1、第五讲 几何立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查知识点拨：一、 长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱c baH GFED CBA在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积： 2()Sabc长 方 体 ；长方体的体积： V长 方 体 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果
2、它的棱长为 a，那么： 26Sa正 方 体 ， 3Va正 方 体 二、圆柱与圆锥立体图形 表面积 体积圆柱hr 22Srh圆 柱 侧 面 积 个 底 面 积 2Vrh圆 柱圆锥hr 2360nSlr圆 锥 侧 面 积 底 面 积注： l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长213rh圆 锥 体例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为3，高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10 10 6 600【例 2】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左
3、右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】 原正方体的表面积是 44 6 96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又增加了 5 个边长是 1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形从而，它的表面积是：96 46 120 平方厘米【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右
4、、前后 3 个方向考虑变化前后的表面积不变：50 50 6 15000(平方厘米)【例 3】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为 4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从 3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：22 2 8(平方厘米 )；左右方向、前后方向：2 2 4 16(平方厘米)，1 14 4(平方厘米)， 124 1(平方厘米)， 144 1(平方厘米)，这个立体图形的表面积为： 64 1
5、 9(平方厘米).【例 4】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 2 增加的面数原正方体表面积：1 1 6 6(平方米)，一共锯了(2 1)(3 1) (4 1) 6 次，6 11 2 6 18(平方米)【巩固】(2008 年走美六年级初赛)一个表面积为 256cm的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是 2c【解析】 每一刀增加两个切面，增加的
6、表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 256318(cm)【例 5】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个 3的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2 块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为 54.【例 6】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b2h
7、 时，如何打包？当 b2h 时，如何打包？当 b2h 时，如何打包？【解析】 图 2 和图 3 正面的面积相同，侧面面积 正面周长 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2 的正面周长是 8h6b，图 3 的周长是 12h4b.两者的周长之差为 2（b 2h）.当 b2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当 b2h 时，按图 2 打包；当 b2h 时，按图 3打包.321h ba【巩固】要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】 考虑所有的包装方法，因为 6 12 3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高 11 6
8、 拼接，重叠面有三种选择，共 3 种包装方法.第二种按长宽高 1 2 3 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向的重叠面剩下 2 种选择，一共有 6 种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.【例 7】 如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的， “压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右
9、、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向： 520(平方分米)；侧面： 5410(平方分米)，46(平方分米)这个立体图形的表面积为： 51062(平方分米)【例 8】 (2008 年“希望杯”五年级第 2 试)如图，棱长分别为 1厘米、 2厘米、 3厘米、 5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米【解析】 (法 1)四个正方体的表面积之和为： 22(135)63924(平方厘米)，重叠部分的面积为： 22 213()1(19140(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为： 3409(平方厘米)(法 2)三视图法从前后面观察到的面积为 2253
10、8平方厘米,从左右两个面观察到的面积为534平方厘米，从上下能观察到的面积为 平方厘米表面积为 825194(平方厘米)【例 9】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面 个左面 2个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为： 8 平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为： (9810)254(平方厘米)上下面 左右面 前后面【巩固】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形
11、的表面积是多少平方厘米?【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成该图形的表面积等于 (97)246个小正方形的面积，所以该图形表面积为 46 平方厘米【例 10】 有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【解析】 4(1234)56(平方米)【例 11】 棱长是 m厘米（ 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 3:2，此时 m的最小值是多少?【解析】 切割成棱长是 1 厘米的小正方体共有 3m个，
12、由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为 3:2，而 125，所以小正方体的总数是 25 的倍数，即 3是 25 的倍数，那么m是 5 的倍数当 时，要使得至少有一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有 54265个，表面没有红色的小正方体有12560个，个数比恰好是 13:，符合题意.因此， m的最小值是 5【例 12】 有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼成一个 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方体的表面
13、上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 3(42)8(个) ，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 2(4)64(个)，其中 308个用黑色这样，在表面的 9个 1的正方形中，有 22 个是黑色， 96274(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只
14、有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是 28396厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是 9642厘米因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是 9 厘米、8 厘米、7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个 87面，有 56个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个 87面，有 21个；若两面相邻，应涂一个87面和一个 97面，此时有 792105个，所以涂两面的最少有 105 个；涂三面的长方体，若三
15、面不两两相邻，应涂两个 面、一个 97面，有 89417个；若三面两两相邻，有 188146个，所以涂三面的最少有 146个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有 561037个【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为 1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是 1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于 1 的情况当长方体的长、宽、高中有一个是 1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方
16、体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，设 10ab，那么分成的小正方体个数为21242104abab，为了使小正方体的个数尽量少，应使 ab最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当 时它们的和最小，此时共有104个小正方体当长方体的长、宽、高都大于 1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉 8 个顶点所在的小正方体后 12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，所以长方体的长、宽、高之和是 10423由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令 37，此时共有 27108个小正方体因
17、为 8，所以至少要把这个大长方体分割成 108 个小正方体【例 15】 把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图） 因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红色方格（见上中图） 因为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红
18、色方格（见右上图） 所以，红色方格最多有522（个） （另解）事实上上述的解法并不严密， “如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明 2是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方： 如图，每个角上三个方向的 3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方格染成红色如图，阴影部分是首尾相接由
19、 9个方格组成的环，这 9 个方格中只能有 4个方格能染成同一种颜色(如果有 5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道） ，涉及的 18个方格中最多能有 8个可染成红色剩下 638921个方格，分布在 6条棱上，这 2个格子中只能有 6个能染成红色综上所述，能被染成红色的方格最多能有 8个格子能染成红色，第一种解法中已经给出2个红方格的染色方法，所以 个格子染成红色是最多的情况【例 16】 一个长、宽、高分别为 21厘米
20、、 5厘米、 12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于 21:57:4，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为 7厘米、 5厘米、 4厘米的长方体.因为 54，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是 4厘米，第二次切时，切下棱长为 3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为 2厘米的正方体符合要求那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是 12 厘米、9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体积应是：
21、33215296107（立方厘米）.12129996663121263912【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标 A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木 17 块.【巩固】这个图形，是否能够由 12的长方体搭构而成？【解析】 每一个 12的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有 17块，白色积木有 15 块，所以该图形不能够由 12的长方体搭构而成 .【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的
22、数字)先将写着 2 的立方体与写着 1 的立方体的三个面相邻，再将写着 3 的立方体写着 2 的立方体相邻(见左下图)依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?332233 2 3 322323 11 1 111【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多 1(见下图)7 6 54345656 5 432345434 32 12345上面的 9 个数之和是 27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是 27同理，下面的 9 个数之和是 45，下面、左面、后面的所有数之和都是 45所以六个面上所有数之和是(2745)3216【例 18】 (05 年武汉
23、明心杯数学挑战赛)如图所示，一个 5的立方体，在一个方向上开有 15的孔，在另一个方向上开有 215的孔，在第三个方向上开有 315的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了 315的孔，挖去 315，开了 15的孔，挖去 4；开了 2的孔，挖去 2()6，剩余部分的体积是： 5(146)0(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为： 2410求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为 561238，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为 210、2153132、 154，所以总的表面积为8040(另解)运用
24、类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向： 32 上下方向： 0 左右方向： 401 12 2 11 1 2 12 2 2 21 1 2 112211221 12 1 11111 2221111 1121121 12 1 12 2 2 22 2 22 2 2 211211 22总表面积为 2304【总结】 “切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】 （2008 年香港保良局第 12 届小学数学世界邀请赛）如 图 ， 原 来 的 大 正 方 体 是 由 1
25、25个 小 正 方 体 所 构 成的 其 中 有 些 小 正 方 体 已 经 被 挖 除 ， 图 中 涂 黑 色 的 部 分 就 是 贯 穿 整 个 大 正 方 体 的 挖 除 部 分 请 问 剩 下 的部 分 共 有 多 少 个 小 正 方 体 ？8【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法” ，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的） ，然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分12345从图中可以看出，第 1、
26、2、3、4 、5 层剩下的小正方体分别有 22 个、11 个、11 个、6 个、22 个，所以总共还剩下 67（个）小正方体【巩固】一个由 125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有 52个，由侧面图形抽出的小正方体有 52个，由底面图形抽出的小正方体有 40个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 18个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有 1327个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 127个，三个面的图
27、形共同重合抽出的小正方体有 4 个根据容斥原理， 2508752，所以共抽出了 52 个小正方体2573，所以右图中剩下的小正方体有 73 个注意这里的三者共同抽出的小正方体是 4 个，必须知道是哪 4 块，这是最让人头疼的事但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙” 这里，化虚为实的思想方法很重要解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：从上到下五层，如图：或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右
28、向左的两块成线地挖走 (请注意挖通的效果就是成线挖去 )，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！ )挖成线！如图：【例 19】 （2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的 2 倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 倍 【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是，四个侧面是，两个斜面是对
29、于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到( 如下左图，切去 1ABD、1CBD、 1A、 1BC)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到(如下右图，切去 、 )D1C1B1A1DCBAAB CDA1B1 C1D1假设左图中的立方体的棱长为 a，右图中的立方体的棱长为 b，则以为平面展开图的立体图形的体积为： 3234a，以为平
30、面展开图的立体图形的体积为 32312bb由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形的边长，通过将等腰直角三角形分成 4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2 倍，即 2ba那么以为平面展开图的立体图形的体积与以为平面展开图的立体图形的体积的比为： 33312:1:6aba，也就是说以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 16 倍【例 20】 图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的
31、几倍？图 图【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图 图对于这类题目，一般采用“套模法” ，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手我们把图中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图与图的图形位置的微妙关系：136060图 图由图可见，图这个立体的体积与图这个被切去了 8 个角后的立体图形的体积相等假设立方体的 1 条边的长度是 1，那么一个角的体积是 112348，所以切掉 8 个角后的体积是 5846再看图中的正四面体，这个正四面体的棱
32、长与图中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为 12的立方体来套如果把图的立体图形放入边长为 12的立方体里的话是可以放进去的12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为 148，所以图的体积是：114282，那么前者的体积是后者的 5206倍【例 21】 如图，用高都是 米，底面半径分别为 1.米、 米和 .米的 3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米？( 取 3.4)1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为 23.145.13(立方米)，侧面积为23.14(0.51.)8.4(立方米)，所以该物体的表面积是 14.38.2.97(
33、立方米)【例 22】 有一个圆柱体的零件，高 0厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深 5厘米(见右图)如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为 26610()45601829307.2(平方厘米)【例 23】 (第四届希望杯 2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为 10 厘米和 12 厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是_立方厘米(结果用 表示)【解析】 当圆柱的高是 12 厘米时体积为 2103()(立方厘米)当圆柱的高是 12 厘米时体积为 26()(
34、立方厘米 )所以圆柱体的体积为 30立方厘米或 360立方厘米【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积( 3.14)16.56m【解析】 圆的直径为： 16.53.14(米)，而油桶的高为 2 个直径长，即为： 428(m)，故体积为10.48立方米【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( 3.4)10cm【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，
35、则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2106.8(厘米)，原来的长方形的面积为： 1046.85（ ） （ ） (平方厘米)【例 25】 把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少 12.56平方厘米原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】 沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2 厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为 12.56.8厘米，底面半径为6.28314厘米，所以原来的圆柱体的体积是 25.1(立方厘米)【例 26】 一个圆柱体的体积是 50.24立方厘
36、米，底面半径是 2 厘米将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ( 3.14) 【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积(法 1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径可知，圆柱体的高为 250.243.14(厘米)，所以增加的表面积为 2416(平方厘米)；(法 2)根据长方体的体积公式推导增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积由于长方体的体积与圆柱体
37、的体积相等，为 50.立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为 3.1426.8厘米，所以侧面长方形的面积为 50.2468平方厘米，所以增加的表面积为 8平方厘米【例 27】 (2008 年”希望杯”五年级第 2 试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_ 立方厘米( 取 3.14)8(单 位 ： 厘 米 )4106【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为 6厘米的圆柱，空气部分构成高为 1082厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为： 24()6)3.4.(立
38、方厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图已知它的容积为 26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的 623倍所以酒精的体积为 326.462.17立方厘米，而 62.17立方厘米 62.17毫升 0.17升【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为 10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是 7cm4cm5cm【解析】 由已知条件知
39、，第二个图上部空白部分的高为 752c，从而水与空着的部分的比为 4:21，由图 1 知水的体积为 104，所以总的容积为 40160立方厘米【例 28】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今将一个底面半径为2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米？【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：225117.2(厘米)它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中于是所求的水深便是 17.2厘米【例 29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次
40、是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是 1:2，所以底面面积的比是 1:4铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 ，即 20.5(厘米)【例 30】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的 13，乙容器中水的高度是锥高的 23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？【解析】 设圆锥容器的底面半径为 r，高为 h，则甲、乙容器中水面半径均为 23r，则
41、有 213Vrh容 器 ，221831Vrh乙 水 （ ）， 222119338Vrrh甲 水 （ ） ，2981rh甲 水乙 水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的 倍【 例 31】 (2008 年 仁 华 考 题 )如 图 ， 有 一 卷 紧 紧 缠 绕 在 一 起 的 塑 料 薄 膜 ， 薄 膜 的 直 径 为 20 厘 米 ， 中 间 有 一 直 径为 8 厘 米 的 卷 轴 ， 已 知 薄 膜 的 厚 度 为 0.4厘 米 ， 则 薄 膜 展 开 后 的 面 积 是 平 方 米 20cm 8cm100cm【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22840(立方厘米)，薄膜展
42、开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为 0.4厘米，所以薄膜展开后的面积为840.65940平方厘米 659平方米另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为22084(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为 0.4厘米，所以长为 84.6594厘米，所以展开后薄膜的面积为65941平方厘米 65.9平方米【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽这里的宽就是纸的厚度，而
43、面积就是一个圆环的面积因此，纸的长度 ： 223.14093.140. 7143.5纸 卷 侧 面 积纸 的 厚 度(厘米)所以，这卷纸展开后大约 7.米【例 32】 如图， ABC是直角三角形， AB、 C的长分别是 3 和 4将 ABC绕 旋转一周，求 ABC扫出的立体图形的体积( 3.14)CB A 43【解析】 如右上图所示， AC扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为 3，高为 4，体积为： 2134137.68【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为 cm， 4， 5c，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( 取 3.1)【解析】 以
44、 3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 ，高是 3cm的圆锥体，体积为231.450.4(c)以 c的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 3c，高是 4c的圆锥体，体积为2313.47.68(c)以 5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高 3452.cm的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为 213.450.1(c)【巩固】如图，直角三角形如果以 BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16，以 AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12，那么如果以 AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【解析】 设 BCa， Ab，那么以 B边为轴旋
45、转一周，所形成的圆锥的体积为23ab，以 AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为23ab，由此可得到两条等式：24836ab，两条等式相除得到 43ba，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到 34ab，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB的长度为 5，那么斜边上的高为 2.4如果以 AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为2.4，高的和为 5，所以体积是2.49.63【例 34】 如图， ABCD是矩形， 6cm， 10cAB，对角线 AC、 BD相交 O E、 F分别是 AD与的中点，图中的阴影部分以 EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形
46、的体积是多少立方厘米？( 取 3)OFAB CDEOFAB CDE【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形两个圆锥的体积之和为 213509(立方厘米)；圆柱的体积为 2307(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为 9018(立方厘米)【巩固】(2006 年第十一届华杯赛决赛试题)如图， ABCD是矩形， 6cm， 10cAB，对角线 AC、BD相交 O图中的阴影部分以 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？DCBAO【解析】 设三角形 CO以 D为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是 V，则 等于高为 10 厘米，底面半径是 6 厘米的圆锥，减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积后得到所以， 211603903V(立方厘米)，那么阴影部分扫出的立体的体积是 218054V(立方厘米)【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积【解析】 先求表面积表面积可分为外侧表面积和内侧表面积外侧为 6 个边长 10 厘米的正
