1、 函数奇偶性一、知识梳理：知识点一 偶函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有()fxx，那么函数 就叫做偶函数。例： ()fxf()fx2知识点二 奇函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有()fxx，那么函数 就叫做奇函数。例： ()(fxf()fx3注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件。例： 在区间 上时偶函数，但在区间-1,2上却无奇偶性可言了。2y(,)知识点三 奇函数、偶函的性质 是奇函数 的图象关于原点对称；()fx()yfx是偶函数 的图象关于 y 轴对称。y例 1、已知 是偶函数，且图象与 轴有四个交点，则
2、方程 的所有实根之()fxx()fx和是（ ）A、4 B、2 C、1 D、0、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有：奇奇奇（函数） 偶偶偶（函数） 奇奇偶（函数） 偶偶偶（函数） 奇偶奇（函数） 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x、可逆
3、性： 是偶函数；)(xff)(f奇函数；)()(xff)(f、等价性： 0)(xff)()(xff )(、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数（有且只有一类，即 f(x)=0， ） 、非奇非偶函数。D二、基本方法（一）函数奇偶性的判断1、定义法：定义域（关于原点对称） 验证 下结论()(fxf2、图像法：3、性质法：（定义域相同）4、分段函数奇偶性的判断例 2、判断函数 的奇偶性(1),0)xf（二）利用函数奇偶性求函数的值例 3、已知 ，且 ，求53()8fxabcx()10fdfd（三）利用函数奇偶性求函数解析式例 4、已知 是偶函数，且当 时，求 ，求
4、 时， 的解()fx0x()|2|fx0x()fx析式。（四）利用函数奇偶性解抽象函数不等式例 5、设 在 上时偶函数，在区间 上递增，且有()fxR(,0，求 的取值范围。22131)fafaa三、典例分析考点一、判断函数的奇偶性例 6、判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3）1()fx21()fx22()1fxx（4） （5）2(0()1)fx()f拓展延伸：例 7、判断下列函数的奇偶性（1） （2）1()xfx2(0)()xf（3） （4）2f 0(1)fx考点二、利用函数奇偶性求解析式例 8、已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，求()fxR2()fx的解析式。()fx拓展延伸：例
5、 9、已知 函数是定义在 上的偶函数，当 时， ()fx(,)(,0)x，则当 时， =_4()fx0,)fx考点三、奇偶性与单调性结合例 10、定义在（-1,1）上的奇函数 在整个定义域上减函数，若()f，求实数 的取值范围。(1)(3)0fafa拓展延伸：例 11、已知函数 是定义在 上的奇函数，又 在 上()fx(,0)(,)()fx0,)减函数且 ，问 在 上时增函数还是减函数？并说明你的结论。()0f1()Ff,考点四、综合应用例 12、已知定义在 上的函数 对任意实数 ，恒有 ，R()fx,xy()()fxyfx且当 时， 又0x()0fx213（1）求证： 为奇函数；（ 2）求证
6、： 在 上时减函数；()fxR（3）求 在 -3,6上的最大值与最小值。()fx例 13、 均为奇函数， 在 上的最大值为(),fxg()()2Hxafbgx(0,)5，则 在 上的最小值为_。H0拓展延伸：例 14 函数 是定义在（ -1,1）上的奇函数，且 ，2()1axbf 12()5f（1）确定函数 的解析式；（2）用定义证明 在（-1,1 ）上时增函数；()fx（3）解不等式 10tt课后练习1、函数 1()fx的图象关于（ ）A、 y轴对称 B、直线 yx对称 C、坐标原点对称 D、直线 对称2、已知 ()fx在 R上是奇函数，且满足 (4)(ffx，当 (0,2)时，()fx则
7、7（ ）A、-2 B、2 C、-98 D、983、设定义 R上的函数 ()fx满足 ()2)13fx，若 ()2f，则 (9)f（ ）A、13 B、2 C、 132 D、4、若函数 3()xR，则函数 ()yfx在其定义域上是（ ）A、单调递减的偶函数 B、单调递减的奇函数C、单调递增的偶函数 D、单调递增的奇函数5、 (),fxg是定义在 上的函数， ()()hxfgx则“ (),fgx均 为偶函数”是“ ()h为偶函数”的（ ）A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件6、 （理）设函数 (1)xaf为奇函数，则 a=_（文）设函数 为偶函数，则 =_7、已知函数 ()yfx为奇函数，若 (3)21f，则 (2)3ff=_8、 （理）函数 f对于任意实数 x满足条件 )(fxf，若 (15f，则(5)f=_（文）函数 ()fx对于任意实数 x满足条件 1()(fxf，若 ()5f，则(5)f=_
