1、第二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43209Udx，式中阴极板位于 0x，阳极板位于 xd，极间电压为 0。如果 V、1cmd、横截面 21cS，求：（1） 和 xd区域内的总电荷量 Q；（2） 和 d区域内的总电荷量 Q。解 （1） 4320()d9xS104.720C3USd（2） 43202d()d9QUxS10341().970Sd2.2 一个体密度为 732.3Cm的质子束，通过 1V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2m，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质量 271.0kgm、电量 19.60Cq。由2vU得 6
2、1.3v s故 08J 2Am26()Id2.3 一个半径为 a的球体内均匀分布总电荷量为 Q的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴。设球内任一点 P的位置矢量为 r，且 与 z轴的夹角为 ，则 P点的线速度为 sinrve球内的电荷体密度为 34Qa故 3sinsin4rraJvee2.4 一个半径为 a的导体球带总电荷量为 ，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴。设球面上任一点 P的位置矢量为 r，且 与 z轴的夹角为 ，则 P点的线速度为 sinavre球面的上电
3、荷面密度为 24Q故 2sinsin44SQaaJvee2.5 两点电荷 18Cq位于 z轴上 处， 2Cq位于 y轴上 4处，求 (4,0)处的电场强度。解 电荷 在 (4,0)处产生的电场为 113300(42)xzerE电荷 2q在 (,)处产生的电场为 2233004()xyqr故 (4,0)处的电场为 1202xyzeE2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷 l，求垂直于圆平面的轴线上 za处的电场强度 (0,)a，设半圆环的半径也为 a，如题 2.6 图所示。解 半圆环上的电荷元 dll在轴线上 z处的电场强度为 30d4()rEcosin)d82zxyl aee在半圆环上对上式积分，
4、得到轴线上 z处的电场强度为 (0,)daE20cosin)d8lzxyee0(2)8lzxae2.7 三根长度均为 L，均匀带电荷密度分别为 1l、2l和 3l地线电荷构成等边三角形。设 1l2l3l，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 tan026dL则 1 110 03(cos35)42l ly yEee 12 00in()8l lxyxyLLe33 3(cos)2l lxyxye故等边三角形中心处的电场强度为题 2.6 图题 2.7 图123E1100033()()88l l lyxyxyLLLeee104lye2.8 点电荷 q位
5、于 ,a处，另点电荷 2q位于 (,)a处，空间有没有电场强度 的点？解 电荷 在 (,)z处产生的电场为 12230()4xyzaeeE电荷 2q在 (,)xyz处产生的电场为 22230()xyzq(,)xyz处的电场则为 1。令 ，则有223()xyzaee223()xyzae由上式两端对应分量相等，可得到 3223()()yzxayz 22()xay 3223()zyzxayz 当 0y或 z时，将式或式代入式，得 0a。所以，当或 时无解；当 且 时，由式，有 33()2()xax解得 a但 32xa不合题意，故仅在 (,0)处电场强度 0E。29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面
6、密度为 。证明：垂直于平面的 z轴上 0处的电场强度 E中，有一半是有平面上半径为 3z的圆内的电荷产生的。解 半径为 r、电荷线密度为 dlr的带电细圆环在 轴上 0处的电场强度为 023d()zrEe故整个导电带电面在 z轴上 0处的电场强度为02321000d()()z z zrrEeee而半径为 0的圆内的电荷产生在 轴上 处的电场强度为题 2.10 图00 33 023210d1()()42zz zrrEeeeE2.10 一个半径为 a的导体球带电荷量为 Q，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度 B。解 球面上的电荷面密度为 24Qa当球体
7、以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 rae点处的电流面密度为 SzrJvresinsin4aae将球面划分为无数个宽度为 dl的细圆环，则球面上任一个宽度为dla细圆环的电流为 sidSQIJ细圆环的半径为 sinba，圆环平面到球心的距离 cosa，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为203dd()zIBe23023in8(ss)zae30sin8zQae故整个球面电流在球心处产生的磁场为 300sind86z zQQaaBee2.11 两个半径为 b、同轴的相同线圈，各有 N匝，相互隔开距离为 ，如题 2.11 图所示。电流 I以相同的方向流过这两
8、个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度 xe；（2）证明：在中点处 dxB等于零；（3）求出 b与 之间的关系，使中点处 22dBx也等于零。解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 203()zIae得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 203(4)xNIbde（2）两线圈的电流在其轴线上 x)0(处的磁感应强度为 2200323()()xIIbbxB所以 2005225dNd故在中点 x处，有题 2.11 图220055d33044xBNIbdIbd（3） 222721()()xxN2007253()IbdIbdx令 d22xB，有 414522即 22db故解得 2.12 一条
9、扁 平的直导体带，宽为 a2，中心线与 z轴重合， 通过的电流为 I。证明在第一象限内的磁感应强度为 04xB，021ln4yIrBa式中 、 和 如 题 2.12 图所示。解 将导体带 划分为无数个宽度为 xd的细条带，每一细条带的电流 aI2。由安培环路定理，可得位于 x处的细条带的电流 Id在点 ),(yxP处的磁场为00d24IBRa021()x则 sinx Iy02()ddco4y xa所以 024()axIBxy0rctanaIxy0rctnta 0att4Ixxyy021()04Ia2d4()ayIxBy 2ln()8axy20)ln8I01lIra题 2.12 图题 2.13
10、图2.13 如题 2.13 图所示，有一个电矩为 1p的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为 2p的电偶极子，位于矢径为 r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 121212403(sincoscs)rpF式中 1,rp， 2,， 是两个平面 (,)rp和 ,间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解 电偶极子 1在矢径为 r的点上产生的电场为 11530()4rpEA所以 1p与 2之间的相互作用能为 121215303()eWrrA因为 1,r， 2,rp，则11cos22A又因为 是两个平面 (,)r和 ,)间的夹角，所以有12122sincospp另一方面，利用
11、矢量恒等式可得 ()()rrAA12()rprA2112rp因此 1212()()()rp 122sincosp122cos于是得到 eW12304r( 12sincos12cos)故两偶极子之间的相互作用力为erqconstF20p( 12sis12s) 3d(r403pr( inco12cos)由上式可见，当 12时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14 两平行无限长直线电流 1I和 2，相距为 d，求每根导线单位长度受到的安培力 mF。解 无限长直线电流 1I产生的磁场为 0112IrBe直线电流 2I每单位长度受到的安培力为 01210dmzIdFe式中 12e是由电流 1I
12、指向电流 2I的单位矢量。同理可得，直线电流 1每单位长度受到的安培力为 022121mdF2.15 一根通电流 1I的无限长直导线和一个通电流 2I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为 ，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为 012(sec)mFI这里 是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流 1I产生的磁场为 012IrBe圆环上的电流元 2dIl受到的安培力为 012212dmyIIxFll由题 2.15 图可知 (sincos)xzaea所以 2012(i)d(cos)mzxIde201cosd()xaI012 0122()ex xaIdIe2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子 p绕坐标原点所受到的力矩为 ()rpEA。解 如题 2.16 图所示，设 dqpl()，则电偶极子 绕坐标原点所受到的力矩为 21()TrrEd)()()22qllllrrdd()2qlrlEr当 d1l时，有 ()()(2llErdrr故得到 ()(d()qqTllErrpA题 2.15 图 题 2.16 图
