一组基。 设 B = , B = .在 R2 中定义变换 : 对任意 X R2 x 2,X = BX + XC 1，证明：是 V 上线性变换。 2，求在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 设 A = ，求正交矩阵 T，使 TAT 成对角形。 设 V 为数域 P 上 n 维线性空间，V1, V2 为其子空间， 且 V = V1V2,为 V 上可逆的线性变换. 证明： V = V1 + V2。 设 V 为 n 维欧氏空间，若 A 既是 V 上对称变换且 A2 =
7、E。 证明：存在 V 的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。 设 X = ，求矩阵 X。 设 f (x1, x2, . , xn) = XAX 是实二次型,其中 A 是实对称矩阵.如果 XAX = 0 当且仅当 X = 0。 证明： f (x1, x2, . , xn)的秩为 n，符号差是 n 或- n. 设 = (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1), = (1, - 2, - 1, 0)， W = ki| ki R。 1，证明：W 是 Rr4 的子空间。 2，求 W 的维数与一组基。 设 A 三维向量空间 V 上可逆线性变换，A
8、在 基 ,下的矩阵是 。 1，证明：A 的逆变换 A-1 也是 V 上线性变换。 2，求 A-1 的在 ,下的矩阵。 设 ，求正交矩阵 T，使 TAT 成对角形。 设 V 为 n 维欧氏空间，若 A 既是 V 上正交变换，又是 V 上对称变换。 证明：A2 是 V 上的恒等变换。 设 V 为数域 P 上 n 维线性空间，W 为其子空间，A 为 V 上线性变换。 证明：维(AW) +维 (A-1(0) W) =维 W。 设 X = ，求矩阵 X。 设 W = A| A R3 x 3, A = - A。 1，证明：W 是 R3 x 3 的一个子空间。 2，求 W 的维数与一组基。 设实二次型 f
9、(x1, x2, . , xn) = XAX 的秩为 n， 符号差是 s。证明：R 中存在 (n - | s|)维子空间 W 使任意 X0 W， X0AX0 = 0。 在 Rx3 中定义变换 A：任意 f (x) Rx3, A(f (x) = xf(x)。 1，证明：A 是 Rx3 上线性变换。 2，求 A 在基 1, x + 1, x2 + x + 1 下的矩阵。 设 A = ，求正交矩阵 T，使 TAT 成对角形。 设 V 为数域 P 上 n 维线性空间，A 为 V 上线性变换。证明： 维(AV) +维 (A-1(0) =维 V。 设 V 为 n 维欧氏空间，若 A 是 V 变换，若任意
10、, V， (A,) = (, A)。 证明：A 是 V 上线性变换，从而为 V 上对称变换。 设 V = Px5,f (x) V ，有 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)， 其中 r(x) = 0 或次(r(x) 0。证明：A 是正定矩阵。 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 计算行列式： . 求下列线性方程组的一个基础解系和解集. 证明：如果 x 1,则 = - . 设 f (x), g(x) Px，证明：f (x)与 g(x)互素的充要条件是 f2(x) + 3f (x)g(x) + g3(x)与 4f3(x)g(x)互素. 设 f (x) Rx.证明：如
11、果 f (x)在 R 中有根，则 f (x3)在 R 中有根. 已知 , . ,与 , . ,有相同的秩， 证明： , . ,与 , . ,等价. 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 计算行列式： . 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集 item 证明： = anxn + an-1xn-1 + . a1x + a0. 设 f (x), g(x) Px，证明：f (x)与 g(x)互素的充要条件是 f (x) + g3(x)与 (f (x)g(x)2 互素. 设 f (x) Rx.证明：如果 f (x)有正根，则 f (x - 1)(x - 2)在 R 中有根. 设 ,
12、. ,一组 n 维向量，如果单位向量 , . ,可被它们线性表出， 证明： , . ,线性无关. 计算矩阵的 A 秩， A = . 计算行列式： . 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集. 证明： = (n + an)a1a2 . an-1. 设 f (x), g(x) Px，证明：f (x)与 g(x)互素的充要条件是 f3(x) - 2f (x)g(x) + g2(x)与 f2(x)g(x)互素. 设 f (x), g(x) Px.证明：如果 g(x)次数大于 0，f (x)有重因式， 证明：f (g(x)有重因式. 已知向量组 , . ,的秩是 r， , . ,是它的一个部分组.
13、 证明：如果 , . ,线性无关， 则 , . ,是 , . ,的一个极大线性无关组. 计算矩阵的 A 秩， A = . 计算行列式： . 求下列线性方程组的一个基础解系. 证明： = (- 1)n(n + 1)a1a2 . an. 设 f (x), g(x) Px，证明：f (x)与 g(x)互素的充要条件是 f3(x) + g2(x)与 f (x)g3(x)互素. 设 f (x) Cx.证明：如果 1 是 f (x)的一个根，则 = + i 是 f (x3)的一个根. 已知向量组 , . ,的秩是 r， , . ,是它的一个部分组. 证明：如果 , . ,线性无关， 则 , . ,是 , . ,的一个极大线性无关组. -
