1、空间想象能力训练专题 1。171设有直线 m、 n 和平面 、 .下列四个命题中，正确的是( )A.若 m ,n ,则 mn B.若 m,n ,m ,n ,则 C.若 ， m,则 m D.若 ， m， m,则 m答案 D2过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 ( )A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条答案 D3下列命题不正确的是（ ）A ,PB为垂足，且 A与 B不重合，则 PAB为 与平面 所成的角 B ,lO,Oll则 OB为二面角 l 的平面角 C l为垂足，则 为直线 到平面的距离 D /,AB，则 AB为平
2、面 与平面 的距离答案 C4某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A 2 B 23 C 4 D 25答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为 ,mnk，由题意得227mnk， 261n1a， 1b，所以 22()()6ab nmk1 111ABCDD CBA28ab， 222()816ababab4当且仅当 时取等号。5已知 ABC中，AB=2，BC=1， 10ABC，平面 ABC 外一点 P 满足 PA=P
3、B=PC=2，则三棱锥 PABC 的体积是（ ）A B 53 C 54 D 56答案 D6如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A3 块 B4 块 C5 块 D6 块答案 B7用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A 9与 13 B 7与 10 C 0与 6 D 与 5答案 C8棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 2 9一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所
4、示，则此五面体的体积为_ 答案 2俯视图主视图10如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角） 为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 EP，PC。因为 FE /AP，所以 FA /EP，同理AB /PC。又 FA平面 ABCD，所以 EP平面 ABCD。而 PC，AD
5、都在平面 ABCD 内,故 EPPC，EP AD。由 ABAD，可得 PCAD 设 FA=a，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2，故CED=60。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 （II）证明：因为 .CEMP.CEDCEM ， 则连 结的 中 点 ， 所 以为且D .CDEADAP 平 面， 所 以 平 面平 面而平 面， 故又 （III） 因 为， 所 以因 为，的 中 点 ， 连 结为解 ： 设 .Q.QPQ.ECECDC 的 平 面 角为 二 面 角， 故， 所 以 由（I）可得， .226aaPE， ，中 ，于 是 在 3cosQRtEQ11已知斜
6、三棱柱 1ABC, 90A, 2CB, 1A在底面 BC上的射影恰为AC的中点 D,又知 .()求证： 1平面 1； ()求 到平面 的距离；()求二面角 1的大小.()证明 平面 ABC,平面 1平面 ABC,又 BCA, 平面 1, 得 ,又 1, 1平面 1.()解 ,四边形 1为菱形,故 12,又 D为 中点,知 160AC.取 1中点 F,则1A平面 BF,从而面 B面 , BAC1A1B1CDGHF过 C作 HBF于 ,则 C面 1AB,在 RtCF中, 32,B,故 217CH,即 1到平面 1A的距离为 27H.() 解 过 作 1G于 ,连 ,则 1GA,从而 为二面角1B的
7、平面角,在 1Rt中, 2AB, 2,在 RtCGH中, 427sinC,故二面角 1C的大小为 427arcsin.12如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MDB平 面 ，NBAD平 面，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点（1） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值（2） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES 平面 AMN？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由 解析：（1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 Dxyz依题意，得 1(0,)(1,(0,1)(,)(1,0)(,0)2AMCBNE。2NEcos, 10|NEA，所以异面直线 与
8、M所成角的余弦值为 .A（2）假设在线段 N上存在点 S，使得 E平面 AMN.(0,1)A,可设 (,)S又 1(, (,)22EESA.由 S平面 MN，得 0,即 0,(1).故 12，此时 12(0,)|2AS.经检验，当 2AS时， ES平面 AMN.故线段 N上存在点 ，使得 平面 ，此时 2S.13如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD 2，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,ABAD,AD=2 AB=2BC=2,O 为 AD 中点.（）求证：PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存
9、在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32？若存在，求出 AQD 的值；若不存在，请说明理由.（）证明 在PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 POAD ,又侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD, PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.()解 以 O 为坐标原点， C、 、 的方向分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以 101DP （ ， ， ） ， （ ， ， ） .所以异面直线 PB 与 CD 所成的角
10、是 arccos 63，()解 假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 2，由()知 (1,0)(1,0).CPD设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).则 ,0nA所以 0,即 0z，取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).设 (,)1),(1,)QyCQy由 32CA，得 13,2y解 y=- 2或 y= 5(舍去)，此时 13,2AQD，所以存在点 Q 满足题意，此时 13AD.14如图， P、 O分别是正四棱柱 1ABCD上、下底面的中心， E是 AB的中点， 1k. （）求证： 1平面 ；（）当 2k时，求直线 PA与平面 BC所成角的
11、大小； () 当 取何值时， O在平面 内的射影恰好为 PBC的重心? 以点 为原点，直线 ABP、 、 所在直线分别为 xyz、 、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 2AB，则得 12(,0)Ak、 (1,0)E、 (,)k、 (0,)、 (,0)C ()证明 由上得 12,、 2,C、20,)PBk，设 1AxByP得2(1,(,0)(,)xk解得 12y， ， 1ECBCP， 1APB平 面 1AE平面 PBC （）解 当 2k时，由 (0,2)、 (,0)得 (2,0)A、 (2,0)BC、(0,2)设平面 PBC的法向量为 (1,)n，则由 0nBCP，得 10， (1,)
12、n 6cos 3An，直线 A与平面 所成角的大小为 6arcsi3.() 解 由()知 PBC的重心 G为 2,3k，则 2(,)3OGk，若 O在平面 内的射影恰好为 PB的重心，则有 0BCP，解得 2_zx yDA1D1 C1B1E1BACPO当 2k时， O在平面 PBC内的射影恰好为 PBC的重心. 空间想象能力训练专题 1。171设有直线 m、 n 和平面 、 .下列四个命题中，正确的是( )A.若 m ,n ,则 mn B.若 m,n ,m ,n ,则 C.若 ， m,则 m D.若 ， m， m,则 m2过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平
13、面 DBB1D1平行的直线共有 ( )A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条3下列命题不正确的是（ ）A ,PB为垂足，且 A与 B不重合，则 PAB为 与平面 所成的角 B ,lO,Oll则 OB为二面角 l 的平面角 C l为垂足，则 为直线 到平面的距离 D /,AB，则 AB为平面 与平面 的距离4某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A 2 B 23 C 4 D 255已知 BC中，AB=2，BC=1， 10AC，平面 ABC 外一点
14、 P 满足 PA=PB=PC=2，则三棱锥 PABC 的体积是（ ）A B 53 C 54 D 566如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )1 111ABCDD CBAA3 块 B4 块 C5 块 D6 块7用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A 9与 13 B 7与 10 C 0与 6 D 与 58棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .9一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
15、部分边长如图所示，则此五面体的体积为_ 10如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 11已知斜三棱柱 1ABC, 90A, 2CB, 1A在底面 BC上的射影恰为AC的中点 D,又知 .()求证： 1平面 1； ()求 到平面 的距离；()求二面角 1的大小.俯视图主视图BAC11B1DGHF12如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MDABC
16、平 面，N平 面，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点（3） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值（4） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES 平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 13如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD 2，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,ABAD,AD=2 AB=2BC=2,O 为 AD 中点.（）求证：PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32？若存在，求出 AQD 的值；若不存在，请说明理由.14如图， P、 O分别是正四棱柱 1ABCD上、下底面的中心， E是 AB的中点， 1k. （）求证： 1平面 ；（）当 2k时，求直线 PA与平面 BC所成角的大小； () 当 取何值时， O在平面 内的射影恰好为 PBC的重心? zx yDA1D1 C1B1E1BACPO
