陈文登考研数学辅导书(附带详细答案,word版本.doc

1、1函数 极限 连续一. 填空题1设 , 则 a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 0, b 0解. = 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以 x = 0为第一类间断点.7(2) 解. 显然 , 所以 x = 1为第一类间断点;, 所以 x = 1 为第一类间断点.(3) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以 x = 0为第一类跳跃间断点;不存在. 所以 x = 1为第二类间断点 ;不存在, 而 ,所以 x = 0为第一类可去间断点;, (k = 1, 2, ) 所以 x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且 x = 0

2、是 f(x)的可去间断点. 求, .解. x = 0 是 f(x)的可去间断点, 要求存在. 所以. 所以0 = = 所以 = 1.8= 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b 0, 求 a, b的值.解. 上式极限存在, 必须 a = (否则极限一定为无穷). 所以= . 所以 .7. 讨论函数 在 x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以 x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0 连续, 时, x = 0 为第一类跳跃间断点.8. 设 f(x)在a, b上连续, 且 a b, 试证在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .证明: 假设 F(x) =

3、f(x)x, 则 F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .10. 设 f(x)在0, 1上连续, 且 0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个, 使 f() = .证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于 0或恒小于 0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个, 使 f() = .11. 设 f(x), g(x)在a, b上连续, 且 f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个, 使f() = g().证明: 假设 F(x) = f(x)g(x), 则 F(a) = f(a

4、)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .12. 证明方程 x53x2 = 0 在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令 F(x) = x53x2, 则 F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个, 满足 F() = 0.13. 设 f(x)在 x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以. f(x)在 x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在 x = 0连续. 所以 f(0) = 3. 因为, 所以 , 所以10= 由 , 将 f(x)泰勒展开, 得, 所以 , 于是.(本题为 2005年教材中的习题, 2006 年教材中没有

5、选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则 = _.解. , 假设 , 则, 所以 2. 设 , 则 _.解. , 3. 设函数 y = y(x)由方程 确定, 则 _.解. , 所以114. 已知 f(x) =f(x), 且 , 则 _.解. 由 f(x) =f(x)得 , 所以 所以 5. 设 f(x)可导, 则 _.解. = + = 6. 设 , 则 k = _.解. , 所以 所以 7. 已知 , 则 _.解. , 所以 . 令 x2 = 2, 所以 8. 设 f为可导函数, , 则 _.解. 9. 设 y = f(x)由方程 所确定,

6、 则曲线 y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导 . 所以切线斜率. 法线斜率为 , 法线方程为12, 即 x2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设 f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则 f(0) = 0是 F(x)在 x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是= = = = = = 所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知 f(0) = 0, 所以= = = = = = = = 所

7、以 存在. (a)是答案.132. 已知函数 f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当 n为大于 2的正整数时, f(x)的 n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设 = , 所以= , 按数学归纳法= 对一切正整数成立. (a)是答案 .3. 设函数对任意 x均满足 f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中 a, b为非零常数, 则(a) f(x)在 x = 1处不可导 (b) f(x)在 x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在 x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在 x = 1处可导, 且 ab解. 在 f(1 + x) = af(x)中代入 = ,

8、所以. (d)是答案注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.4. 设 , 则使 存在的最高阶导数 n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以 n = 2, (c)是答案.5. 设函数 y = f(x)在点 x0处可导, 当自变量 x由 x0增加到 x0 + x 时, 记y 为 f(x)的增量, dy 为 f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 14解. 由微分定义y = dy + o(x), 所以 . (b)是答案.6. 设 在 x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0

9、, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在 x = 0处可导一定在 x = 0处连续, 所以, 所以 b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设 f(0) = 0, 则 f(x)在 x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的极限值为 , (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为 , 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定 存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在 排除(a)及(c). (d)中的极限存

10、在, 不一定 存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在证明如下:= = 15所以 存在.8. 设函数 f(x)在(, +) 上可导, 则(a) 当 时, 必有 (b) 当 时, 必有 (c) 当 时, 必有 (d) 当 时, 必有 解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为 , 所以对于充分大的 x, 单增. 如果 , 则证明结束, 否则 单增有上界, 则 存在(k 为有限数). 任取 x, 在区间x, x + 1上用拉格朗日定理(x 0且 . (d) f

11、(a) 0, , |f(x)| = f(x), 在 x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取 a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明 不存在. 不妨假设 . . 所以存在, 当 x (a, a + ) 时 . 所以当 x a时 , f(x) 0. 于是 . 当 x 0)解. 令 = 225. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 = 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 23解. 令 , = 四. 求下列不定积分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分:1. 解. 242. 解. = 3. 解. 4. 解.

12、六. 求下列不定积分:1. 解. 25= = = = = 2. 解. = 3. 解. 七. 设 , 求 .26解. 考虑连续性, 所以c =1+ c 1, c1 = 1 + c八. 设 , (a, b为不同时为零的常数 ), 求 f(x).解. 令 , , 所以= 九. 设当 x 0时, 连续, 求 .解. = = + = +c.十. 设 , 求 f(x).解.令 , 所以27所以 十一. 求下列不定积分:1. 解. 令 = 2. 解. 令 = 3. 解. + = = 4. (a 0)解. = 28= = = = = 十二. 求下列不定积分:1. 解. = 2. 解. = = = 29一若 f

13、(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数(x), 均有 , 则 f(x) 0.证明: 假设 f() 0, a 0. 因为 f(x)在a，b上连续, 所以存在 0, 使得在 , + 上 f(x) 0. 令 m = . 按以下方法定义a，b上(x): 在 , + 上(x) = , 其它地方(x) = 0. 所以.和 矛盾. 所以 f(x) 0.二. 设 为任意实数, 证明: = .证明: 先证: = 令 t = , 所以= 于是= 所以 = .所以 30同理 .三已知 f(x)在0，1上连续, 对任意 x, y都有|f(x)f(y)| 0, (0 0, 证明: 对于满足 0 1的任何 , , 有证明: 令 (x ), ., (这是因为 t , x , 且 f(x)单减).