1、中学生数学解题能力训练第 9 讲 寻找解题途径-连比设为 k应知：设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。应会：利用辅助量。如果不能直接利用你已解决过的问题的结论或方法？，引入辅助量后能利用吗？辅助量包括几何中的添加辅助线，解析几何中的设置参数，代数和三角中的把比值设为 k，降次，分式变整式，根式变有理式，超越式变代数式，求函数表达式等等。设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。1连比设为 k例. （初二）已知 ，求 的值。432zyx22zyx解：设 ，则 ，zkk4,3,代入 得 。22yx29622zyx点评：对于已知条件是一串等比式的问题，常如本题这样设其比值为 ，
2、以便把有几k个变量的问题转化成一个变量 的问题，从而使问题易于解决。k例. （高一）若 x 为实数，则 不可能有介于 b、c 之间的实数12)(cbx值，试证明之。分析：本题关键在于设 。cb证明：设 ，则 ，kcx2 02kcbkx 为实数 ， ，即 ，02)( 此不等式是关于 的对称不等式，故不妨设 ，则 或 ，b、 bck 不可能有介于 b、c 之间的实数值。k点评：题目中并没有声明 b、c 中谁大，所以必须对其大小进行讨论。例. （高一）在 ABC 中， A: B: C=4:2:1，求证：其中 a、b、c 分别为A、 B、 C 的对边。证明：设 A=4 ，B=2 ，C= ，则 4 +2
3、 + = ，即 7 = ，由正弦定理有 )2sin1si(21Rba )2sin4i(R)37co 3co)sisin( in21 。cba1（第 2 课时）点评：注意成比例的几个量的设法。习题：1 （初二）已知 ，且 各不相等，求 的值。aczbyaxcb、 zyx2 （初二）已知 ，求证 xybazxcyzbx)()()( 022zy3. (初二) 设 ，求 的值。adcbadcb4 （高三）已知 是复数，且 ，求 的值。dcba、 adcbadcb中学生数学解题能力训练参考答案：1 （初二）已知 ，且 各不相等，求 的值。aczbyaxcb、 zyx解：设 ，uc则 ux)(byaz两边
4、相加得 。0zy点评：遇到连比的题目，可以设此连比为的比值为 k（或用其他字母表示） 。2 （初二）已知 ，求证 xybazxcybx)()()(022zy证明：由题给等式可知 ，0, 题给等式分子分母分别同乘 得 ，zy、 xyzbaxyzcz)()()( 222令 ，txbaxzcyxzb)()()( 222则 tay2yztz)(两边相加得 ，0)(22 xyztbacbx3. (初二) 设 ，求 的值。adcbd分析：可设 做为辅助元，同时应注意 。akk解：设 ( )，则 ，cd0,bcda上述四个等式两边分别相乘得： ， 。adc41当 时， ，原式= ；1kba2当 时， ，原式= 。d04 （高三）已知 是复数，且 ，求 的值。cba、 adcbadcb解：设 ，则 ，kd2)(, kkd， ，32)(akcb43)(ab ， ， ，0a14k ikik4321,又 323aadcb 当 时，原式= ；k12当 时，原式= ；103当 时，原式= ；ik 12iii当 时，原式= 。013点评：此题容易遗漏部分解，有的只得出一个值“2” ，有的只得出“2”和“0” 。
