1、1第九章第二节 t 检验法二. 未知时，均值 的假设检验21. 未知方差 2设总体 , 未知，2NX2为 的样本.nxx,21在得到一组样本值的情况下，若给出 为某一定数，0问是否有 。0这个问题称为 在方差 未知的2条件下，检验假设： 是否00:H成立的问题。2假设 : 为真，0H0由于 未知，这时 已不是统计2U量，因此，我们很自然地用 的无2偏估计量 来代替 ，选取检验函数2s2为检验 : 的统计量。nxT/00H0由第七章定理四得,1/ts所以在假设 为真时,0H必有 .1/0ntsxT类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给定的检验水平 ，查 表得 ，1nt121nt使得 ,)(21T
2、P3于是 ,1)(|21ntTP)(|21t即得 ,|210tnsx在假设 为真时，0H则 必是一个小概率)1(|21tnsx事件。由样本值算出 ,nsxt0然后与 相比较,做出判断:)1(21nt若 ,（小概率事件在一|21t次试验中发生） ，则拒绝假设 ;0H若 ,（小概率事件在一)1(|21nt次试验中没有发生） ，则接受假设 .042. 未知方差 ， 2检验假设 : ;0H001:(事先算出样本值 ,才提这样x的检验假设)选取检验用的统计量,1/ntsxT所以在 为真时,0H./0tns类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平 ，查表得1t，使得,n,1)(1tTP即得 ,)
3、1(10ntnsxP是一个小概率事件;)(10t5由样本值算出 ,nsxt0然后与 相比较,做出判断:)1(1nt若 ,则拒绝假设 ,0H接受 ;1若 ,( ),)1(nt0x则接受假设 .3.未知方差 ,2检验假设 ; ,00:H01:(事先算出样本值有 ,才提这x样的检验假设)选取检验用的统计量,1/ntsxT所以在 为真时,0H.1/0ntsxT类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平 ，查表得1nt6，使得,11nt,1)(1tTP,1nt, )1()(1 tTtT即得 ,10ntsxP是一个小概率事件;)(10tn由样本值算出 ,然后与nsxt0相比较,做出判断:)1(1t
4、若 ,则拒绝假设 ,(nt 0H接受 ;1若 ,( ),)(1t0x则接受假设 .以上三种检验法均采用了 t 分7布，故又名 t 检验法.通常总体的方差 是未知的，所2以用本法对均值 进行检验及求均值的置信区间更具有更大的使用价值.例 2 在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽取 6 块进行抗断强度试验，测得结果（单位：kg/cm ）如下232.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03设砖的抗断强度服从正态分布，问这批砖的平均抗断强度是否为32.50（kg/cm ）？取（ 0.05） 。2解：（1）假设 50.32:0H（2）计算统计量 T 的值，算出 ，1.,3.sxT 9
5、7.26/.50/50n（3）当 0.05 时，查 t 分布表得 2.57)1(21t)(975.0t8(4)比较 与 的大小。T)1(21nt现在 ，故拒绝假设 。21 0H读者可能已发现，这里检验用的统计量与均值的区间估计所用的统计量是一致的。事实上，上述检验与区间估计之间有着密切的联系。例如 的置信度为 的置信区间是1满足不等式 的 值的集合。)(/210ntsx 而假设 H ： 的检验实质上是找00出 的置信区间，如果 落在置信区0间内，则接受假设 ；如果落在置H信区间外，就拒绝接受 。0有的时候，我们还要检验总体的均值 是等于 还是大于 ，即要在假00设 H ： 或 H ： 中做出选
6、择。01这里的 H 称为备选假设（也称备择1假设） ，而把 H 称为原假设。 （此问0题我们在后面的章节中有进一步的9讨论与分析）例 3：抽取某班级 28 名学生的语文考试成绩，得样本均值 80 为，样本标准差(所谓样本标准差是 ，niixS122而样本方差 )是为 8 分，niixs122若全年级语文成绩平均是 85 分，试问该班学生语文的平均成绩与全年级的平均成绩有无差异？并求出该班学生语文平均成绩的置信区间（假定该年级语文考试成绩服从正态分布， ）05.解：本例第一个问题为未知方差，检验 : ，故用 t 检验法，且为双0H8边检验。 248.3147.8502/ ,.,.6,50022 20 nsxtsSn对于 ，查 t(27)分布表，得5.，因 ，拒绝 ，这02)7(21t 05230t 0H10表明该班学生的语文平均成绩与全年级平均成绩存在差异，由于 ,84.7621tnsx 16.8321tnsx故该班学生的语文平均成绩的 95%置信区间是(76.84,83.16)
