1、1 设数列a n的首项 a1=a ，且 , 4124nna记 ，nl，2，3，21nb（I）求 a2，a 3；（II）判断数列b n是否为等比数列，并证明你的结论；解：（I）a 2a 1+ =a+ ，a 3= a2= a+ ；418（II） a 4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ ,136所以 b1=a1 =a , b2=a3 = (a ), b3=a5 = (a ),41猜想：b n是公比为 的等比数列证明如下：因为 bn+1a 2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*)414所以b n是首项为 a , 公比为 的等比数列2 在数列 na中， 1=0，且
2、对任意 k *N， 2k12k+1a,成等差数列，其公差为 2k.（）证明 456,成等比数列；（）求数列 n的通项公式；（I）证明：由题设可知， 21a， 324a， 348a，541a，68。从而 5432a，所以 4a， 5， 6成等比数列。（II）解：由题设可得 12,*kkN所以 21212331.k kaaa 41.4k2,*N.由 10a，得 1k ，从而 221kak.所以数列 n的通项公式为 2,n为 奇 数为 偶 数或写为 214nna，*N。设 nS为数列 na的前 项和， 2nSk， *nN，其中 k是常数（I） 求 1及 ；（II）若对于任意的 *mN， ma， 2，
3、 4m成等比数列，求 的值解析：（）当 1,1kSn，12)1()(,222 knnan （ ）经验， （ ）式成立， ka（） m42,成等比数列， m42.，即 )18)()14( kkk，整理得： 0)1(，对任意的 N成立， 0或（2009 北京文） （本小题共 13 分）设数列 na的通项公式为 (,0)napqNP. 数列 nb定义如下：对于正整数 m， b是使得不等式 m成立的所有 n 中的最小值 .（）若 1,23pq，求 b；（）若 ，求数列 m的前 2m 项和公式；（）是否存在 p 和 q，使得 ()N？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】
4、本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得 123na，解 13n，得 20n. . 成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3b.（）由题意，得 1n，对于正整数，由 nam，得 2.根据 b的定义可知当 1k时， *mkN；当 2k时，*1mbkN. 1221321242mmmbbb 31 22.（）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pnqm及 0p得 qnp. 32()mbN,根据 b的定义可知，对于任意的正整数 m 都有31qp，即 31pqpq对任意的正整数 m 都成立.当 0（
5、或 310）时，得 m（或 231pq） ，这与上述结论矛盾！当 31p，即 3p时，得 213q，解得 . 存在 p 和 q，使得 ()mbN；p 和 q 的取值范围分别是 ， . . 已知数列 和 满足： , 其中nab1a124,(1)321),3nnnnaba为实数， 为正整数.（）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；na（）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；nb（）设 , 为数列 的前 项和.是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，都0aSn n有?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.nSb本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查
6、综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分）（）证明：假设存在一个实数 ，使a n是等比数列，则有 a22=a1a3,即矛盾.09494)94()32( 22 所以a n不是等比数列.()解：因为 bn+1=(-1)n+1a n+1-3(n-1)+21=(-1) n+1( an-2n+14)3= (-1)n（a n-3n+21）=- bn322又 b1x-(+18),所以当 18，b n=0(nN +),此时b n不是等比数列：当 18 时，b 1=(+18) 0,由上可知 bn0， (nN +).321na故当 -18 时，数列b n是以（ 18）为首项， 为公比的等比数列.()由
7、（）知，当 =-18,b n=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知 bn= -（+18）（ ） n-1，于是可得32Sn=- .1)8(53n） （ 要使 a3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且 的取值范围是（b-18,-3a-18）.设数列 na的前 项和为 nS，对任意的正整数 n，都有 51naS成立，记*4()1nnbN。 （I）求数列 a与数列 nb的通项公式；（II）设数列 n的前 项和为 R，是否存在正整数 k，使得 4nRk成立？若存在，找出一个正整数 k；若不存在，请说明理由；（I）当 1时， 115,4aSa 又 ,nn115,4即 nnnaa数
8、列 n是首项为 1，公比为 14q的等比数列， ()4nna， *()4)nbN3 分（II）不存在正整数 k，使得 4nRk成立。证明：由（I）知1()5()14n nnb21212520156408888.()()64() kkkkkkb当 n 为偶数时，设 nmN 123421()()()8mRbbbn当 n 为奇数时，设 12342321()()()()48mmmn对于一切的正整数 n，都有 nRk 不存在正整数 k，使得 成立。 8 分数列 22122,(1cos)sin,1,3.nnaaa满 足()求 并求数列 的通项公式；34,()设 证明：当2112, .nnbSba 62.n
9、S时 ，解: ()因为 所以12,2311(cos)i,aa24 2(cos)in4.一般地，当 时，*Nnk2121()cssink k ，即21ka21.ka所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此21.ka当 时，*(N)nk222(cos)sink k所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此2ka 2.k故数列 的通项公式为na *21,(N),.nka()由()知， 21,nb23,nnS24112n n-得， 2311.n nS11().212nn所以 2.nnnS要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立.6S6n(2)1n证法一(1)当 n = 6 时
10、， 成立.6(2)4831(2)假设当 时不等式成立，即k(2).k则当 n=k+1 时， 1()3()3(1)3.2()2kk k A由(1)、(2)所述，当 n6 时， .即当 n6 时，21.nS证法二令 ，则2()nc 21121()3()30.nnnc所以当 时， .因此当 时，61n668.4nc于是当 时， 2()综上所述，当 时，1.nS设 是数列 （ ）的前 项和， ，且 ， ，nSnaN*1a2213nnSa0n234， ， ，（I）证明：数列 （ ）是常数数列；2na2（II）试找出一个奇数 ，使以 18 为首项，7 为公比的等比数列（ ）中的所有项都是数列 中的项，并指
11、出 是数列 中的第nbN*nanbna几项20解：（I）当 时，由已知得 2n 2213nnSa因为 ，所以 10naS1n于是 213()由得： 163na于是 29na由得： 2n即数列 （ ）是常数数列（II）由有 ，所以 21S21a由有 ，所以 ，15a3而表明：数列 和 分别是以 ， 为首项，6 为公差的等差数列2k21k23a所以 ，2()6k a， 13 3akkN*由题设知， 当 为奇数时， 为奇数，而 为偶数，所以 不187nnb21knbnb是数列 中的项， 只可能是数列 中的项21kna若 是数列 中的第 项，由 得 ，取 ，12ka86k036ak03得 ，此时 ，由
12、 ，得 ， ，从而3a62nkb17n17nN*是数列 中的第 项nbn17等差数列 的前 项和为 na13292nSaS， ，（）求数列 的通项 与前 项和 ；n（）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比()nSbNb数列本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前 项和公式，n考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力满分 12 分解：（）由已知得 ， ，12393ad， 2d故 2()nnaS，（）由（）得 2b假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，则npqrb， ， r， ，2qprb即 2()()2r0rqp，pN， ，20rq， ， 22()0rprpr， ，与 矛盾p所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列nb
