1、新课程高考数学备战策略山西省教育科学研究院 薛红霞策略一 理清课标与大纲的区别关键词：适应、研究策略二 理解内涵 提高分析问题能力以“几何概型为例”题 1：（2009 山东理科第 11 题）在区间-1，1上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为( )cos221A. B. C. D.3 32答案一：因为 x-1 ，1，所以 - ， ， 0 ，1，2x2 2 cosx区间长度为 1，而区间0， 区间长度为 ，所以所求概率为 12 12 12答案二：因为 0， ，所以 - ，- ， ，cosx12 x2 3 3 2所以 x-1,- ，1，区间长度为 ，而 x-1，1 的区间长度为23
2、23 232，所以所求概率为 13题 2：若实数 满足 ，则关于 x 的方程ba, 12b有实数根的概率是（ ）043baxA B C D23 13 14 16答案一：关于 x 的方程 有实数根等价于 0，即04322bax0 、 对应区域分别如图 1 和 2 所示，23ab12ba21,面积分别为 ， ，所以所求概率为 3 13答案二：关于 x 的方程 有实数根等价于 0，即04322bax0令 =u， =v，则 化为 23ab2a2b121,.uv 21.510.50.511.522.533.544.54 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8图11.510.50.511.522.53
3、 2 1 1 2 3 4 5图20 化为 23ab1,30.uv与对应的区域分别如图 3 和 4 所示，面积分别为： ， ,所12 13以所求概率为 23几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率概型，简称几何概型根据定义，题 1 中构成事件区域的元素是自变量 x 的取值范围，而不是 的取值范围，所以答案二是正确的，答案一是错误cos2x的题 2 中构成事件区域的元素是数对（a,b） ，而不是（a 2,b2） ，所以答案一是正确的，答案二是错误的导致这两个题目错解的共同原因是都是因为通过变换改变了原来区域的大小，而且在改变过
4、程中前后区域大小的比例不同比如题 1 中自变量原来的取值区间-1,1，经过余弦变换后得到的区间是0,1，变换前后区间长度的比值为 2； 的取值区间0， 经过cosx12逆变换得到 x-1,- ，1，区间长度为 ，变换后前的长度比值23 23 231.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.62 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5图31.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4图4为 ；题 2 中图 1 和图 3 面积之比为
5、 2，图 2 和图 4 之比为 43教师的困惑在哪呢？一是确定性数学中的方法为什么不可以用？原来教学生的基本方法换元法错了吗？定义域与值域的一一对应关系错了吗？都没有错，问题在于这些方法不适用于概率问题，究其根源就是没有理解了定义变换要注意等价性，这种等价性在几何概型中就是要保证区域是等比例变换的这也是确定性数学和不确定性数学带来的变化，新课标的应考如果机械使用旧的方法解决新的问题，必然还会带来更多的错误如何避免呢？下面笔者的一些应对课标高考的经验与大家共享梳理知识 提高分析问题的能力以“函数的概念与性质”为例理解函数的概念要做到：第一，用集合的观点看待函数，而不仅仅是运动变化的观点；第二，要
6、从函数的三要素进行分析，要全面认识函数的表示方法，而不仅仅是解析式；第三，要有范围的意识，这是学习函数之后在高中阶段应有的素养，不仅是在函数学习中要时刻注意先明确定义域，在进行研究，而且在其他版块的学习中时刻要有范围意识，使得思维严谨，避免错误学习函数的性质要灵活理解条件结论的相对关系，比如函数的单调性，其中涉及到三个关系：定义域 D 的某个子区间内任意两个自变量的值的大小关系：如 x1x2；函数值的大小关系：如 f(x1) f(x2)；函数的单调性：如函数在定义域 D 的某个子区间内单调递增在这三个关系的基础上可以建立三组关系： ； ； 这三组关系是定义的不同表达形式，是灵活解题的依据学习函
7、数的性质还要从具体拓展到一般，进行系统性的研究，这样才能真正理解性质，灵活的应用比如，对于函数奇偶性的学习，可以进行如表 1 所示的系统性的归纳整理注意，奇偶性的定义此处不赘述，只抽取其中解析式满足的关系和函数图像具有的特征进行研究表 1解析式满足的关系 函数图像具有的特征f(-x)= f(x) 关于 y 轴对称f(-x)=- f(x) 关于原点中心对称f(a-x)= f(a+x) 关于直线 x= a 轴对称f(a-x)=- f(a+x) 关于点（a，0）中心对称f(a-x)= f(b+x) 关于直线 x= 轴对称2bf(a-x)=- f(b+x) 关于点（ ，0）中心对称y=f(a-x)与
8、y= f(a+x)关于 y 轴对称学习函数的性质还要注意彼此之间的联系比如，对于函数的周期性，不但要了解其定义中给出的基本表达式（定义略，此处只抽取其中的解析式）：f(x +T)= f(x)还要注意其变式：如果 f(x +a)= -f(x)，那么 T= 2a；如果 f(x +a)= ，那么 T= 2a；等等此外还1()fx要注意周期性与奇偶性的关系：如果一个函数具有两个相邻的对称中心( a,0),(b,0)，那么该函数是周期函数，且周期为 T=2| b - a |；如果一个函数具有两个相邻的对称轴 x= a, x= b，那么该函数是周期函数，且周期为 T=2| b - a |；如果一个函数有一
9、对相邻的对称中心 (a,0)和对称轴 x= b，那么该函数是周期函数，且周期为 T=4| b - a |；等等例 1 (2009 山东卷理)函数 的图像大致为( )xxey要使函数有意义，需使 0xe，其定义域为 0|x，因此排除选项 C 和 D将所给解析式化解得到2211xxxxeeye因为当 0x时函数为减函数，所以排除选项 B，故选 A例 2 (2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x)= ，则 f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2计算特殊点的函数值： 2(1)logf， ()f， (1)0(1)ff，01f， 320，(4)3()f， (5
10、)4(3)ff， (6)5(4)0ff，观察得出：函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现，1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D O0),2()1(,log2xffx所以 f（2009）= f （5）=1,故选 C例 3 (2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足(4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则( ) A. 251)80f B. (80)1(25)fffC. (25)ff D. 25依据：单调性一般思路：将所给自变量转化到一个单调区间内办法：运用函数的性质：奇偶性、周期性等转化条件 (4)(fxfx的作用：周期函数（T=8
11、）和化简125， )0(8f， )3(1ff条件奇函数的作用： 0，于是 0)(8ff；)()(fff， 1)(34)(1)fffff最后，根据函数在区间0,2内的单调性、奇偶性求解：因为)(xf在区间0,2上是增函数，所以 0)(1f，所以 0)1(f，即 25(80)1ff故选 D例 4 （2009 全国卷理）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与(1)fx都是奇函数，则（ ） A (f是偶函数 B ()fx是奇函数 C )2)xf D 3是奇函数方法一：根据奇偶性的定义：由于 (1)fx与 ()f都是奇函数，于是有：(1)(),1)fxffx根据表 1 化简： ，(),1)(1)
12、ffxffx可知函数 )fx的图像关于点 0，及点 ,0中心对称根据函数的周期性与对称性的关系：函数 ()fx是周期函数，且其周期 21()4T于是可得：,(1)4(1)(1)(1)4fxfxfxfx，即 (3)(3)fxfx， (3)fx是奇函数故选 D方法二：类比、对比余弦函数求解。例 5 （2008 宁夏 21） 设函数 ，曲线1()(,)fxabZ在点 处的切线方程为 。 （1）求 的解析式；()yfx(2,)f 3yyfx（2）证明：曲线 的图像是一个中心对称图形，并求其对称(yfx中心；（3）证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线)f 1x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
13、yx解：解：（） ，21()()fxab于是 解得 或210()ab， ， 1a， ， 948.3b，因 ，故 Z， fx（）证明：已知函数 ， 都是奇函数1y2x所以函数 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形()gx而 1f可知，函数 的图像按向量 平移，即得到函数 的图像，故函数 的图()x(1)，a()fx()fx像是以点 为中心的中心对称图形，（）证明：在曲线上任取一点 001x，由 知，过此点的切线方程为0201()()fx20 0201()()xyx令 得 ，切线与直线 交点为 0x101x，令 得 ，切线与直线 交点为 y21y0(2)，直线 与直线 的交点为 xyx(
14、1)，从而所围三角形的面积为 0000122xx所以，所围三角形的面积为定值 例 6 （2008 宁夏理 11）已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ）A. （ ，1） B. （ ，1） C. （1，2） D. 44（1，2）策略三 归纳解法 提高解题能力例 1 二面角向量求法中角的判断方法：用向量法求二面角时有三个易错点，一是计算量大，容易引起计算错误；二是所建立的坐标系不是右手系，虽然对角的大小不影响，但是存在隐性的错误；三是不能确定向量所成角与二面角的关系导致错误。为解决第三类错误，可
15、以有以下方法：1观察法。数形结合，观察所求二面角是锐角还是钝角，从而确定其函数值。2指向法当法向量都指向二面角内部或者都指向外部时，=-；m n 当法向量一个指向二面角内部，一个指向二面角外部时，=。m n 3符号判断法。可以在棱上任取一点，二面角内任取一点，得到向量 ，二AB 面角两个半平面的法向量分别为 ， 。m n 如果向量 分别与 ， 的点积同号，如图 1，那么二面角AB m n = -；m n 如果向量 分别与 ， 的点积异号，如图 2，那么二面角AB m n =。n n m图2图1 m nBBA A4符号判断法也可以在两个半平面内分别取一点构造向量 进行判断。CD 如果向量 分别与
16、 ， 的点积异号，如图 3，那么二面角CD m n = -；m n 如果向量 分别与 ， 的点积同号，如图 4，那么二面角CD m n =。m n n m图4图3 m nC D DC5自由向量法在棱上分别取点 A，C ，在两个半平面内分别做棱的垂线 AB， CD。构造向量 ， ，那么 =。AB CD AB CD 6公式法运用异面直线上两点间的距离公式。例 2 数列求最值、通项、前 n 项和的方法。模版题策略四 总结反思 积累解题策略模特元定界 深圳中学郭慧请l图5 BDAC所谓“模” ，就是思考问题中所涉及的数学模型是什么，是否有不同的模型可供选择，哪个数学模型是自己最熟悉的，在使用这个数学模
17、型时要特别注意什么.例 1 （2008 宁夏理科题 6）已知 ，则使得1230a都成立的 取值范围是2()iax(1,23)ix（A） （0， ） （B） （0， ） （C） （0， ） （D） （0，11a3a）32a例 2 （2009 全国卷 理 12）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与 ()fx都是奇函数，则（ ） A 是偶函数 B ()fx是奇函数 C ()2)fx D 3是奇函数模型思想例 3 方法二：根据奇偶性的定义：由于 (1)fx与 ()fx都是奇函数，于是有： (1)(),fxff根据表 1 化简： ，(1),)(1)fxffxfx可知函数 ()fx的图像关于点
18、0，及点 ,0中心对称根据函数的周期性与对称性的关系：函数 ()fx是周期函数，且其周期 21()4T于是可得：,(1)4(1)(1)(1)4fxfxfxfx，即 (3)(3)fxfx， (3)fx是奇函数故选 D例 3 某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条7棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条6棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 2352例例 4 在四面体 中，SABC， ， ，二面角 SACBABC22SC的 余弦值为- ，则该四面体外接 球的表面积是A8 B 6 6C24 D6SCCDAA
19、B所谓“ 特特”，就是问题的特殊情形是什么，问题在特殊情形下的结论怎样，能否用特殊情形检验自己的结论的正确性.所谓“元” ，就是问题中的数学对象是几元的，问题中的条件是几阶的，问题中条件的“阶数”与数学对象的“元数”是一个怎样的关系，能否由这个关系寻找到问题的解决途径.确定数学对象的要素称为该数学对象的元.数学对象的独立元个数的最大值称为该数学对象的元数. 若某个对象的元数是 n ,则称该对象为 n 元对象 例 5 （1）在等比数列a n中，若 a1 + a2=20，a 3+ a4=40，则该数列的前 6 项的和 Sn等于（ ）A.80 B.120 C.140 D.180(2) 在等差数列 a
20、n中，若 a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则 a2+ a8的值是（ ）A.45 B.75 C.180 D.300所谓“定” ，就是问题中数学对象的确定性，这常常涉及到数学对象的“元数”与问题中的条件“阶数”的关系，高考中的数学对象通常是确定的，或在条件的约束下是“一元数学对象” ，因此，问题往往可以转化为研究一元函数，或有一个独立变元的方程，等等.例 6 已知 是实数，函数 ，如果函数a2()3fxaxa在区间 上有零点，求 的取值范围()yfx1， a解法 1（方程根的分布）：函数 在区间-1，1 上有零点，即方程()yfx=0 在-1，1 上有解，a=0 时，不符合题意，所以
21、 a0。2()3fxaxa方程 f(x)=0 在-1 ，1 上有解 或 或(1)0f(1)0483).afa15a或 或 a1372a5a372所以实数 a 的取值范围是 或 a1解法 2（分离变量法）：a=0 时，不符合题意，所以a0。=0 在-1，1 上有解 在2()3fxaxa 2(1)3xax-1， 1上有解 在-1 ，1上有解。21x问题转化为求函数 -1，1 上的值域。213y设 t=3-2x，x-1， 1，则 ，t1,5,3xt，21(3)17(6)ytt设 ， 时， ，此时函数 g(t)单2).tgt 1,7)t()0gt调递减， 时， 0,此时函数 g(t)单调递增，y 的(
22、7,5()gt取值范围是 ， =0 在-1，1 上有解3,123fxaxa 或 1a7,a37所谓“界” ，就是变化的数学对象的“临界”是什么，比如两个变量通常呈“不等” ，但它们就是以“相等”作为“临界”的；再如变量的变化范围（如定义域、值域等等）通常以“最大” 、 “最小”为界.因此，通常以研究“临界”情形而决定其它情形，这也是分类讨论中要特别注意的情形.例 7 已知 x-1,1时，f(x)=x 2-ax+ 0 恒成立，求a2实数 a 的取值范围解：f(x) min=minf(1)，f(-1)，f ( )，所以原问题等a2价于 0a2.10()2faf， ，例 8 若实数 x，y 满足 ，
23、则 的取值范围是（ 1,0xyyx）A.（0，1） B. C. D. 01， （ ， +） 1， +例 9 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上.（）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值.O(A) BCDxy解:（I） （1）当 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 ;0k 21y（2）当 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1);所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，
24、有 .kkkOG1,故 G 点坐标为 ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）)1,(k为 ,折痕所在的直线方程 ，即 .)21(kM)2(1xky2kyx由（1） （2）得折痕所在的直线方程为： .1（II）当 时，折痕的长为 2;0k当 时, 如下图，折痕所在的直线与边 AD、BC 的交点坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆2211(,),()kNP(1)PNMGD CB(A)oyx这时， ， 奎 屯王 新 敞新 疆230k2224(1)(4,63)yNk如下图，折痕所在的直线与边 AD、AB 的交点坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆)0,21(,02kPkN (2) PNMG
25、D CB(A)oyx这时， ，13k 奎 屯王 新 敞新 疆22231()()()4kyPNk奎 屯王 新 敞新 疆22322/ 4 3318(1)6k kk令 解得 ，0/y2 12237|,|,|16(),16k kky 奎 屯王 新 敞新 疆27,16(3)y如下图，折痕所在的直线与边 CD、AB 的交点坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆2211(,)(,0)kNPk(3) PNMGD CB(A)oyx这时， ， 奎 屯王 新 敞新 疆21k215(),2)4yNk综上述， 奎 屯王 新 敞新 疆max6(3)y所以折痕的长度的最大值策略五 认真、落实、规范 提高高考数学得分一、认真审题，正
26、确解答例 1 2001 年全国理科 17 题：解关于 x 的不等式 ，20xa（a R） 错误解法：原不等式变形为 ，0()xa化简得： ，即 x+a0，解得 x - a10xa教训：最后痛失 12 分，与自己心目中的大学失之交臂经验：审题是解题的第一步，要做到慢（速度慢，甚至要无声的读题） 、实（可以用铅笔勾画核心词、关键条件） 、准（正确理解题意） 、辨（分清考题与做过的题目的关系，尤其是似曾熟悉的题目，一定要辨别清楚） 二、基础扎实，正确应用例 2 2011 年课标 17错误一、公式记错1 11nnaqS2 1()nn3 1()nnaqS4 1n错误二、用归纳代替证明（较普遍）证： =
27、，q= ，1a13 13a 2= ，a 3= ，a n= ，19 127 13nS 1= ， S2= ，S 3= ，13 49 1327又 = ， = ， = ，1-2 13 1- a22 49 1- a32 1327S 1= ，S 2= ，S 3= ，1-2 1- a22 1- a32S n= 。1- an2错误三、从结论到结论（太普遍了）证明： = ，q= ，a n= ，S n= = 1a13 13 13n 1- an2= ，S n= 。1- an2证明：S n= = Sn= = 1- an2= ， S n= 。1- an2高考怎么能得高分？一个学生的话留给我深刻的印象：“会做的题做对就是
28、高分 ”如何保证会做的题做对？基础过关是关键要做到：记忆（记住公式、定理、法则、基本方法如配方法、待定系数法、添加辅助线法等） 、理解（理解公式中各量的含义，定理产生的背景，及其对应的基本图形等） 、应用（会用基本知识解题、能在复杂的情景中辨别基本知识，确定解题的依据和思路，熟练应用基本技能和基本方法解题） 有效的办法：消灭易错点例 3 1.集合的代表元是什么？（1） （2010 宁夏理科题 1）已知集合 ，2,RAx，则4,ZBxAB（A） （B） （C） 0,20,20,（D） 1（2）若实数 满足 ，则关于 x 的方程ba, 12b有实数根的概率是（ ）0432baxA B C D23
29、13 14 162.是充要条件吗？（1）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）abA. ， 方向相同abB. ， 两向量中至少有一个为零向量C. ，RD. 存在不全为零的实数 ， ，12120ab答案：D（2）已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2，在 x=1 处有极值为10，求 a、b 的值解：f(1)=10，f (1)=0，求得 a=-3,b=3 或者 a=4，b=-11改错：当 a=-3，b=3 时，f (x)=3(x-1) 20，此时函数 f(x)单调递增，不存在极值原因在于 f(1)=0 是 f(x)在 x=1 处存在极值的必要条件，而不是充分条件（3）又如两直线方程的对应系数成
30、比例是两条直线平行的必要条件；（4） 0 是二次方程在某区间上有解的必要条件；3.公式有什么局限性？直线的点斜式、截距式、等比数列求和公式、知和求差公式等等如何克服？变换形式三、计算准确，规范答题例 1 2009 年全国卷文科第 17 题：考生在计算过程中将 4cosB=3sinB 化简为 ；cos4in3B例 2 2011 课标卷 21 题第一问运算方面的典型错误1 ln1(),1 ,42afb 1,42ab2切线方程为 x+2y-3=0，切线的斜率为 k= ，12还有写成 k=23f (1)=b，f (1)= - b ，切线方程为 y- b=( - b)a2 a2( x-1)，即 y = ( - b) x-( - b)+ ba2 a2又切线方程为 x+2y-3=0，比较得： 1,23,ab5,2ab注：采用比较对照法的同学，错误率极高，总有某些地方对照不正确。下考场后的经典感言：其实我会做，就是做错了！教训：实在是悔恨不能重来一次如何克服这种现象？要做到：踏实（踏踏实实认认真真计算每一道应该计算的题目，切忌眼高手低，切忌侥幸心理：平时不老老实实计算，期盼着在考场上能算对，那是痴人妄想） ，规范（规范书写，不要偷懒） ，坚持（持之以恒，养成准确计算、规范书写的好习惯）
