1、高等数学（2）第 12 章第二类曲线积分典型例题解析例 1 若对任意的 x，y 有 ，设 C 是有向闭曲线，则 = yPQCyQxPd解：由格林公式将 yxyxyxPDC d)(d),(),( 其中 为 C 围成的平面区域，及条件 知，应该填写：0Dl PQ例 2 ，其中 是延圆周 正向一周 _dyxl l 1)()1(22yx解：因为圆周 所围圆面积 D 为： ，由格林公式得：1)()1(22= ，应该填写：Dl yxyxd2例 3 若 及 在单连通域 D 内有连续的一阶偏导数，则在 D 内，曲线),(P),(Q积分 与路径无关的充分必要条件是（ ） lyxA在域 D 内恒有 B在域 D 内
2、恒有yxyPxQC在 D 内任一条闭曲线 上，曲线积分l 0dlPD在 D 内任一条闭曲线 上，曲线积分 lyx解：若 在单连通区域 内有一阶连续偏导数，则),(,yxQPD与路径无关 。lxyd,),( yxPQ),(所以选择：B例 4 设 C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中， （ ）是与路径无关的A Byxd332CyxdC D332解：因为选项 A 中， ，由曲线积分与路径2)(,)( xxQyxP无关的充分必要条件知道，正确选择：A例 5 设积分路径 ， ，那么第二类曲线积分计算公式)(:tyxl)t=（ ） l yxQyxPd),(),(A tttt d)(),(,B )(C tt
3、QtP)(),(,D d)(解：因为积分曲线的路径由参数方程 ， 给出，把参数方程代)(:tyxl)t入曲线积分中，得： tQttPd(,)(),(所以正确选择：A 例 6 计算 ，其中 l 为由点 经椭圆l xx yy)cose(d)3sine(2 )0,3(A的上半弧到点 再沿直线回到 A 的路径tyxsin2co0,(B解：由于 l 为封闭曲线，故原式可写成 l xx yyd)cose(d)3sine(2其中 ，由格林公式QyPxx cos,3sine2原式 =l xx yd)e(d)i(2 DdyxPQ= Dxx xy3cos1cos(= = =d226例 7计算 ，其中 l 是上半圆周 l xx yyd)1cose()sine( xy22和 x 轴围成平面区域边界的正向)0(y解： ，由格林公式得21cose,2sineyQyPxxl xx d)(d)i( DdyxPQ= =Dxx yxycoses= =cs2020dinr203dcosin8= 3)cos(3204例 8 计算 ，其中 逆时针方向l xyxd2 1:2yl解： ，由格林公式得,QPl xyxd2DdyxPQ= =122)(yx 1032r= 4
