1、1第十五章 电路方程矩阵形式151 基本概念1511 割集1. 割集的定义连通图中，符合下列条件的一组支路叫做割集：（1）这组支路被全部移去后（结点不动） ，图被分成两个分离的部分；（2）如果留下这组支路中的任何一条支路，图就仍然是连通的。第一个条件是说：图被分成两个分离的部分，不能分成两个部分当然不行，但是分成三个或三个以上也不行，既不多也不少，刚好两部分。第二个条件意思是：被移去的支路最少是指把连通图分成两个部分所需的支路数最少。其中没有一条支路是多余的，亦即少移去这个割集中的任何一条支路，就不能把连通图分成两部分。2. 割集的确定用与一个闭合面相切割的办法来观察一个支路集合是否组成一个割
2、集，比较直观、方便；但必须注意到，有些割集不易用与一个闭合面相切割的办法来表示。例如图 151（a）中的（a、b、c、d）是一个割集，但这个割集直观上看不出被一个闭合面新切割。如果把它改成图 151（b）则支路 a、b、c、d 就被闭合面 S 切割了，恰好把图分成两个部分。 aa bb cc dd eef fS)(15a图 )(15b图闭合面上个支路电流的代数和为零，所以可以认为，割集是范围放大的结点。3. 基本割集选一个“树”由一条树支和相应的一些连支所构成的割集，称为单树支割集，又称基本割集。所有基本割集构成一个基本割集组。一组基本割集所对应的 KCL 方程是相应独立的。1512 关联矩阵
3、、回路矩阵、割集矩阵1. 关联矩阵 A设一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。用关联矩阵描述支路与结点的关联性质。设有向图的结点数为 n，支路数 b，且所有结点和支路均加以编号。于是，该有向图的关联矩阵为一个（n b）阶的矩阵，用 表示，它的行对应结点，列对应支路，它的任一aA元素 定义如下：jka=+1 表示支路 k 与结点 j 关联并且它的方向背离结点；j2=-1 表示支路 k 与结点 j 关联并且它指向结点；jka=0 表示支路 k 与结点 j 无关联。j独立结点数为 n-1，于是将 任一行划去，剩下的（n-1 ） b 矩阵用 A 表示，称为aA降阶关联矩阵。用矩阵 A
4、 表示 KCL 的矩阵形式：Ai=0用矩阵 A 表示 KVL 的矩阵形式： =nTuU2. 回路矩阵（1） 独立回路矩阵设一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该支路关联。用回路矩阵描述支路与回路的关联性质。是独立回路矩阵的简称。设有向图的独立回路数为 l，支路数为 b，回路矩阵是一个 lb 的矩阵，用 B 表示。B 的行对应一个回路，列对应于支路，它的任一元素 ,定义如下：jk=+1 表示支路 k 与回路 j 关联，且它们的方向一致；jkb=-1 表示支路 k 与回路 j 关联，且它们的方向相反；j=0 表示支路 k 与回路 j 无关联。jk（2） 基本回路矩阵如果所选独立回路组是对应于一个
5、树的单连支回路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用 B 表示。如果安排其行列次序如下：把 L 条连支依次排列在对应于 B 第 1 行第f fL 列，然后再排列树支；取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行方向，此时：B = ， 表示与连支和树支对应的部fllBIt分。（3） KCL、KVL 的矩阵形式KCL： = 0uKVL； 回路电流法的思想。lTiB3. 割集矩阵（1） 独立割集矩阵 Q设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。用割集矩阵描述割集与支路的关联性质。设有向图的结点数为 n，支路数为 b，则独立割集数为（n-1） 。对每个割集
6、编号，并指定一个割集方向，于是，割集矩阵为一个（n-1）b 的矩阵，用 Q 表示，它的任一元素定义如下ikq3=+1，表示支路 k 与割集 j 关联并且具有同一方向；ikq=-1，表示支路 k 与割集 j 关联但是它们的方向相反；i=0，表示支路 k 与割集 j 无关；ik（2） 基本割集矩阵 fQ基本割集矩阵 对应于一组基本割集组，在写 时，注意安排其行列如下：f fQ把（n-1）条树支依次排列在对应于 的第一行第（n-1）列，然后排列连支，再取f每一单树支割集的序号与相应的树支所在列的序号相同，且选割集方向与响应的方向一致，则 ，t、l 对应于树支、连支部分。tfQI（3） KCL、KVL
7、 矩阵形式KCL： 0IfKVL： tTfu本节中， Tntttt lllnnTBbuuiiii）（ ）（， ， ， ， ， 12121.1513 电路方程的矩阵形式路电流方程的矩阵形式（1） 复合支路 VAR如图 15-2 的复合支路 SUkIekI)(kYZSkSkI215图复合支路的 VAR 矩阵形式为：ssUIZ4其中： 支 路 阻 抗 矩 阵 量支 路 电 压 源 的 电 压 列 向 量支 路 电 流 源 的 电 流 列 向支 路 电 压 列 向 量支 路 电 流 列 向 量ZUIss（2） Z 阵的求法a) 各支路间无受控源也无互感时，Z 是一个对角矩阵， 为各支路的阻抗bkZdi
8、ag.21，b) 当支路 j 与支路 k 之间存在互感时，在 Z 中， jkkjj M的选取视两支路的电流方向而定，两支路电流均丛同名端流进为”“+”，反之为“-” 。c) 当支路 k 中含有受控源 时，支路 k 中的受控电压源受第 j 条支路的电流dkU控制，即而在 Z 中， 。当 和 与复合支路中的方向均一致（或相反） ，cjI jkjrcjI取“+ ”，否则取“-” 。（3） KCL、KVL 方程的矩阵形式lTIBU0（4） 回路电流方程的矩阵形式回 路 阻 抗 矩 阵其 中 Tl ssTZII2. 结点电压方程的矩阵形式（1) 复合支路的 VAR如图 15-3 所示复合支路 kUkIe
9、kI SkUSkI315图)(kZYekU dkI5复合支路的矩阵形式：sIUYI）（式中： 与 1 相同，Y 支路导纳矩阵sUI，（2) Y 的求法a) 各支路无受控源也无互感时，Y 是一对角阵，对角线上是各元件的导纳；b) 有互感、无受控源时，先写 Z，然后求逆，即 ，Y 不在是对角阵；1Zc) 有受控电流源时，设 则只需在 Y 阵ejkjejkdejkd UIIgI 或中， ， 的选取由 与 的方向来定，均与复合支路相jkkjkj YgY或 ”“k同或相反时取 否则取“-” ；d) 既有互感又有受控源，先考虑互感再考虑受控源，方法同上。（3) KCL、KVL 的矩阵形式nTUAI0（4)
10、 结点电压方程的矩阵形式，式中令 -结点导纳矩阵ssnTYIYTnAY3割集电压方程的矩阵形式（1) 复合支路 VAR， 同结点法。（2) KCL、KVL 的矩阵形式 tTUQI0（3) 割集电压方程的矩阵形式 割 集 导 纳 矩 阵令 Tt sstYI是结点电压法的推广。15-1-4 状态方程1. 状态、状态变量、状态方程（1）状态：动态系统的状态是表示系统的一组最少变量，只要知道 时这组变量和0t时的输入，就能完全确定系统在任何时间的行为；0t（2）状态变量：能够表示系统状态的一组最少数目的变量称为状态变量。用一组状态变量确定系统的状态，犹如一组矢量的分量来确定一个矢量，所以系统的状态常用
11、状态矢量来表示。状态矢量所包含的状态变量的个数是状态空间的维数，也是系统的阶数；（3）状态方程：描述输入信号和状态变量之间的关系的一阶微分方程称状态方程，其解6是待求的状态变量。2. 状态方程的标准形式 BUAx上式中，x 叫状态向量，它的分量 是状态变量，U 是输入向量，A 和 B 是常21x、数矩阵。3. 建立状态方程的步骤（1） 直观法a) 状态变量的选择：选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；b) 对每一个选作状态变量的电感电流，各列出一个包含此电流的一阶导数在内的回路电压方程；对每一个选作状态变量的电容电压，各列出一个包含此电压的一阶导数在内的结点电流方程；c) 列写其他必要的方
12、程，消去方程中的非状态变量；d) 把状态方程整理成标准形式。（2） 拓扑法a) 选一个数，树支包含所有电容，连支包含所有电感；b) 对含有电容的单数支割集列写 KCL 方程；c) 对含有电感的单连支回路列写 KVL 方程；d) 列写其他必要的方程，消去方程中的非状态变量；e) 把状态方程整理成标准形式。152 重点和难点分析1521 本章重点1. 割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵是很基本的概念，要理解其含义并列写。2. 回路电流方程的矩阵形式，结点电压方程的矩阵形式，割集电压方程的矩阵形式的列写及导出，理解等式两边的意义。3. 状态方程的列写应掌握。1522 本章
13、难点1. 割集的确定应建立在充分理解割集的含义的基础上，往往容易出错。可以检验，即看构成割集的支路的电流代数和是否为零。2. 在列写电路矩阵方程时，在支路间有耦合或有受控源的情况下，支路导纳矩阵和支路阻抗矩阵的列写是一个难点，尤其是矩阵中各元素的正负的确定，应注意各支路电流、电压的方向，支路电流源、电压源的方向与复合支路作比较。153 典型例题例 15-1 电路的有向图如图 15-4 所示， （1）以结点为参考写出其关联矩阵 A， （2）以实线为权枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵 B (3)写出单树支割集矩阵 Q 。f f7 123456789415图解1 2 3 4 5 6 7 8 9A
14、= 0011105 6 7 8 9 1 2 3 4B =f 011001 2 3 4 5 6 7 8 9Q =f 01010例 15-2 给定基本回路矩阵=fB0110001001（1） 试写出与 相同树的基本割集矩阵 。f fQ（2） 试作出对应的向图。8解 （1）给定的基本回路矩阵 是按先连后树支的顺序排列的。fB可简写为 =fBtlI其中连支数 ，树支数为 。当基本割集矩阵 与 具有相同的树，且 与6l5fQfBfQ的各列按相同的支路编号排列时，则有 =f flTtI其-B = - =TtT010010101100=lI101所以1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11=fQ100
15、101010（3） 按给定的 作有向图：由基本回路矩阵 可知：回路 1、4、5、6 均含两条树支，fBfB回路 2、3 的树支相同。因而连支 2、3 为并联，画出这两条回路，其中 8、9、10 为树支。然而再画出这两条树支 7、11 最后按基本回路画出各个连支，完整的有向图 15-5 所示。912345678910151图例 15-3 如图 15-6（a）所示电路，无初始能量。其对应的有向 图示于图 15-6（b）中。已知 令，）（， AH34F25.01 165432 tiLCR s结点 4 参考结点，列出该网络对应的运算网络的结点方程。当：（1）M=0， 0mgS202mgM，）（ 0H3
16、mgM，）（ S24M，）（M4C1si1R1u5L6L3C2R1ugm)a(615图 1233441256)b(615图)c(615图 s1234)(sIS1S4S3s21)(1sU25.0 )(1sUgm解 本题按矩阵形式列写：首先作出运算电路如图 15-6（ c）所示，按图 15-6（b）列写出降阶关联矩阵 A101010A再按图 15-6（a） （b）列写支路电流源列向量 及支路电压源列向量sIsU00s TUI（1） ，mgM，支路导纳矩阵 ssdiaY31421按 计算结点导纳阵 ，得TnAnYssssssYn 314312741于是按 计算所求结点方程snAYUI； 013143
17、12741 321sUssssnn）（ ）（ ）（2） S20mgM，这时支路导纳矩阵发生了变化，在第二行第一列上增加了元素-2， “-”是由于受控电流源的方向与复合支路相反， ssssssAYsYTn 3143127413100404111于是，所求的结点方程为013143127412sUssssss n）（ ）（ ）（3） 0HmgM， ssZ320041025.1计算支路导纳矩阵 Y： 1Z因为 28s得， ssssY 214083020414203004112于是 ssssssAYTn 21414831列出所求的结点方程， 01214142831 321sUssssss nn）（ ）（
18、 ）（4） S2HmgM，根据（3）中列出的支路导纳矩阵， ssssssYssYn 21414283124018302041）（这 时 ，得出所求结点方程 012141428313sUsss n）（ ）（ ）（）（例 15-4 已知某电路的图的降阶关联矩阵 A，支路阻抗矩阵 Z ，电压源列向量 和电bs流源列向量 分别为sI1 2 3 4 513A= cba101Z =b 54321000LjMjRCj U =0， ，0， 0，0 sgTI = ，0，0， 0，0 S求：（1）画出该电路图的拓扑图。 （2）画出该电路。 （3）选支路 1，4，5 为树，写出基本回路矩阵 B 。 （4） 计算基本
19、回路矩阵 Z 。 （5）若回路电流向量为 ，写出基本回f llI路方程的矩阵行式。 12345abco a b co3RSI1C4LM2R5L)a(715图 )b(715图 gU解 （1）画出有向图如图 15-7（a）所示。（2）画出有向图如图 15-7（b）所示（3）基本回路矩阵如图 15-7（a）列写。1 2 3 4 5B =f 010（4）计算回路阻抗矩阵14Z =B Z B =lfbfT ）（）（ ）（）（ 1434522CLjRMLj MR（5）回路方程的矩阵形式为glICjUIZ1例 15-5 电路如图 15-8（a ）所示， 写出其割集电压方程的矩阵形式。Mj71Cj6R 6SU
20、4Ug3R1Lj2Lj4U4R55SI)a(815图 1234567)b(815图解 先画出其有向图，如图 15-8（b）所示，以支路 1，2，5 为树，其单树支割集矩阵 Q为f1 2 3 4 5 6 7 Q = f 100注意图（b）中实线为树支，虚线为连支。由于：=j U121IMjIL=j 2m而 21121ULjjI2121LMj）（15= 212ULM）（ 21MLj注意在 Y 阵的 k 行 j 列写上受控源的控制电导。其支路导纳矩阵 Y=7643512 000100000CjRgRLM电流源列向量为TssII 5电压源列向量为Tss UU 006将以下矩阵代入下式sfsftTf Y
21、QIYQ有 56321541632 011 sstttIRUCjRCjLMggjRL 例 15-6 （1）如图 15-9（a ）为一电路的有向图。试以 1，3，5 为树支分别写出基本回路矩阵 和基本割集矩阵 （支路排列顺序为 1，3，5，2，4） ；（2）试写出图 15-fBfQ9（b）所示电路的状态方程，并整理成标准形式： BUAxX16 12345)a(915图 SICuF1su 1H1Li)b(915图解 （1） 1 3 5 2 4 1 3 5 2 41042lBf 00153qQf（2）直观法列写状态方程sclsLLsCuiuii1整理得 sLcLc iidti状态方程矩阵形式 sLc
22、LCiuiudtiu11例 15-7 试列出如图 15-10（a）所示电路的状态方程，并整理成标准形式：TLciuxBUAxX21， 其 中Li 1CuF11Su1)a(105图 5.0H21 2Cu2Su3R1CL21R2R1su2su)b(105图17解 拓扑法 画出有向图，确定常态树（图 15-10（b）所示组成为常态树） ，常态树：仅由电压源、电容和电阻支路构成的树。对每一树支，按基本割集列写 KCL 方程3122RLRCiii对每一连支，按基本回路列 KVL 方程12132CsRsCLuu将 的关系式写在一起，其余的关系式用以消去非状态变量，即可得状态方程：LCui与 2121122
23、21131 ssLcRscL sLcLc uiuuuiii矩阵形式状态方程为 212121 4040sLcLc uiudtiutd15-4 自测题习题 15-1 如图 15-11 所示，若选支路 5，6，7，8，10 为树支组成树，试写出关于树 T 的基本回路矩阵 和基本割集矩阵 。 fBfQ1 234456123567891011图答案：1 2 3 4 9 11 5 6 7 8 10181001001010fB5 6 7 8 10 1 2 3 4 9 11 100101fQ习题 15-2 写出如图 15-12 所示有向图的关联矩阵 A 和基本回路矩阵 B （4，5，6 为枝f路） 答案： 1
24、 2 3 4 5 6A = 1001 2 3 4 5 6B =f 101122334561l2l3l12图19习题 15-3 已知一有向图的降阶关联矩阵 A，试画出它的图。 （北航）1 2 3 4 5 6 7 8A= 41001答案：如图 15-13 所示： 122334485670135图习题 15-4 列写如图 15-14 所示电路的状态方程。 （清华 P ）24)(tuS Cu1R4LH2Li2RF1145图答案： = + dtiuLC21LCiu20s习题 15-5 电路如图 15-15 所示。 （1）以 1，2，3 支路为树支写出关联矩阵 A，基本回路矩阵 、基本回路矩阵 和基本割集
25、矩阵 Q ；（2）列写以 ， 为状态变量的状AfBf CuLi态方程。并整理成标准形式。20Cu Li15图 2H5.02431F25.06Si 45答案：（1） 略（2） = + idtiuLC8.42.10LCiu6.123s习题 15-6 已知图 G 的关联矩阵1 2 3 4 5 6 7 8A 40110画出图 G。答案：如图 15-16。( )1 1 2 3 45678( )2 ( )3 ( )4 ( )06-图习题 15-7 某电路有六条支路。已知第 1,2,3 支路依次是：；第 4,5,6 支路的电压依次为 103 52 1RR，又知它的基本割集矩阵为UU4 682VV， ， 。试求各支路的电流。C011答案：对应基本回路矩阵为21 101TlCIB A20 616 4 2 V 2 4321653165341IICIU得 ：由得 ： 得 ：由习题 15-8 图 15-17 所示电路中，每个电阻均为 ，且 ，以1USabV1所在支路为树，建立该电路矩阵形式的回路法方程。R123， ，R1R2 R3R4 R5R67 I1I2USaI2 USb21I715图答案：略。
