1、正十七边形 编辑本段尺规作法 步骤一： 给一圆 O，作两垂直的直径 OA、OB， 作 C点使 OC1/4OB， 作 AO延长线上 D点使OCD1/4OCA， 作 AO延长线上 E点使得DCE45 度。 步骤二： 作 AE中点 M，并以 M为圆心作一圆过 A点，此圆交 OB于 F点， 再以 D为圆心，作一圆过 F点，此圆交直线 OA于 G4和 G6两点。 步骤三： 过 G4作 OA垂直线交圆 O于 P4， 过 G6作 OA垂直线交圆 O于 P6， 则以圆 O为基准圆，A 为正十七边形之第一顶点 P4为第四顶点，P6 为第六顶点。 以 1/2弧 P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点
2、。 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正 17边形中心角为 a,则 17a=360度,即 16a=360度-a 故 sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因 sina不等于 0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由 2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+c
3、os5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a) 经计算知 xy=-1 又有 x=(-1+根号 17)/4,y=(-1-根号 17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有 x1+x2=(-1+根号 17)/4 y1+y2=(-1-根号 17)/4 最后,由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求 cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正 17边形可用尺规作出
