1、 数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )(1)(1qqannn例 1、已知 ，求 的前 n项和.3logl23x nxx32解：由 1logl1l 323 由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS2 1xn1)(2)(n练习：求 的和。2223456.910解： 22 221 4365109379 由等差数列的求和公式得 5039S2 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n
2、的前 n项和，其中a n、b n分别是等差数列和等比数列.例 2求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 的1)(n 1nx通项之积设 . （设制错位）nn xxxxS)12(7531432 得 （错位相减 ）nnn x)12()( 143 再利用等比数列的求和公式得： nxSx)( 21)(1)2(xnnS练习：求数列 前 n项的和.,64,32n解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS262433411n n得（ 错位相减）1432 2)1( nnS12 14nnS三、倒序相加法求和这是推导等差
3、数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n个 .)(1na例 3求 的值 89sii3si2i1sin 222 解：设 .S将式右边倒序得 （ 倒序） 1sin2i3sin8sin9si 2222 又因为 co),0co(xxx+得（倒序相加）89)89cos(sin)2s(sin)1(sin2 22222 SS44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 4、求和: nyxyx112 1,0yx解:原式= nx32 n2=
4、 =yxnn11nnyx1练习：求数列的前 n项和： ，231,7,42naa解：设 )()1()()112S nn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741()(2 aann当 a1 时， （分组求和）3Sn)n当 时， 2)1(1ann2)13(1nan练习：求数列 的前 n 项和。,3,(),248n解： 23111()1(23) )21)2n nnnS 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项）如：例 5求数列 的前 n项和.,1,321, n解：设 （裂项
5、）nan 则 （裂项求和）1321nSn )()()2( 1练习: 3156求 、 、 、 的 和解：11133579()()()()2252214()9 六、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 6、数列a n： ，求 S2002.naa12321,解：设 S2002 0a由 可得nn12321,654a ,2,3, 1110987 aa2,3,1,2,3,1 656466266 kkkkkk aaa （找特殊性质项）054S 2002 （合并求和）20321 )()()( 626112876
6、kkkaaaa 020911943 202019 4636kkkkaa5练习：在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 1032313logloglaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (ll 65920a l9l 33310七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，是一个重要的方法.例 7、求 5，55，555，的前 n项和。解： a n=59(10n-1)S n=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+59(10n-1)=59（ 10+102+103+10n） -n=（ 10n 1-9n-10）练习：求数列：1， ， ， 的前 n项和。解：2、3、 =4、 =
