1、东北农业大学高等数学参考答案第一章 函数1、填空题 (1) 2、选择题 (1)（B ） (2)（D）,123、解： 4、解：120xxff)(xx3)12()2(5、解：设池底半径为 米，总造价为 元，则 ，y)502rar )50(2ra6、解：设圆锥体积为 ，圆形铁片半径为 ，则圆锥底面半径 ，高VRR222Rrh所以圆锥体积 ，223241hV),0(第二章 极限与连续1、填空题 （1） （2） 一 （3） 水平 （4） 无穷小 （5） 同阶 3x（6） （7） 无限增大 (或 ) （8） 0 （9） (10) 2ex3sin21e2、选择题 （1） A （2） B （3）D （4）D
2、（5） D （6）A （7）C （8）D （9）D（10）C （11）C （12）B （13）C （14）B (15) C (16) B (17) B (18) B3、计算（1） 解： （） 解：1lim21x 4586lim21xxli1x0li1x（）解： （4）解：xxli x23tanli0121limxx 2exlim0（5） （6）2)(lix 24sinli0xx解： 解： 21lixx il0xxx2lim xx 24sinlm02e xli08（7） （8）)12(lim1xx 2coslimx解： 当 时， ，是无穷小量li21x 012， 为有界函数li1x cosxs有
3、界函数与无穷小的乘积仍是无穷小2lim1x 0coslim2x（9） （10） xx5sin2lim0)(解： 解：1li1xx xili02lim1xxox5sin12lmxox5sin1li261（11） （12）130)2(lixx 3li24x解： 解：130limxx 1lim24xx1320lixx 22/3lix2610lixx 61e0（13） )13(lim1xx（14）124limxx解： 解：31lix 12lixx21lixx 125lixxlim2x110e（15） （16） xsinl0 xarctnlim解： 解： xi1l20 xx1sinlmsil00xrtl
4、i当 时，xx1sinlm0 x01x当 时， 为无穷小， ， 为有界函数 2arctnarctn， 为有界函数 因此1sinxsi 0tlimxx因此 01sinlmsinl020xxx4、求下列函数的间断点，并指出其类型。(1) 解：函数 在 处无定义，必为间断点。232y2,由于 ，故 为可去间断点，属于第一类间断点。1li1lim121 xxx由于 ，故 为无穷间断点，属于第二类间断点。2（2） 解：函数 在 无定义，必为间断点。xycos0， 均不存在， 是函数 的振荡间断点,属于第二类间断点。xx1cosli0li0 xxy1cos(3) 解： 1232xy函数 在 无定义，必为间
5、断点132是函数 的可去间断点，属于第一类间断点。32limli21321 xxx 1x132xy由于 ， 是函数的跳跃间断点，属于第一类间断点。0li11xxe1lixxe5、 ，求f)(ffx)(li0解： 2000 1lim1lilimxxxffxx 第三章 导数与微分1、 填空题 （1） （2） （3）可导 （4） （5） ),(1y 4)12(x（6） （7） （8） （9） （10） )3(xdx)50(xydxy22、选择题（1）B （2）C (3) B (4) D （5）B （6）B (7) D3、求下列函数的导数 dxy（1） 解： （2）解：38781cos)1ln(si
6、xxxy 21cosxy（3）解： （4） 解：x2i lni 2)(sin3inxxe（5） （6） ，)(secln2y 21xaya解： 解：)l(tax 32)(（7） （8）21rcosy xey1sc解： 解：4)(x xe1sc222tan)(9) (10) 1lnsiy y3rcsi解： 解：xcot2 )1(2x(11) ，求 (12) , 求aydytyxdy解：两边对 求导数得： 解：x021yx ttdx1解得 aaxy从而， x2)1(（13） ,求。 (14) cosinxatybdy 023xy解： 解：两边对 求导数得：tabxtdxcocs 0232y解得，
7、23y(15) xysin)(ta解：两边取对数得： xytanlsil两边对 求导数得： x xtan)(sitlco解得， xxysin)(tasectanl(cos（16） （17） （18）263tdx236)(62dy 22314)(3tdtdxy4、求下列函数的微分（1） （2） （3）解：55xy xysin1co xy23解： 解：dxxd)ln(254di dxx2)sin1(co5、求下列函数的二阶导数 y2（1） 解： xdxyln 2)(ln2xdy（2）解： 22211)( xxxy 32)1(xy6、解： )1(lnarct2td7、 解： , 切线方程为： 法线方
8、程为：ypx 2pxypxy23第四章中值定理与导数应用、填空题 (1) ； （2） （3） (4) 下)0,1(),ba0、选择题 （1）D (2) B (3) A （4）A （5）C （6）C （7）D3、求极限 (1) 解： 13lim0x(2) 解： (3) 解：1tansilmcots1limclnilnsil 0000 xxxxxxxxee 210li2xex)(li2102x(4) 解： (5) 解： 1sintalm1)cs(otlilncotim20200eexxxxxx xx1arctn2lim21lixx（6）解： 21coslimetan2i32xxx（7） 解： （8
9、）解：0!lim)1(li21xnxxnne 1sinlimxx(9) 解： （10）解：1lim)1(1lixxexexx其 中 1limcotli2xxarxx4、解:函数 的定义域是32xy,令 ,求得驻点为)(6 0y2,0x函数单调递减 函数单调递增 函数单调递减,0),(yx ,)2(x ,0),(y5、解： ，bxa23 bay6因为点 是曲线的拐点，而且曲线无 无意义的点),1( y所以 ，即 所以0)(3y0263ba293ba6、解：函数 的定义域是xrctn,，令 ，求得驻点为21xy0y0x，函数单调递减 ，函数单调递减),(0),(y所以在 上函数单调递减，无极值7、
10、解:函数 的定义域是23xy,令 ,求得驻点为)1(62x0y1,0x函数单调递增； 函数单调递减； 函数单调递增。,0),(y)1(x ,0),(y是极大值点，极大值为 ； 是极小值点，极小值为x)y 18、解：函数 的定义域是5332xy,10x 106令 ,求得 ，y327)(f曲线是凸的； 曲线是凹的；拐点是,)5(x ,0),35(yx )270,35(9、解： ，令 ，求得驻点为143y0y；所以最大值是 ，最小值是17ln)2(,l)(,0)( 17ln)2(y0)(y10、解： ，baxy32 axy6因为函数有拐点 ，所以 ，即)1,(1)(0106cba因为在 处有极大值
11、1，所以 ，即 ，带入上式得0x)(y3c11、定义域为 ，),( 0,2)2(36 xxx为单调减函数； 为单调增函数； 为单调减函数。0),(xfy ,0),fy )(,0),(xfy12、解：设宽为 米，则长为（ ）米，20面积 ， xS)()1,(，令 ，驻点为4(x(S5，开区间内唯一驻点取得最大值，此时小屋的长为 10 米，宽为 5 米。0)513、解：根据题意可知，容积 ，2)(xaV),0(ax，令 ，求得驻点为 ， （舍去）)2)(62()xaxV 0)(V3ax是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长 时容积最大。3a 3ax14、解：设底边长为 。高为x
12、,h0)3(,0)(,216821647274,2 sxsxs xhx所以 x=3 时取最小值，各边长分别为 3，4，6第五章 积分1、填空题（1） )12sin(x （2）0 （3） (4) 0 (5) (6) 0 （7）xe21x2sin1)(214e2、 （1） B （2） C （3） A （4） C （6） A (7) A (8) A (9) C3、 （1） dcoxdsin)i(2 x3sin（2） （3）tsintsin2tcod1)1(2xdx)1ln(2（4） （5）21xed2)(1xeCexartnx2lnln2C3l（6） x3tdt)5t2631x15)(63（7） d
13、sinttsin2tcosCtsinsin2co（8） 1t dx122()2()xttt xedeet=+（9） 2lnllnllnllnl)xxdxd2C（10） xdarctn2221arctn(arctn)arctnxxxdd2 221rt()rt(arctn)xCx（11） 21sin(cos)(sin)xdxddx2 211(sini)(sincos2)44xxxdxC（12） 3 2 222222()()l(1)dx x（13） 231txdt)(325 Ct1433xtCx314（14） （15）x221xarcsinrt xedx)(ex3ln1(16) 33 322 211
14、1(2)()|dd(17) 22 2000cos(sin)l(sin)|linsixxx (18) 令 1t101100102|xtttedede(19) 3220cossincosincoxxxd 204cos3xd(20) （21）11lnl|eedx212)( 32 211 9()()|6xx（22） x20 2220101()()()|()|dx（23）原式= 3)(3)2(110202 x4、 （1） 广义积分发散1|dx（2） 22220 00 1(|)|4xxxxeeede（3） d0 00)|xx（4） x8412 221()()4()1dxd 2(arctn)|x第六章 定积
15、分的应用、解：因为 ，所以 ， xy2 1)(y抛物线 在点 处的法线方程为4,，即)21(4xy43xy求得抛物线与其法线的交点为 ，)1,2(9,图形面积 21323)4(dxxS2、解：求得交点为 )8,绕 轴旋转所产生的旋转体的体积为x20671dV绕 轴旋转所产生的旋转体的体积为y80322564xyy3、解：求得交点 ),1(,382)(20dyS4、解：求得交点为 )1,(10425(dyVy第七章 多元函数微分学1、填空题（1） （2）母线为 轴， 为准线的圆柱面 （3）xyx, z240xy 21yx（4） （5）极大值，极小值； (6) (7) de12 xyzln1z2、
16、选择 （1）B（2）C（3）B（4）D3、 （1） ， ， ，2,yxyfx 524,3xf21,yxxfy 54,3xf（2） (3) 332,zz 22,zxz(4)xyxyzxyyzxyzxy 1ln11ln1lnl,1(5) xx,l4、 （1）因为 所以yxeyzeyezx cos,cossinxyzxxin,co22，eeyzxxsis yxeyxeyzsincos2（2） xzzxyzx 6,12,6,43,63 22322 （3） 222211, , ,xyyz zy221xyzx5、 （1） ，y221yxzdyxdxydyzxdz 222（2） （3）, yxz34xz2
17、)1(cos,)(cos2xyzxxzdydd)()( dy26、 （1） xyxvuvxzuxz 22 cosinscsincos1yxyyvy coiin22（2） )3()3ln(1l 22 yxvuxzuxz )23()23ln()2()(ln222 yxyxyvuyxvuyvzuyz 7、 解： 33233 cos6sin)(cossin2 ttttdtz 8、 （1） 驻点 ，0,yxfy , 2,0,2, yxfyxfyxf在 处， ，于是此函数不存在极值。0,42BAC（2） , 得驻点012yxz0,1，故在点 处，,yxyxfff , 02,52ABAC故函数 在点 处有极
18、小值，极小值为)(01 1)0,1(f9、解：设长方体的长，宽，高分别为 ，依题意，zyx, xyVzxyVxyzxyS2)(2，求得驻点 ，因驻点唯一，故当 ， 时，表面积最小。02yVxS)2,(3 32Vyx34z第八章 二重积分1、改变下列二次积分的次序：（1） （2）eydxf),(10 210),(ydxfd（3） （4）yf210, xf02,（5）= xx dyfdfd2110 ),(),(2、 解： 1403202 yyD3、解： Ddxy)6( 6132)6(00 ydxyy4、解： )(2 5)(1032210 xx5、解： Dydxe2 102103021 26yyy
19、dedede)(611022yy6、解： coscoscos60060 xdxdxdy7、解： D 3020 1)(12 aayax8、解： dyx)cos( 21cos21)sin(i)cos(1001 dydxyy9、求交点 ，1xy 213x2121x 49dx)()(dd10、 12)03200 22 yxyxx第九章 微分方程及其应用1、填空题 （1） （2） （3） 1xy042、选择题（1） B （2） A (3) C (4) C、求下列微分方程的解（1）解：分离变量得 xdycottan两边积分得 ，从而dt )sinarco(xy（2）解：分离变量得 xye2两边积分得 ，解
20、得xye )1ln(2Cex又由 得 ，从而 。1)0(21C21y（3）解：分离变量得 ， (4) 解：原方程对应的齐次方程为 ，xdysinl 0y两边积分得 分离变量得 ，解得 。xdysinl dxyxCey解得 ，又由 得 ， 设原方程的解为 ，2tanxCeye)(1Cxh)(从而原方程的特解为 代入原方程得 ，2tanxy xxeyd)(解得 。xeCy)(5)解：原方程对应的齐次方程为 ，0dxy分离变量得 ，解得 。 xdyC设原方程的解为 ， h)(代入原方程得 ， 2xydx解得 。Cy)(6) (7) 解：该方程的特征方程为 ，解：该方程的特征方程为 ，042 0122
21、解得 ， 。 解得 ， 。21 3142故原方程的通解为 。 故原方程的通解为 。)(212xCeyx xxeCy4231（8）解：原方程对应的齐次方程为 ，xyd分离变量得 ，解得 。xyd设原方程的解为 ，h)(代入原方程得 ，xyxdsin解得 ，Cycosin由 得 ，从而原方程的解为 。1)(0xycossin（9） （10）解： 解：该方程的特征方程为 ，解dxexdy )sin(2 0432得 ， 。故原方程的通解为12cosinCx 4112，又 及dxy xxeCy241 0)(y5)(得原方程的特解为 。2124cosincos Cxex xe4xy 32128cssi3x
22、ex4、解：由题意 ， 。y0)(方程 对应的齐次方程为 ，分离变量得 ，解得 。xy2ydxdxyxCey设原方程的解为 ，代入原方程得 ，xeh)(exh2)(解得 。x Cy 22(又 得 ，从而原方程的解为 。0)Cxey5、解： 12xdxy23126)( Cdy 由题意 ， ，代入解得 ， ，即 。)0y111263xy（17） 解：设 为曲线上的一点，函数过该点处的切线方程为),(0x )(00xf该切线与 轴的交点为 ，由题意 ，简化得)(00xfy00)(2xfyx00)yf的选取是任意的， 所求曲线满足 ，解得 。),(0yx)C1又 ， 。32x66、解：设时刻 城市人口数为，以 1960 年做为起始时刻t 0t由题意 ，解得 。kydktCe由题目条件 ， ，01k102从而 1980 年的人口数为 。140)()( 20keey
