1、第十八章 平行四边形一、选择题 1.如图，在 ABCD中，点 E是 BC延长线上一点，且 A120，则 DCE的度数是( )A 120B 60C 45D 302.如图，已知四边形 ABCD的四边相等，等边 AMN的顶点 M、 N分别在 BC、 CD上，且 AM AB，则 C为( )A 100B 105C 110D 1203.如图， ABC中， AD平分 BAC， DEAC交 AB于 E， DFAB交 AC于 F，若 AF6，则四边形 AEDF的周长是( )A 24B 28C 32D 364.如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O， E、 F是对角线 AC上的两点，给出
2、下列四个条件： AE CF； DE BF； ADE CBF； ABE CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )A 0个B 1个C 2个D 3个5.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A 对角线互相垂直B 对角线相等C 对角线互相平分D 对角相等6.菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A 41B 51C 61D 717.如图，在周长为12的菱形 ABCD中， AE1， AF2，若 P为对角线 BD上一动点，则 EP FP的最小值为( )A 1B 2C 3D 48.如图，平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，且 ABAC， AB3，
3、 OC4，则 BD的长为( )A 4B 5C 10D 12二、填空题 9.如图，在矩形 ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，已知 a2 b6 c，其面积是_(用含 c的代数式表示)10.在平行四边形 ABCD中， AB5， BC6，若 AC BD，则平行四边形 ABCD的面积为_11.如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于一点 O， AB11， OCD的周长为27，则 AC BD _.12.在四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD交于点 O，从 AB CD； ABCD； OA OC； OB OD； AC BD； A
4、BC90 这六个条件中，可选取三个推出四边形 ABCD是矩形，如四边形 ABCD是矩形请再写出符合要求的两个：_；_.13.如图，直线 AEBD，点 C在 BD上，若 AE5， BD8， ABD的面积为16，则 ACE的面积为_14.如图，在Rt ABC中， ACB90，将边 BC沿斜边上的中线 CD折叠到 CB，若 B50，则 ACB_.15.如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB8， AD7， E为 AB上一点， AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片( AEP)，使点 P落在长方形 ABCD的某一条边上，则等腰三角形 AEP的底边长是_16.在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一
5、个问题：“四边形 ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得 ABCD是矩形”经过思考，小明说： “添加 AC BD.”小红说：“ 添加 ACBD.”你同意_的观点，理由是_三、解答题 17.如图，四边形 ABCD中， BD垂直平分 AC，垂足为点 F， E为四边形 ABCD外一点，且 ADE BAD， AEAC.(1)求证：四边形 ABDE是平行四边形；(2)如果 DA平分 BDE， AB5， AD6，求 AC的长18.如图，在 ABC中， AB6 cm， AC10 cm， AD平分 BAC， BDAD于点 D， BD的延长线交 AC于 点 F， E为 BC的中点，求 DE的长19.如图，平
6、行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD，相交于点 O， EF过点 O且与 AB、 CD分别相交于点 E、 F，求证： AE CF.20.如图，在平行四边形 ABCD中，点 E、 F分别在 AB、 CD上， AE CF，连接 AF， BF， DE， CE，分别交于 H、 G.求证：(1)四边形 AECF是平行四边形(2)EF与 GH互相平分21.如图，已知： ABCD， BEAD，垂足为点 E， CFAD，垂足为点 F，并且 AE DF.求证：(1) BE CF；(2)四边形 BECF是平行四边形答案解析1.【答案】B【解析】四边形 ABCD是平行四边形ABCD， ADBEB180 A60DC
7、E B60.故选B.2.【答案】A【解析】四边形 ABCD的四边都相等，四边形 ABCD是菱形，B D， DAB C， ADBC，DAB B180，AMN是等边三角形， AM AB，AMN ANM60， AM AD，B AMB， D AND，由三角形的内角和定理，得 BAM NAD，设 BAM NAD x，则 D AND180 602 x，NAD D AND180，x2(180602 x)180，解得 x20，C BAD 22060100.故选A.3.【答案】解 DEAC，DFAB， 四边形AEDF为平行四边形，EAD FDA. AD平分 BAC， EADFADFDA， FAFD ， 平行四边
8、形AEDF 为菱形 AF6， C菱形AEDF 4AF4624. 故选A.【解析】根据 DEAC、 DFAB，即可得出四边形 AEDF为平行四边形，再根据 AD平分 BAC即可得出 FAD FDA，即 FA FD，从而得出平行四边形 AEDF为菱形，根据菱形的性质结合 AF6即可求出四边形 AEDF的周长4.【答案】B【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有 可以，故选B.5.【答案】B【解析】菱形的性质有菱形的对边互相平行，且四条边都相等，菱形的对角相等，邻角互补，菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一
9、组对角；正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)，A菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误；B菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确；C菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误；D菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；故选B.6.【答案】B【解析】如图所示：四边形 ABCD是菱形，菱形的周长为8，AB BC CD DA2， DAB B180，AE1， AEBC，AE AB，12B30，DAB150，DABB5 1；故选B.7.【答案】C【解析】作 F点关于 BD的对称点 F，则 PF PF，连接 EF交 BD于点
10、 P.EP FP EP FP.由两点之间线段最短可知：当 E、 P、 F在一条直线上时， EP FP的值最小，此时 EP FP EP FP EF.四边形 ABCD为菱形，周长为12，AB BC CD DA3， ABCD，AF2， AE 1，DF AE1，四边形 AEFD是平行四边形，EF AD3.EP FP的最小值为3.故选C.8.【答案】C【解析】 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，BO DO， AO OC4，ABAC， AB3，BAO90 ，在Rt ABO中，由勾股定理，得 BO 5，2+2BD2 BO10，故选C.9.【答案 】10 c2【解析】本题中空白部分的面积矩形 ABC
11、D的面积阴影部分的面积矩形 ABCD的面积为 ab ab；阴影部分的面积为 ac bc cc ac bc c2；那么空白部分的面积为 ab ac bc c2；因为 a2 b6 c，所以 ab ac bc c26 c3c6 cc3 cc c218 c2 6c2 3c2 c210 c2.10.【答案 】30【解析】平行四边形 ABCD中， AC BD，四边形 ABCD是矩形矩形 ABCD的面积是56 30.11.【答案 】32【解析】平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于一点 O， AB11，CD11，OCD的周长为27，CO DO271116，AC BD32.12.【答案 】 【解析】或
12、，理由是 AB CD， ABCD，四边形 ABCD是平行四边形，ABC90，平行四边形 ABCD是矩形OA OC， OB OD，四边形 ABCD是平行四边形，ABC90，平行四边形 ABCD是矩形，13.【答案 】10【解析】过点 A作 AFBD于点 F，ABD的面积为16， BD8， BDAF 8AF16，12 12解得 AF4，AEBD，AF的长是 ACE的高，SACE AE4 5410.12 1214.【答案 】10【解析】 ACB90， B 50，A40 ，ACB90， CD是斜边上的中线，CD BD， CD AD，BCD B50， DCA A40，由翻折变换的性质可知， BCD BC
13、D50 ，ACB BCD DCA10，15.【答案 】5 或4 或55 5【解析】如图所示：当 AP AE5时，BAD90，AEP是等腰直角三角形，底边 PE AE5 ；2 2当 PE AE5时，BE AB AE853， B90 ，PB 4，22底边 AP 4 ；2+2 82+42 5当 PA PE时，底边 AE5 ；综上所述：等腰三角形 AEP的对边长为 5 或4 或5.2 516.【答案 】小明 对角线相等的平行四边形是矩形【解析】根据是对角线相等的平行四边形是矩形，故小明的说法是正确的，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故小红的说法是错误的17.【答案 】(1)证明 AEAC， BD
14、垂直平分 AC，AEBD，ADE BAD，DEAB，四边形 ABDE是平行四边形；(2)解 DA平分 BDE，BAD ADB，AB BD5，设 BF x，则5 2 x26 2(5 x)2，解得 x ，75AF ，22245AC2 AF .485【解析】(1)根据已知和角平分线的定义证明 ADE BAD，得到 DEAB，又 AEBD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；(2)设 BF x，根据勾股定理求出 x的值，再根据勾股定理求出 AF，根据 AC2 AF得到答案18.【答案 】解 AD平分 BAC， BDAD，AB AF6， BD DF，CF AC AF4，BD DF， E为
15、BC的中点，DE CF2.12【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理得到 AB AF6， BD DF，求出 CF，根据三角形中位线定理计算即可19.【答案 】证明 四边形 ABCD是平行四边形，ABCD， OA OC，OAE OCF，在 OAE和 OCF中， ， ， ， AOECOF(ASA)，AE CF.【解析】由四边形 ABCD是平行四边形，可得 ABCD， OA OC，继而证得 AOECOF，则可证得结论20.【答案 】证明 (1) 四边形 ABCD是平行四边形，ABCD， AB CD，AE CF，四边形 AECF是平行四边形(2)由(1)得：四边形 AECF是平行四边形，AFCE，AE
16、 CF， ABCD， AB CD，BEDF， BE DF，四边形 BFDE是平行四边形，BFDE，四边形 EGFH是平行四边形，EF与 GH互相平分【解析】(1)由平行四边形的性质得出 ABCD， AB CD，由 AE CF，即可得出结论；(2)由平行四边形的性质得出 AFCE，再证明四边形 BFDE是平行四边形，得出 BFDE，证出四边形EGFH是平行四边形，即可得出结论21.【答案 】证明 (1) BEAD， CFAD，AEB DFC90，ABCD，A D，在 AEB与 DFC中， ， ， ， AEBDFC(ASA)，BE CF；(2)BEAD， CFAD，BECF，BE CF，四边形 BECF是平行四边形【解析】(1)通过全等三角形( AEBDFC)的对应边相等证得 BE CF；(2)由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行” 证得 BECF.易得四边形 BECF是平行四边形
