高中物理竞赛——静电场习题.doc

1、高中物理竞赛静电场习题一、场强和电场力【物理情形 1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图 7-5 所示，在球壳内取一点 P ，以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元 S 1和 S 2 ，设球面的电荷面密度为 ，则这两个面元在 P 点激发的场强分别为E 1 = k 21rSE 2 = k 2为了弄清 E 1和 E 2的大小关系，引进锥体顶部的立体角 ，显然= = 21rcosS2rcosS所以 E 1 = k ，E 2 = k ，即：E 1 = cscosE 2 ，而它们的方向是相反的，故在 P

2、点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元 S 3和 S 4 、S 5和 S 6 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面，电荷的面密度为 ，试求球心处的电场强度。【解析】如图 7-6 所示，在球面上的 P 处取一极小的面元 S ，它在球心O 点激发的场强大小为E = k ，方向由 P 指向 O 点。2RS无穷多个这样的面元激发的场强大小和 S 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见由于由于在 x 方向、y 方向上的对称性， = = 0 ，最后的ixEiyE = E z ，所以先求E z = Ecos= k ，而且 Sco

3、s 为2RcosS面元在 xoy 平面的投影，设为 S所以 E z = S2而 S= R 2 【答案】E = k ，方向垂直边界线所在的平面。学员思考如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为 ，那么，球心处的场强又是多少？推荐解法将半球面看成 4 个 球面，每个 球面在 x、y、z 三个方向上8181分量均为 k，能够对称抵消的将是 y、z 两个方向上的分量，因此 E = 41E x 答案大小为 k，方向沿 x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方） 。【物理情形 2】有一个均匀的带电球体，球心在 O 点，半径为 R ，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在

4、 O点，半径为 R， = a O，如图 7-7 所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则” ） ，二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点 P ，设 = r1 ， = r2 ，则大球激OP发的场强为E1 = k = kr 1 ，方向由 O 指向 P213r4“小球”激发的场强为E2 = k = kr 2 ，方向由 P 指向 O23r4E1和 E2的矢量合成遵从平行四边形法则，E 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1E

5、 和空间位置三角形 OP O是相似的， E 的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为 ka ，方向均沿 O O，空腔里的电场是匀强电场。34学员思考如果在模型 2 中的 OO连线上 O一侧距离 O 为 b（bR）的地方放一个电量为 q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？解说上面解法的按部就班应用答 kq 。3423bR23)a(二、电势、电量与电场力的功【物理情形 1】如图 7-8 所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在 O 点，过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点， = Or ，以无穷远为参考点，试求 P 点的电势 UP 。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取

6、一个元段 L ，它在 P 点形成的电势U = k 2rRL环共有 段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】U P = 2rRk思考如果上题中知道的是环的总电量 Q ，则 UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？答U P = ；结论不会改变。2rkQ再思考将环换成半径为 R 的薄球壳，总电量仍为 Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？解说（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图 7-5U 1 = k = k = k1rS1r

7、cosr21cosr1U 2 = k 2它们代数叠加成 U = U 1 + U 2 = k cosr21而 r 1 + r2 = 2Rcos所以 U = 2Rk所有面元形成电势的叠加 U = 2Rk注意：一个完整球面的 = 4（单位：球面度 sr） ，但作为对顶的锥角， 只能是 2 ，所以U = 4Rk= k RQ（2）球心电势的求解和思考相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。答（1）球心、球内任一点的电势均为 k ；（2）球心电势仍为 k RQRQ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面） 。【相关应用】如图 7-9 所

8、示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1和 R2 ，带有净电量 +q ，现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为+Q 的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】U o = k k + k 。rQ1R2qQ反馈练习如图 7-10 所示，两个极薄的同心导体球壳 A 和 B，半径分别为 RA和 RB ，现让 A 壳接地，而在 B 壳的外部距球心 d 的地

9、方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A 球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。解说这是一个更为复杂的静电感应情形，B 壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量） ，A 壳的情形未画出（有净电量） ，它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A 壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零 ”是一个合效果，它是点电荷 q 、A 壳、B 壳（带同样电荷时）单独存在时在 A 中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心 O 点为对象，有UO = k + k + k = 0dqARQBQB应指 B 球壳上的净电荷量，故 Q B = 0所以 Q A = q学员讨论：A

10、 壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势（独立的 B 壳是等势体，球心电势即为所求）UB = k + kdqBARQ答（1）Q A = q ；（2）U B = k (1 ) 。ddqBAR【物理情形 2】图 7-11 中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 abc 的中心，点 B 则与 A 相对 bc 棒对称，且已测得它们的电势分别为 UA和 UB 。试问：若将 ab 棒取走，A、B

11、两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：三棒对 A 点的电势贡献都相同（可设为 U1） ；ab 棒、ac 棒对 B 点的电势贡献相同（可设为 U2） ；bc 棒对A、B 两点的贡献相同（为 U1） 。所以，取走 ab 前 3U 1 = UA2U2 + U1 = UB取走 ab 后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以UA= 2U

12、1UB= U 1 + U2【答案】U A= UA ；U B= UA + UB 。32612模型变换正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为 U1 、U 2 、U 3和 U4 ，则盒子中心点 O 的电势 U 等于多少？解说此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性，但电量各不相同，因此对 O 点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和） 、电势也完全相同（为 U

13、1 + U2 + U3 + U4） ，新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U= U 1 + U2 + U3 + U4 最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = U4答U = （U 1 + U2 + U3 + U4） 。4学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。 ）反馈练习电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面半径为 R ，CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线，如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点，已知 P 点的电势为 U

14、P ，试求 Q 点的电势 UQ 。解说这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电荷，如图 7-12 所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时 P、Q 的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q 的电势可以看成是两者的叠加：带电量为 2q 的完整球面；带电量为q 的半球面。考查 P 点，U P = k + U 半球面Rq2其中 U 半球面 显然和为填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反，即 U 半球面 = U Q 以上的两个关系已经足以解题了。答U Q = k U P 。Rq2【物理情形 3】如图 7-13 所示，A、B 两点相距 2L

15、 ，圆弧 是以 B 为圆DCO心、L 为半径的半圆。A 处放有电量为 q 的电荷，B 处放有电量为 q 的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从 O 点沿 移到 D 点，电场力对它做了多少功？C（2）将单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系 WAB = q（U A U B）= qU AB的基本应用。UO = k + k = 0LqUD = k + k = 3L3kq2U = 0再用功与电势的关系即可。【答案】 （1） ；（2） 。 L3kqL3kq【相关应用】在不计重力空间，有 A、B 两个带电小球，电量分别为 q1和 q2 ，质量分别

16、为 m1和 m2 ，被固定在相距 L 的两点。试问：（1）若解除 A 球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论 （这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。 ）【答】 （1）k ；（2）E k1 = k ，E k2 = k ；（3）krq1 21

17、mrq21 21mrq21。rq21思考设三个点电荷的电量分别为 q1 、q 2和 q3 ，两两相距为 r12 、r 23和 r31 ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？解略。答k（ + + ） 。12rq31rq反馈应用如图 7-14 所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为 m 、电量均为 q ，用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。解设剪断的是 1、3 之间的绳子，动力学分析易知，2 球获得最大动能时，1、2 之间的绳子与 2、3 之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守

18、恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设 2 球的速度为 v ，1 球和 3 球的速度为 v，则动量关系 mv + 2m v= 0能量关系 3k = 2 k + k + mv2 + 2mLqqL22v解以上两式即可的 v 值。答v = q 。m3三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B，面积都是 S ，间距为 d（d 远小于金属板的线度） ，已知 A 板带净电量+Q 1 ，B 板带尽电量+Q 2 ，且Q2Q 1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B 两板的四个平面的电量将呈现一

19、定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的） ；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图 7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为 1 、 2 、 3和 4 ，显然（ 1 + 2）S = Q 1 （ 3 + 4）S = Q 2 A 板内部空间场强为零，有 2k（ 1 2 3 4）= 0A 板内部空间场强为零，有 2k（ 1 + 2 + 3 4）= 0解以上四式易得 1 = 4 = S2Q1 2 = 3 = 1有了四个面的电荷密度，、空间的场强就好求了如 E =2k（

20、 1 + 2 3 4）= 2k 。SQ21最后，U AB = E d【答案】 （1）A 板外侧电量 、A 板内侧电量 ，B 板内侧电量2121、B 板外侧电量 ；（2）A 板外侧空间场强 2k ，方向垂直2Q1Q1 SQ21A 板向外，A、B 板之间空间场强 2k ，方向由 A 垂直指向 B，B 板外侧空SQ21间场强 2k ，方向垂直 B 板向外；（3）A、B 两板的电势差为 2kdS21，A 板电势高。SQ21学员思考如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。 ）学员讨论（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介电常数为 r的电介

21、质，是否会影响四个面的2Q1电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响空间的场强）？学员讨论（原模型中）我们是否可以求出 A、B 两板之间的静电力？答：可以；以 A 为对象，外侧受力 （方向相左） ，内侧受2Q1E力 （方向向右） ，它们合成即可，结论为 F = Q1Q2 ，排斥力。 2Q1E Sk【模型变换】如图 7-16 所示，一平行板电容器，极板面积为 S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为 r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q 和Q 的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（ 2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内

22、表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1 ，介质部分电量为 Q2 ，显然有Q1 + Q2 = Q两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1 = U2 即 = ，即 = 1C2kd42/S1kd42/Sr解以上两式即可得 Q1和 Q2 。场强可以根据 E = 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等） 。dU上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2k （单面平板） ，当 k 、 同时改变，可以保持 E 不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k 的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说

23、，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为 E2 ，所以E2 = 4k（ ）= 4k（ ）2/SQ/请注意：这里的 和 Q是指极化电荷的面密度和总量； E = 4k 的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】 （1）真空部分的电量为 Q ，介质部分的电量为 Q ；（2）r1r1整个空间的场强均为 ；（3） Q 。S)1(kQ8rr思考应用一个带电量为 Q 的金属小球，周围充满相对介电常数为 r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。解略。答Q= Q 。r1四、电容器的相关计算【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容

24、器组成一个如图 7-17 所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容 C，可使整个网络的A、B 两端电容也为 C？（2）不接 C，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B 两端的总电容是多少？【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为 1 ，于是+ = 解 C即可。C11第（2）问中，因为“无限” ，所以“无限加一级后仍为无限” ，不难得出方程+ = 总1总C1【答案】 （1） C ；（2） C 。5215【相关模型】在图 7-18 所示的电路中，已知 C1 = C2 = C3 = C9 = 1F ，C 4 =

25、C5 = C6 = C7 = 2F ，C 8 = C10 = 3F ，试求 A、B 之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Y 型变换” ，参见图 7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式Y 型：C a = 3121CCb = 11321Cc = 2131Y 型：C 1 = cbaCC2 = cbaC3 = cba有了这样的定式后，我们便可以进行如图 7-20 所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）【答】约 2.23F 。【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势 1 =

26、3.0V ， 2 = 4.5V，开关 K1和 K2接通前电容器均未带电，试求 K1和K2接通后三个电容器的电压 Uao 、U bo和 Uco各为多少。【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与 o 相连的三块极板（俗称“孤岛” ）的总电量为零。电量关系： + + = 0Caoaao电势关系： 1 = Uao + Uob = Uao Ubo 2 = Ubo + Uoc = Ubo Uco 解以上三式即可。【答】U ao = 3.5V ，U bo = 0.5V ，U co = 4.0V 。【伸展应用】如图 7-22 所示，由 n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接

27、而成，其中有两个的电容为 3C ，另一个的电容为 3C 。以a、b 为网络的输入端，a、b为输出端，今在 a、b 间加一个恒定电压 U ，而在 ab间接一个电容为 C 的电容器，试求：（1）从第 k 单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C 总 = Ck = C所以，从输入端算起，第 k 单元后的电压的经验公式为 U k = 1k3U再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时，C 1的右板和 C2的左板（或 C2的下板和 C3的右板）形成“孤岛” 。此后，电容器的相互充电过程（C 3类比为“电源” ）满足电量关系：Q 1= Q 3Q2+ Q 3= 电势关系： + = C31C2从以上三式解得 Q1= Q3= ，Q 2= ，这样系统的储能就可以用714得出了。21CQ【答】 （1）E k = ；（2） 。1k3CU63CU2学员思考图 7-23 展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。 ）