1、12014 高三暑期保送复习排列组合与概率专题 第一讲 排列组合与二项式定理【基础梳理】1排列(1)排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m(m n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(m n)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A 表示mn(3)排列数公式A mn(4)全排列数公式A (叫做 n 的阶乘)n2组合(1)组合的定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
2、元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 C 表示mn(3)组合数公式C ( n， mN *，且 m n)特别地 C 1.mn 0n(4)组合数的性质：C C ；C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n3二项式定理（1）( a b)nC anC an1 bC an rbrC bn(nN *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项0n 1n rn n式叫( a b)n的 其中的系数 C (r0,1， n)叫 rn式中的 C an rbr叫二项展开式的通项，用 Tr1
3、表示，即通项 Tr1 C an rbr.rn rn（2） 二项展开式形式上的特点项数为 .各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 .字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 即 2增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k 时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；knn 12当 n 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 n 是奇
4、数时，中间两项 取得最大值各二项式系数和：C C C C C 2 n；0n 1n 2n rn nC C C C C C .0n 2n 4n 1n 3n 5n【基础自测】18 名运动员参加男子 100 米的决赛已知运动场有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八条跑道，若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这 8 名运动员安排跑道的方式共有( )A360 种 B4 320 种 C720 种 D2 160 种2以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )A200 个 B190 个 C185 个 D180 个3(2010山东)某台小型晚
5、会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A36 种 B42 种 C48 种 D54 种4.如图，将 1,2,3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )1 2 33 1 22 3 1A6 种 B12 种C24 种 D48 种5某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同排法种数是_(用数字作答)6.(20
6、11福建)(12x )5 的展开式中，x 2 的系数等于( )A80 B40 C20 D107.若(1 )5ab (a，b 为有理数) ，则 ab( )2 2A45 B55 C70 D808.(人教 A 版教材习题改编)若( x1) 4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4，则 a0a 2a 4 的值为( ) 3A9 B8 C7 D69(2011重庆)(1 3x )n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n( )A6 B7 C8 D9【例题分析】考向一 排列问题【例 1】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相
7、邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定【巩固练习 1】 用 0,1,2,3,4,5 六个数字排成没有重复数字的 6 位数，分别有多少个？(1)0 不在个位；(2)1 与 2相邻；(3)1 与 2 不相邻；(4)0 与 1 之间恰有两个数；(5)1 不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列考向二 组合问题【例 2】某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参
8、加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【巩固练习 2】 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三 排列、组合的综合应用4【例 3】(1)7 个相同的小球，任意放入 4 个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算 x y z6 的正整数解有多少组；(3)计算 x y z6 的非负整数解有多少组【巩固练习 3】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成 1 本、2 本、3 本三组；(2)
9、分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；(3)分成每组都是 2 本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本【巩固练习 4】 有 20 个零件，其中 16 个一等品，4 个二等品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一等品的不同取法有多少种？【巩固练习 5】 在 10 名演员中，5 人能歌，8 人善舞，从中选出 5 人，使这 5 人能演出一个由 1 人独唱 4 人伴舞的节目，共有几种选法？考向四 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例 4】已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 33x)(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求
10、展开式中所有的有理项【训练 6】 (2011山东)若 6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_(x ax2)5考向五 二项式定理中的赋值【例 7】二项式(2x3y) 9 的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和【训练 7】 已知(12x) 7a 0a 1xa 2x2a 7x7.求：(1)a 1a 2a 7；(2) a1a 3a 5a 7；(3) a0a 2a 4a 6；(4)|a 0| a1|a 2|a 7|.考向六 二项式的和与积【例 8】(12x) 3(1x )4 展开式中 x 项的系数为_ 【训练 8】 (2011广东)x 7 的展开式中
11、，x 4 的系数是_(用数字作答)(x 2x)【巩固作业】一、选择题11. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A243 B252 C261 D27922. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足 ,且关于 x 的方程,1,02ab6有实数解的有序数对 的个数为 （ ）20axb(,)abA14 B13 C12 D103. 3 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得（ ）13nxNn的 展 开 式 中 含 有 常 数 项 的 最 小 的 为A B C D 4
12、5674. 4 （2013 年高考四川卷（理） ）从 这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 ,共可得到1,3579 ab的不同值的个数是 （ ）lgabA B C D91082055. （ 2013 年高考陕西卷（理） ）设函数 , 则当 x0 时, 表达式的展开式中常61,.()xf ()fx数项为 （ ）A-20 B20 C-15 D1566. （2013 年高考江西卷（理） ）(x 2- )5展开式中的常数项为 （ ）3xA80 B-80 C40 D-40二、填空题77. （2013 年上海市春季高考数学试卷(）36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 ,所以 36 的所236=有
13、正约数之和为 参照上述222213)(3)(3)(1)91（方法,可求得 2000 的所有正约数之和为_88. （2013 年高考四川卷（理） ）二项式 的展开式中,含 的项的系数是_.(用数字作答)5()xy23xy99. （2013 年上海市春季高考数学试卷(）从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动,选出的 3人中男女同学都有的概率为_(结果用数值表示).1010. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将 六个字母排成一排,且FEDCBA,均在 的同侧 ,则不同的排法共有 _种(用数字作答)BA,C1111. （2013 年普通高等学校招生统
14、一考试重庆数学（理）试题）从 3名骨科. 4名脑外科和 5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是 _(用数字作答)1212. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题） 的二项展开式中的常数项为_.61x7第二讲 离散型随机变量及其分布列【知识梳理】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母 X， Y 等表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(3)分布列设离散型随机变量 X 可
15、能取得值为 x1， x2， xi， xn， X 取每一个值 xi(i1,2， n)的概率为 P(X xi) pi，则称表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列(4)分布列的两个性质 pi0， i1,2， n； p1 p2 pn_1_.2两点分布如果随机变量 X 的分布列为X 1 0P p q其中 0p1， q1 p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布3超几何分布列在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品数，则事件 X k发生的概率为： P(X k)(k0,1,2， m)，其中 mmin
16、 M， n，且 n N， M N， n、 M、 NN *，则称分布列CkMCn kN MCnNX 0 1 mP C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN为超几何分布列【基础自测】1抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )A出现正面的次数 B出现正面或反面的次数C掷硬币的次数 D出现正、反面次数之和82如果 X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )A X 取每个可能值的概率是非负实数B X 取所有可能值的概率之和为 1C X 取某 2 个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3已
17、知随机变量 X 的分布列为： P(X k) ， k1,2，则 P(2X4)等于（ ）12kA. B. C. D.316 14 116 5164袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，任意抽取 2 个球，设 2 个球号码之和为 X，则 X的所有可能取值个数为( )A25 B10 C7 D65设某运动员投篮投中的概率为 P0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是_考点一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例 1】(2011北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数 y 的分布列；(2)每植
18、一棵树可获 10 元，求这两名同学获得钱数的数学期望【练习 1】 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后可获收益的分布列是_考点二 由古典概型求离散型随机变量的分布列【例 2】袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，17甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 X 表示取球终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(
19、2)求随机变量 X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率【练习 2】 (2011江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两投资成功 投资失败192 次 8 次9种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料若 4 杯都选对，则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元；否则月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力(1)求 X 的分布列；(2)求
20、此员工月工资的期望考点三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例 3】(2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记 X 为23该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0) ，则随机变量 X 的数学期望 E(X)_.112【练习 3】 某地有 A、 B、 C、 D 四人先后感染了甲型 H1N1流感，其中只有 A 到过疫区 B 肯定是受 A 感染的对于C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 .同
21、样也假定 D 受 A、 B 和 C12感染的概率都是 .在这种假定之下， B、 C、 D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量写出 X 的分布列(不要13求写出计算过程)，并求 X 的均值(即数学期望)【练习 4】(本题满分 12 分)在一个盒子中，放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、 y，记 | x2| y x|.(1)求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 的分布列【练习 5】 某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为 ，且各次射击的结果互不影响35(1)求射手在 3 次射击中，
22、至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；10(2)求射手第 3 次击中目标时，恰好射击了 4 次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量 表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数，求 的分布列【】【巩固作业】w。w-w*k&s%5￥u1、如果 X是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X取所有可能值的概率之和为 1；C. 取某几个值 的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 奎 屯王 新 敞新 疆2某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 ；在 (0,1)区间内随机的取一个数 X；某超市一天中的顾客量
23、 X 奎 屯王 新 敞新 疆 其中的 是离散型随机变量的是（ ）A； B； C ； D3、设离散型随机变量 的概率分布如下 ，则 a的值为（ ）X 1 2 3 4P来源:学+科+网 616A 2 B C D4、设随机变量 的分布列为 1,23,kPXn ，则 的 值为（ ）A1； B 12； C 13； D 45给出下列四个命题：15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中正确的个数是（ D ）1 2 3 46、设随机变量 X等可能取 1、2、3
24、 .n值，如果 ()0.4pX,则 n值为（ ）A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为 ，那么 表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是 3 点 ，一枚是 1 点 B. 两枚都是 2 点 C. 两枚都是 4点 D. 一枚是 3 点，一枚是 1 点或两枚都是 2 点8盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是 的事件为( )310A恰有 1 只是坏的 B4 只全是好的C恰有 2 只是好的 D至多有 2 只是坏的119.(2007 年湖北卷第 1 题) 如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为nx32
25、A.3 B.5 C.6 D.1010.（2007 年湖北卷第 9 题）连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-1)的夹角为，则 的概率是20，A. B. C. D.15211276511.（2007 年北京卷第 5 题）记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一行，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A1440 种 B.960 种 C720 种 D.480 种12.(2007 年全国卷第 10 题 ) 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有
26、 1 人参加，则不同的选派方法共有(A)40 种 (B) 60 种 (C) 100 种 (D) 120 种13 、下列表中能成为随机变量 X的分布列的是 （把 全部正确的答案序号填上）12,3knPXn14、已知 Y为离散型随机变量， Y的取值为 1,23,0 ，则 X的取值为 15、一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5 奎 屯王 新 敞新 疆 现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的 最大号码数 可能取值为 16. (2007 年重庆卷第 4 题)若 展开式的二项式系数之和为 ，则展开式的常数项为_nx6418、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球
27、个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得 1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得1 分，试写出从该盒中取出一球所得分数 X的分布列分析：欲写出 的分布列，要先求出 的所有取值，以及 取每一值时的概率19.(2007 年重庆卷第 6 题) 从 张 元， 张 元， 张 元的奥运预赛门票中任取 张，则所取 张中至51032033少有 张价格相同的概率220.(2007 年辽宁卷) 一个坛子里有编号为 1，2，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率
28、为多少-1 0 1p0.3 0.4 0.41 2 3p0.4 0.7 -0.1X5 0 -5p0.3 0.6 0.1 2,4Pk 1221、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止设分裂n次终止的概率是 n21( =1,2,3,)记 X为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求 (10)PX.22(本题满分 12 分)(2010浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量 X
29、 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 X 的分布列高中数学系列 23 单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 6、C 7、 D 8、C 9、B 10、C 11、B 12、B二、填空题：13、 14、 1,2,34,515、 3,45 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得 =2(-4)+10，即 =2+2 奎 屯王 新 敞新 疆 (2)由 38=2+2，得 =18，5（18-15）=15所以，出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟18、解：设黄球的个数为 n，由题意知来源:学+科+网绿球个数为 2，红球个数为 4，盒中的总数为 7n
30、 (1)7PX， 1(0)PX， 2()7nPX所以从该盒中随机取出一球所得分数 的分布列为13X1 0 1P747219、解从总数为 10 的门票中任取 3 张，总的基本事件数是 C =120，而“至少有 2 张价格相同”则包括了“恰有3102 张价格相同”和“恰有 3 张价格相同” ，即C +C （种）.5 90351821723 C所以，所求概率为 .40920 解 P（A）= .1232561326C21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目 X的分布列为来源:学*科*网 Z*X*X*K X2 4 8 16 n2 P116 1 (10)()()()PPX874222. 解析 (1
31、)记甲、乙两人同 时参加 A 岗位服务为事件 EA，那么 P(EA) .A3C25A4 140即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 .140(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E，那么 P(E) .A4C25A4 110所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( )1P(E) .E910(3)随机变量 X 可能取的值为 1,2，事件“X2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，则 P(X2) .所以C25A3C25A4 14P(X1) 1P(X2) ，X 的分布列为：34X 1 2P 34 14第三讲 随机变量的数字特征【基础梳理】1条件概率及其性质14(1)对于任何两个事件
32、A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A) 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) (2)条件概率具有的性质：0 P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件 A、 B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A) ，P(AB) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立B A A B(4)若 P(AB) P(A)
33、P(B)，则 3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是 的(2)二项分布在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 k，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X k) ，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作X B(n， p)，并称 p 为成功概率4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi
34、pn三种分布(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p)；(2)XB(n，p)，则(1)均 值 称 E(X) x1p x2p xipi xnp为 随 机 变 量 X的 均 值 或 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 (2)方 差 称 D(X) i 1nxi E(X)2pi为 随 机 变 量 X的 方 差 ， 它 刻 画 了 随 机 变量 X与 其 均 值 E(X)的 平 均 ， 其 算 术 平 方 根 DX为 随机 变 量 的 标 准 差 15E(X)np，D(X)np(1p)；(3)若 X 服从超几何分布，则 E(X)n .MN期望和方差性质(1)E
35、(C) C(C 为常数)(2)E(aX b) aE(X) b(a、 b 为常数)(3)E(X1 X2) EX1 EX2(4)D(aX b) a2D(X)【基础自测】1(2010山东)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1，则样本方差为( )A. B. C. D265 65 22(2010湖北)某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知 的期望 E( )8.9，则 y 的值为_A0.4 B0.6 C0.7 D0.93(2010上海)随机变量 的概率分布列由下表给出： 7 8 9 10P 0.3 0.35 0.2 0.15
36、该随机变量 的均值是_4小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )13A. B. C. D.49 29 427 2275如果 X B ，则使 P(X k)取最大值的 k 值为( )(15，14)A3 B4 C5 D3 或 46把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A， “第二次出现正面”为事件 B，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.12 14 16 18考点一 离散型随机变量的均值和方差【例 1】 A、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员， A 队队员是 A1、 A2、 A3， B 队队员是 B1、 B2、
37、 B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率16A1和 B1 23 13A2和 B2 25 35A3和 B3 25 35现按表中对阵方式出场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队， B 队最后所得总分分别为 X， Y(1)求 X， Y 的分布列；(2)求 E(X)， E(Y)【练习 1】 (2011四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各
38、租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两1412小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车时间都不会超过四小时1214(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E( )考点二 均值与方差性质的应用【例 2】设随机变量 X 具有分布 P(X k) ， k1,2,3,4,5，求 E(X2) 2， D(2X1)， .15 D X 1【练习 2】 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个( n1,2,3,4)现从袋中任取一球， X 表示所取球的标号(1)求
39、 X 的分布列、期望和方差；(2)若 aX b， E( )1， D( )11，试求 a， b 的值17考点三 均值与方差的实际应用【例 3】(2011福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准A， X3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：且 X1的数学期望 E(X1)6，求 a， b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机
40、抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比” ；产 品 的 等 级 系 数 的 数 学 期 望产 品 的 零 售 价(2)“性价比”大的产品更具可购买性【练习 3】 某公司有 10 万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利 10%，可能损失 10%，可
41、能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为 ，；如果投资乙项目，一年后可能获利 20%，也可能损121414失 20%，这两种情况发生的概率分别为 和 ( 1)(1)如果把 10 万元投资甲项目，用 X 表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求 X 的概率分布及 E(X)；(2)若把 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求 的取值范围考点四 条件概率【例 4】(2011辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.18 14 25 12
42、X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.118【练习 4】 (2011湖南高考)如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则(1)P(A)_；(2) P(B|A)_.考点五 独立事件的概率【例 5】(2011全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的 3 位车主中恰有 1
43、 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率【练习 5】 (2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、 B、 C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B，丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E( )考点六 独立重复试验与二项分布【例 6】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .13(1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列；(2)设
44、Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 Y 的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率19【练习 6】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选 3 名下岗人员，记 X 为 3 人中参加过培训的人数，求 X 的分布列【巩固作业】1已知 X 的分布列为X 1 0 1P 12 13 16设 Y2 X3，则 E(Y)的值为( )A. B4 C1 D1732设随机变量 X B(n， p)，且 E(X)1.6， D(X
