1、第六章 代数模型线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.6.1 投入产出模型6.1.1 投入产出表及其相关概念在对某地区作经济分析时，把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投入,例如：原材料，设备，能源等. 而各经济部门在进行经济活动时的成果称为产出.如，产品.农作物等.反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型称为投入产出模型.投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里列昂节夫(Wassily Leontief)于 1936 年所创建，并于 1973 年获得诺贝尔经济学奖.投
2、入产出模型由投入产出表 (或称平衡表)与平衡方程构成，按计量单位分为价值型和实物型. 我们在这里只介绍价值型投入产出表.投入产出表通常是以年度为单位编制的.规模可以是全国，也可以是某地区或某企业.表 6.1.1 是一张价值型投入产出表.表 6.1.1 价值型投入产出表消 耗 部 门 最 终 产 品部门间流量1 2 n 消费 积累 出口 合计总产品生产部门12nx11x21xn1x12x22xn2x1nx2nxnny1y2ynx1x2xn劳动报酬 v1 v2 vn纯 收 入 m1 m2 mn净产值 合 计 z1 z2 zn总产品价值 x1 x2 xn最终产品是指本年内不再加工，可直接提供给人们消
3、费或积累或出口的产品; 本年内需再加工的产品称为中间产品;纯收入是指利润与缴税款; 净产值是指劳动报酬与纯收入之和,也即总产值减去中间消耗; 价值型投入产出表以货币单位为计量单位; 总产品是指每个部门的全部产品,在价值型投入产出表中,也即是每个部门的总产值.投入产出表主要由三大部分组成.第一部分是表中左上部分,部门间流量 xij .我们把国民经济分解为 n 个部门，每个部门都有双重身分.一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品.另方面，它的产品也要分配给各部门使用.用表示部门 j 在本年度生产过程中对部门 i 的产品的消耗价值量.ijx也即是本年度内部门 i 分配给部门 j 的产品价值量.称为
4、部门间流量.例如 x 23=560(万元),表示本年度内生产部门 2 分配给生产部门3 的产品价值量有 560(万元);同时,也说明本年度内生产部门 3 消耗了生产部门 2 提供的 560(万元)的产品.第二部分是表中右上部分,最终产品 . 表示部门 i 的总产值iyi扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量.第三部分是表中左下部分,净产值 Zj. 设部门 j 的劳动报酬为 ，jv纯收入为 ，则 ,j =1,2,n.jmjjmvz另外,部门 j 的总产值记为 xj，j=1，2， ，n.投入产出表具有两个平衡关系:由此获得两个平衡方程.分配平衡方程: , (6.1.1)1, 1,2,nijii
5、jxyxn反映部门 i 的分配情况.消耗平衡（价值结构）方程: , (6.1.2)1 1,2nijjjixzn反映部门 的消耗情况.从(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得总产品=中间产品+最终产品总产值=中间消耗的价值+净产值综合平衡方程 , (6.1.3)njjmiizy116.1.2 直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念. 部门 j 所生产的单位价值的产品对部门 i 的产品的直接消耗量为(6.1.4), 1,23,ijijjxaij n，称为部门 j 对部门 i 的直接消耗系数，而 称为直接消nij)a(A耗系数矩阵，a ij 的大小在很大程度上
6、反映出部门 j 对部门 i 的依赖程度.从(6.1.4)得 ，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)jiijxa(6.1.5)1, 1,23,nijiij yxn设 ,得 AX+Y=X， 即 TnTn ),.y(Y)x,.(X221 ,(I-A)X=Y (6.1.6)再由(6.1.2)得(6.1.7)1, 1,2,njijjjixazxn(6.1.8)10, ,njijjj可见 aij 具有性质：(1) ，10ij(2) , 即 A 矩阵每列的列和均小于 1.1, 2nijan(3) aij 比较稳定，生产规模的变化对其影响不大.以下我们证明一个结论.证明：(反证法) 设 |I-A|=0 ，则
7、 I-A 各行向量线性相关从而有不全为 0 的系数 ，使nd,.21 0.,0,a.a. aad,.,d nnkn kk nknk 11 1121令 ，则 ( 不全为 0)i,dmaxdikkd0i上述方程组中第 k 个方程为 0.1.21 nkkkk ada解出 inikkdd1( )knikniiknikk daa 111 1niika， 矛盾，说明 ， 必存在.证毕.kkd0AI1AI从而(6.1.6)可写成(6.1.9)YIX1定理 6.1.1 必存在.1AI模型(6.1.9)的作用.此式当然是已知 A 与 Y，求 X，但你可能会说必须先有 X 才能求出 A. 通常的做法是利用上一年的
8、直接消耗系数矩阵 A 略作修改 (常用 RAS 方法修改 A)后，作为本年度的 A，再给出本年度的最终需求 Y，进而求出本年度各部门的总产值 X，以此为生产计划的依据.6.1.3 完全消耗系数完全消耗=直接消耗+间接消耗自行车钢材轮胎设备电钢电橡胶电钢材电生铁电煤电钢电第一次间接消耗直接消耗第二次间接消耗图 6.1.1证明: 先定义一个矩阵范数，设有实矩阵 ，定义()ijmnBb,11()maxijjniNB即各列元素之和的最大值. 则()max()ax()()ax)()ikj ikj kjj j ji kNABbbNAbNAB 2232 23()(), ()()()()()NA由数学归纳法可
9、得 .,1,kk, 01 0()ija， ()0 ,()kNA从而 , )(kAk零 矩 阵又因 12( kIAII令 , 得 .k IAI )(32 10()kI11()0kCIAIA证毕.设 ，则其经济含义是什么？()kjnCc由(6.1.9)得 YCIYAIX)()(1特别令 , 则0TjY 定理 6.1.2 设 A 是直接消耗系数矩阵 , .0,)(1CIAIC则0100101 njkjjnjkjj CCX, (6.1.10)( 1jkxjkjk(6.1.10)式说明了为了使部门 j 多生产 1 个单位价值的最终产品,部门 k 就要多生产 Ckj 个单位价值的周转产品供各部门生产过程消
10、耗用,这种消耗包含了直接消耗与间接消耗,故我们把 Ckj 称为完全消耗系数,矩阵 C 称为完全消耗系数矩阵 .各次间接消耗又是与直接消耗密切关联的.可以证明：一般第 k 次间接消耗系数矩阵为 Ak+1.因此, 完全消耗系数矩阵= .23()AC 例 6.1.1 设有一个经济系统包含三个部门, 在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵 A 与最终产品 Y 已知为 1759024 ,.01.2.5.算出 16072098341689)(1AI完全消耗系数矩阵2691702834698)(1IAIC各部门总产值是 TYAIX )30,25,40()(16.2 效益分配模型例 6.2.1 设有甲、乙、丙三
11、人经商，若各人单干，则每人仅能获利 1 元；若甲乙合作,可获利 7 元,甲丙合作可获利 5 元，乙丙合作可获利 4 元，三人合作可获利 10 元.问三人合作时应如何合理分配 10 元的利益.由题可见，有甲参加的合作，获利最大，7+5=12，有乙参加的合作，获利次之，7+4=11 ，有丙参加的合作，获利最小，5+4=9，可见，在合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小.故在分配利益时，应考虑与贡献联系起来.具体如何分配，这方面的问题就是 n 人合作对策问题.6.2.1 n 人合作对策与特征函数设有 n 个局中人的集合 I=1，2，n，对 I 中任一子集S，定义一实函数 V(S)满足条件：（a） =0
12、; )(V（b） 当 时，ISS2121,(称为超可加性 )()(2121SVSV二元体I，V称为一个 n 人合作对策 , V(S)称为该对策的特征函数，描述合作的效益.在例 6.2.1 中，V(甲)=V( 乙)=V(丙)=1， V(甲乙)=7V(甲)+V(乙)，V(甲丙)=5V(甲)+V(丙)，V(乙丙)=4V(乙)+V(丙).5(6810( 甲 ）乙 丙 ） 乙 ）甲 丙 ） 丙 ）甲 乙 ）甲 乙 丙 ） VV注： 条件(b)描述了“团结力量大”的道理. 在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益. 有时也称 V 为合作对策.6.2.2 n 人合作对策的解n
13、 人合作对策的解-对 V(I)的一个分配方案.用 表示局中人 i 从合作 V 中获得报酬， 为)V(i )(,)(,()21VVn一个分配方案，则 至少应满足：)(i 个体合理性： , 即合作优于单干)i(iI 总体合理性： IiV一般地，n 人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解. Shapley 在 1953 年提出了 Shapley 值三公理. 对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为 I 的一个排列，则 (i=1，2，n) )(Vii其中 V 为重排序后的特征函数. 为重排后原局中人 i 的新编i号;有效性.(a)若成员 i 对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的
14、分配应为 0. 即若 ，V(S)=V(S-i)，则 . IS0)V(i(b)完全分配 ;ni )I(V1可加性 对 I 上任意两个特征函数 U 与 V()()()U即若 n 人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.满足上述三公理的 称为 Shapley 值，Shapley 证明了对任)V(i一 n 人合作对策，Shapley 值是唯一存在的且(6.2.1)()()(), 1,2,iiSIVWSiin其中 , 为集 S 的元素个数, (6.2.1)给出了合()!(1|)nWS理的分配方案. 有 2n-1 项求和.特别对于三人合作对策,设 ，现有合作 V, 记 u1=V(A), ,IA
15、BCu2=V(B), u3=V(C), u12=V(AB), u13=V(AC), u23=V(BC), u123=V(ABC). 考虑含 A 的集合有1234, , , ,SSABSACSABC相应的四项： 11213123, (), (), ()366uuuu类似可得其他，综合可得, (6.2.2) )(61)(31)( )(6)(3)( 2123213 3123312 32132231 uuuV uuuVCBA例，在例 6.2.1 中, 104571 2323132321 uuuu,u ，代入(6.2.2)得分配方案 4,.,.ABC二人合作的分配公式：(6.2.3)1221()()AB
16、Vu6.2.3 应用实例例 6.2.2 有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、 B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A 、B 距离为 20公里,B、 C 距离 38 公里.设 Q 为污水流量(m 3/s),L 为管道长度(km).假设建污水厂费用为 Cl=730Q0.712(千元),而建管道费用为C2=6.6Q0.51L(千元 ),已知三城的污水流量分别为 QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理(单独设厂还是联合设厂 ),可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应各为多少? (参见图 6.2.1)解题思路：合作可省钱把省钱视作获利计算获利的分配导出费用的分担.以下分别计算与
17、比较各方案的效益. 538635015962 6027304 129653 037021 51712071712 ) .(BB,A .C .A . （比 各 自 建 厂 节 省 管 道 费建 厂 费投 资 处 建 厂合 作 ， 在）（ 自 建 厂 的 投 资）（ 自 建 厂 的 投 资）（ 自 建 厂 的 投 资）（(5)A 与 C 合作，在 C 处建厂投资= 4180565730107120 .)(.)( A 与 C 分别建厂的投资 9.26.592小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为 0.(6)B 与 C 合作，在 C 处建厂上游 下游QA=5 QB=3 Qc=5A B C2
18、0km 38km图 6.2.1投资 9364783653705107120 )( 比分别建厂节省 2.4).299( (7) A,B,C 合作建厂在 C 处投资 0583560565370 51017120 .)(.)(.)( . 比各自建厂节省 2.8)29.9综合上述可知，最佳方案(节省最多 )的方案是三城合作建一厂，共节省 630.2(千元)，这合作的获利如何分配呢？现把节省的钱作为获利,则，2630 24 0 538 0 1231312321 .u,.u,.u,u 代入(6.2.2)得 9.126.435.82.60)( 7.3. 6.965.83.42.60)( VVcBA从而三城投
19、资的分担分别是296.1()29.12.103.55034.783. .AABcT 6.3 森林管理模型6.3.1 问题描述森林中的树木每年要有一批被砍伐出售，为使这片森林不被耗尽而且每年有所收获，每砍伐一棵树，应该就地补种一棵幼苗，使森林数目的总数保持不变.我们希望找到一个方案，在收获保持稳定的前提下，获得最大的经济价值.6.3.2 模型假设(1)把森林中树木按高度分为 n 级，第 k 级的高度在 之间),1kh.第 1 级是幼苗，第 k 级树木的单位价值为 ;)0(h 1,0,kpp(2)开始时，第 k 级树木的数量是 棵,每年砍伐一次，第 k 级kx砍伐 棵， =0.为使每年维持稳定的收
20、获 .故每年砍伐后留下的树ky1木与补种的幼苗.其状态与起始时相同（即各等级树木的数量相同）;(3)森林中树木总数是 s，假设每一棵树木都可从幼苗长到收获，且砍伐一棵补种一棵幼苗.故总量保持不变.即 ;1nkxs(4)树木每年至多生长一个高度级，第 k 级树木进入第 k+1 级的比例为 ,留在原级的比例为 .kg kg16.3.3 建立模型表示本年未砍伐时第 k+11,(,2,)kkxn级新增的树木数 （最顶级不会再长）由假设（2）0ng，k=1,2,，n-1 (6.3.1)110kkkygxxk 是决策变量，可控制使其满足此不等式.（6.3.2）12xgyyn(幼苗长为 2 级的数量) 总收
21、益 npyypp12123234341()()()npgxgxgxgx1) ()n于是得优化模型为：（6.3.3）1111max() ).0nkknnk kkkppgxssstgxn， 等 价 于， (=,2-， 整 数 )另方面，我们可把变量 xk 转化为 yk. 从（6.3.2）式得 )(gn321代入(6.3.1) 又得 22xy232yn)(1432 nygx同理得 12(), 1,2kknykn 此时， =1321nxxnnnn ygyygygyyg 15434324321 )(1)(1)( = ny ) 121432132121 这样，模型（6.3.3）等价于(6.3.4)212m
22、ax().0, ,nknkkjjkpysgstyny 1整 数 （ =） =06.3.4 特殊解法模型（6.3.4）若忽略整数约束，就是除非负要求外只有一个不等式约束的线性规划.这种情况是很容易求解的.一般地我们有如下结果：定理 6.3.1 对于如下形式的线性规划模型n,.jxsa.tsxcfmxjnjjjnj21 011其中， ，都是正数.若 ，则其最解 为: jcas, max|1,2jkcn x0，其它 (j k), 最优值为kx0xj0 sac)(fk0证明：显然 是可行解且0 sac)x(fk0现设 x 为任一可行解，则 )x(fsacxac)x(cx)(f kjnjkjnjjnj
23、0111 故 是最优解. 证毕.x0例 6.3.1 32101086321,jxx.tsfma解：max(6/3=2,8/2=4,3/1=3)= 8/2，s=10故最优解为： ,最优值为：00213/5,xx 0 ()4fx例 6.3.2 设某森林有 6 年生长期，s10000, g1=0.28, g2=0.31, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, g6=0; p1=0, p2=50, p3=100, p4=150, p5=200, p6=250; 问如何砍伐才能使持续经济效益最大？解：把数代入模型（6.3.4）得 23456max 50150203.76.8.791.7.
24、8410. ,6kfyyystk现忽略整数约束，得： 50150250max,max14, .7, 13.9, .2, 14.73.76.8.791.47.8最优解 ,0. 003jyy其 余即 0 ,47531.0 ,5248.010203 jxyxyx 其 余即把长到第三年的树全部砍伐光，可使持续效益最大.6.5 指派问题（用 ppt）6.6 生产配套模型6.6.1 问题描述设某厂有 n 个车间，要生产 m 种产品，车间 j 一天生产产品 i至多 aij 件（即全天只安排生产产品 i 而不安排生产其他产品时的最大产量） ，假设这 m 种产品第 i 种需 bi 件配成一套，问如何安排生产任务
25、才能使车间一天产出的成套产品最多？（i=1,2,.,m； j=1,2,.,n）6.6.2 建模以一天为制定生产计划的时间单位.xij -车间 j 安排生产产品 i 的时间比例aij-车间 j 生产产品 i 的效率-车间 j 生产产品 i 的产量ijijxy-全厂产品 i 的总产量njij1Z- 全厂一天生产的成套产品数目因全厂每天要产出 Z 套产品, 故其中产品 i 的数量要满足-配套约束),2,1( ,1 miZbinjijy由于每个车间都是对一天时间进行分配,把其分配给各种产品,故满足-时间约束),21( ,11 njxanijniijy则有模型(6.6.1)整 数整 数,0),21;,2
26、1(,), ,21( ,. max11ZnjmiynjaiZbytsijniijijnjiij 这是一个整数线性规划模型.例 6.6.1 aij 如下：车间 1 车间 2 车间 3产品 A 3 5 6产品 B 7 4 5产品 C 4 6 8bi=1,(i=1,2,3).为了表达简练起见,把变量统一为单下标变量.设分别为Zyy,321321321 xx,10987654321则模型由（6.6.1）变为(6.6.2)(6.6.2)10231045678910147258369max/./ 0(1,2.0)jfxxxstxj,整 数去掉分母得 10231045678910147258369max4.
27、02 (1,.0)jfxxxstxj,整 数借助于数学软件解出 X=(0,5,1,6,0,0,0,0,6,6)，即 车间 1 生产 6 件 B，车间 2 生产 5 件 A，车间 3 生产 1 件 A 与 6 件 C，最后全厂产出 6 套产品.6.6.3 应用案例现有一批原料钢板共 36 件，尺寸都是 200cm100cm. 欲切割成配套零件，每套需规格为 80cm80cm 的零件 5 件与100cm40cm 的零件 8 件. 研究该批钢板最多能切割出多少套零件，并求产出最多套又最简单的切割方案. 切割方式 - 一件板料上的切割方法切割方案 - 多个切割方式的组合把 80cm80cm 的零件简称
28、为 A，100cm40cm 的零件简称为 B. 先设计出 3 个切割方式如下：方式 1：2A+B; 方式 2: A+3B; 方式 3: 5B.设方式 i 使用原材料 xi 件(i =1,2,3)，共切割出 y 套，根据题意，得数学模型：12312ma5 (1)82. 6 (),0,1,3jyxyxstyxj得： ，结合（3）得 ，2(1)21235()8y56/180y即最多只可能切割出 10 套，若 y=10 时，以上模型有解，则说明确实能切割出 10 套.y=10 时, 模型的约束条件变为1231250 860,(1,23)jxxxj容易验证，若只用一种切割方式(即有两个变量为 0),则无解。可见，最简单的切割方案也要使用两种切割方式作组合。时无解；10x时有解 ；21235,0,1xx时有解 . 3x4这两个都是产出最多套（10 套）又最简单的切割方案。
