1、数学分析教案- 1 -第十七章 多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 1 可微性 一 可微性与全微分： 1 可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 .2 全微分: 例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: P109 图案 171. 数学分析教案-
2、2 -3. 求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109110 例 2 , 3 , 4 .例 5 . 求偏导数.例 6 . 求偏导数.例 7 . 求偏导数, 并求 .例 8 . 求 和 .解 = ,= .例 9 证明函数 在点 连续 , 并求 和 .证 . 在点 连续 .,数学分析教案- 3 -不存在 . 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点. 在点 可微 ,和 存在 , 且. ( 证 )由于 , 微分记为. 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数在原点的可微性 . 1P110 例 5
3、. 2. 充分条件: 数学分析教案- 4 -Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 .证 .即 在点 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续 . (简证,留为作业)证 数学分析教案- 5 -因此 , 即 ,在点 可微 , . 但 时, 有,沿方向 不存在, 沿方向 极限不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 和 对称, 也在点 处不连续 .四.
4、中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于该邻域 , 则存在 和 , , 使得. ( 证 )例 12 设在区域 D 内 . 证明在 D 内 .五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六. 可微性的几何意义与应用： 数学分析教案- 6 -1 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113.Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微 . ( 证略 )2. 切平面的求法: 设函数 在点 可微 ，则曲面 在点 处的切平面方程为 （ 其中 ），法线方向数为 ，法线方程为 .例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程 . P115 例
5、6 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. P115 例 7例 15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得 , . 若测量 的误差为 的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. 2 复合函数微分法数学分析教案- 7 -简介二元复合函数 : .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 在点 D 可微 , 函数 在点 可微 , 则复合函数 在点 可微, 且,. ( 证 ) P118 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿
6、线乘”或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况，用“并联加 ，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.数学分析教案- 8 -链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 对外 元 , 内 元 , 有， .外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例 1 . 求和. P120例 1例 2 , . 求和.例 3 , 求和.例 4 设函数 可微 . .求 、 和 .例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ; . P121 例 4数学分析教案- 9 -例 6 设函数 可微. 在极
7、坐标变换 下 , 证明. P120 例 2例 7 设函数 可微 , . 求证. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例 8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出和 .P122 例 5 3 方向导数和梯度 一 方向导数： 1 方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 . 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以 表示 与 两点间的距离 . 若极限数学分析教案- 10 -存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 , 记为或 、 .对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 . 易见 , 、和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、
8、 轴正向和 轴正向的方向导数 .例 1 = . 求 在点 处沿 方向的方向导数,其中 为方向 ; 为从点 到点 的方向.解 为方向的射线为. 即. , .因此 , 从点 到点 的方向 的方向数为 方向的射线为 . , ;数学分析教案- 11 -.因此 , 2. 方向导数的计算: Th 若函数 在点 可微 , 则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且+ + ,其中 、 和 为 的方向余弦. ( 证 ) P125对二元函数 , + , 其中 和 是 的方向角.註 由 + + = , , , , ,可见 , 为向量 , , 在方向 上的投影.例 2 ( 上述例 1 )解 的方向余弦为 =,
9、=, = .数学分析教案- 12 -=1 , = , = .因此 , = + + =. 的方向余弦为=, =, = .因此 , =.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例 3 P126 .二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: , , .| = . 易见 , 对可微函数 , 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为| . 数学分析教案- 13 -其中 是 与 夹角. 可见 时 取最大值 , 在 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算: . ( + ) = + . ( ) = + . . ( ) = .
10、证 , . . 4 Taylor 公式和极值问题 一、高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法：数学分析教案- 14 -例 9 求二阶偏导数和. P128 例 1例 10 . 求二阶偏导数. P128 例 22. 关于混合偏导数: P129131.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , P131-132例 11 . 求和. P132 例 34. 验证或化简偏微分方程: 例 12 . 证明+ . ( Laplace 方程 )例 13 将方程变为极坐标形式.解 . , , , ., ;因此, .方程化简为 .数学分析教案- 15 -例 14 试确定 和 , 利用线性变换 将方程
11、化为.解 , . =+=+2+.=+=+ + .=+ + .因此 , + ( + .令 , 或数学分析教案- 16 -或 , 此时方程化简为.二 中值定理和泰肋公式： 凸区域 .Th 1 设二元函数 在凸区域 D 上连续 , 在 D 的所有内点处可微 . 则对 D 内任意两点 D , 存在 , 使.证 令 .系 若函数 在区域 D 上存在偏导数 , 且 , 则 是 D 上的常值函数.二. Taylor 公式: Th 2 (Taylor 公式) 若函数 在点 的某邻域 内有直到 阶连续偏导数 , 则对 内任一点 ,存在相应的 , 使证 P134数学分析教案- 17 -例 1 求函数 在点 的 T
12、aylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 P135136 例 4 .三. 极值问题: 1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例 2 P136 例 52 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设 为函数 的极值点 . 则当 和存在时 , 有= . ( 证 )函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为. 是正定的, 顺序主子式全 , 是半正定的, 顺序主子式全 ; 是负定的, , 其中 为 阶顺序主子式. 数学分析教案- 18 -是半负定的, . , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 时, 不是极值点; 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 数学分析教案- 19 -综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则 时 , 为极小值点; 时 , 为极大值点; 时 , 不是极值点; 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例 37 P138140 例 610 . 四 函数的最值： 例 8 求函数在域 D = 上的最值 .解 令 解得驻点为 . .在边界 上 , , 驻点为 , ;在边界 上 , , 没有驻点;数学分析教案- 20 -在边界 上 , ,驻点为 , .又 .于是 , .
